Croissance, signe et forme du sommet

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

פרבולה שפתוחה כלפי מעלה יורדת עד הקדקוד ועולה אחריו. ובין שני השורשים היא מתחת לציר ה-xx. שני המשפטים האלה הם השלבים 5 ו-6 של החקירה, ואת שניהם רואים בצבע לפני שכותבים אותם.

עלייה וירידה

קוראים את הגרף משמאל לימין, כמו שקוראים מספרים על ציר ה-xx. ההחלפה בין ירידה לעלייה קורית בקדקוד, ולכן צריך רק את xVx_V ואת כיוון הפתיחה:

a>0a > 0

יורדת כאשר x<xVx < x_V, עולה כאשר x>xVx > x_V. הקדקוד הוא מינימום.

a<0a < 0

עולה כאשר x<xVx < x_V, יורדת כאשר x>xVx > x_V. הקדקוד הוא מקסימום.

תחומי עלייה וירידה

מצאו את תחומי העלייה והירידה של y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5, וקבעו את סוג הקדקוד.

xV=−62⋅(−1)=3\begin{aligned}x_V &= \frac{-6}{2 \cdot (-1)} \\ &= 3\end{aligned}

ה-xx של הקדקוד

a=−1<0a = -1 < 0

פתוחה כלפי מטה

x<3 ↗x>3 ↘x < 3 \ \nearrow \qquad x > 3 \ \searrow

עולה משמאל לקדקוד, יורדת מימין לו

yV=−9+18−5=4\begin{aligned}y_V &= -9 + 18 - 5 \\ &= 4\end{aligned}

הקדקוד (3, 4)(3,\,4) הוא מקסימום, והערך הגדול ביותר של הפונקציה הוא 44

תחומי עלייה וירידה נכתבים תמיד בערכי xx — גם כשהשאלה מדברת על גובה, על זמן או על מחיר. «y>4y > 4» אינו תחום עלייה.

מהו תחום הירידה של y=2x2+4x−1y = 2x^2 + 4x - 1?

Voir la réponse et le corrigé

xV=−44=−1x_V = \frac{-4}{4} = -1, ו-a=2>0a = 2 > 0: הפרבולה יורדת לפני הקדקוד. תחום הירידה: x<−1x < -1.

חיוביות ושליליות

הפונקציה חיובית במקומות שבהם הגרף מעל ציר ה-xx, ושלילית במקומות שבהם הוא מתחתיו. הסימן מתחלף רק בשורשים, ולכן קודם מוצאים אותם, ואז מסתכלים על כיוון הפתיחה:

a>0a > 0

שלילית בין השורשים, חיובית מחוץ להם: x<x1x < x_1 או x>x2x > x_2

a<0a < 0

חיובית בין השורשים, שלילית מחוץ להם

Δ<0\Delta < 0

אין שורשים, אין החלפת סימן: הפונקציה כולה חיובית (a>0a > 0) או כולה שלילית (a<0a < 0)

y = x² − x − 6: שלילית בין A ל-B, חיובית מחוץ להם
השורשים x=−2x = -2 ו-x=3x = 3. בין AA ל-BB הגרף מתחת לציר, ומשני הצדדים הוא מעליו. a=1>0a = 1 > 0.

תחומי חיוביות ושליליות

מצאו את תחומי החיוביות והשליליות של y=x2−x−6y = x^2 - x - 6.

x2−x−6=0 ⇒ (x−3)(x+2)=0\begin{aligned}x^2 - x - 6 &= 0 \ \Rightarrow \ (x - 3)(x + 2) \\ &= 0\end{aligned}

השורשים: x=3x = 3, x=−2x = -2

a=1>0a = 1 > 0

פתוחה כלפי מעלה: שלילית בין השורשים

−2<x<3-2 < x < 3

תחום השליליות

x<−2 או x>3x < -2 \ \text{או} \ x > 3

תחום החיוביות: שני קטעים, בלי לשכוח אף אחד

מהו תחום החיוביות של y=−x2+4y = -x^2 + 4?

Voir la réponse et le corrigé

השורשים: x2=4x^2 = 4, כלומר x=−2x = -2 ו-x=2x = 2. a=−1<0a = -1 < 0: חיובית בין השורשים. תחום החיוביות: −2<x<2-2 < x < 2.

צורת הקדקוד: y=a(x−p)2+ky = a(x - p)^2 + k

את אותה פרבולה אפשר לכתוב בצורה שבה הקדקוד כתוב בתוך המשוואה. בצורה y=a(x−p)2+ky = a(x - p)^2 + k הקדקוד הוא (p, k)(p,\,k), בלי שום חישוב. שימו לב לסימן: (x−3)2(x - 3)^2 אומר p=3p = 3, ו-(x+3)2(x + 3)^2 אומר p=−3p = -3.

y=a(x−p)2+kV(p, k)y = a(x - p)^2 + k \qquad V(p,\,k)

למה זה עובד? (x−p)2(x - p)^2 הוא אפס כאשר x=px = p וחיובי בכל מקום אחר. לכן כש-a>0a > 0 הביטוי a(x−p)2+ka(x - p)^2 + k הוא לפחות kk, ובדיוק kk ב-x=px = p: זה המינימום.

מצורת הקדקוד לצורה הרגילה פותחים סוגריים. מהצורה הרגילה לצורת הקדקוד מחשבים את הקדקוד כרגיל, ואז כותבים אותו במקום:

מהצורה הרגילה לצורת הקדקוד

כתבו את y=x2−6x+5y = x^2 - 6x + 5 בצורה a(x−p)2+ka(x - p)^2 + k.

xV=62=3yV=9−18+5=−4\begin{aligned}x_V &= \frac{6}{2} \\ &= 3 \\ \qquad y_V &= 9 - 18 + 5 \\ &= -4\end{aligned}

הקדקוד (3, −4)(3,\,-4)

y=(x−3)2−4y = (x - 3)^2 - 4

a=1a = 1, p=3p = 3, k=−4k = -4

(x−3)2−4=x2−6x+9−4=x2−6x+5 ✓\begin{aligned}(x - 3)^2 - 4 &= x^2 - 6x + 9 - 4 \\ &= x^2 - 6x + 5 \ \checkmark\end{aligned}

בדיקה: פותחים סוגריים וחוזרים למקור

מצורת הקדקוד לשורשים

נתונה y=2(x+1)2−8y = 2(x + 1)^2 - 8. מצאו את הקדקוד ואת השורשים.

V(−1, −8)V(-1,\,-8)

p=−1p = -1 בגלל הפלוס בסוגריים, k=−8k = -8. מינימום, כי a=2>0a = 2 > 0

2(x+1)2−8=0 ⇒ (x+1)2=4\begin{aligned}2(x + 1)^2 - 8 &= 0 \ \Rightarrow \ (x + 1)^2 \\ &= 4\end{aligned}

מציבים y=0y = 0 ומבודדים את הסוגריים

x+1=±2 ⇒ x=1 x=−3\begin{aligned}x + 1 &= \pm 2 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1 \\ \ x &= -3\end{aligned}

שורש לשני הכיוונים

שתי הטעויות של צורת הקדקוד.

y=(x−3)2+2 ⇒ V(−3, 2)y = (x - 3)^2 + 2 \ \Rightarrow \ V(-3,\,2)
V(3, 2)V(3,\,2)

הסימן שבתוך הסוגריים מתהפך: (x−p)2(x - p)^2 עם p=3p = 3. הקדקוד הוא במקום שבו הסוגריים מתאפסים, כלומר x=3x = 3.

x2−6x+5=(x−3)2+5x^2 - 6x + 5 = (x - 3)^2 + 5
x2−6x+5=(x−3)2−4x^2 - 6x + 5 = (x - 3)^2 - 4

(x−3)2=x2−6x+9(x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9 כבר מכיל +9+9. כדי להישאר עם +5+5 צריך לגרוע 99: 5−9=−45 - 9 = -4.

מהו קדקוד הפרבולה y=−3(x+2)2+7y = -3(x + 2)^2 + 7, והאם הוא מינימום או מקסימום?

Voir la réponse et le corrigé

(−2, 7)(-2,\,7), ומקסימום, כי a=−3<0a = -3 < 0. הפלוס בסוגריים נותן p=−2p = -2.

Exercices

Exercice 1

מהו תחום העלייה של הפרבולה y=x2+4x−5y = x^2 + 4x - 5?

  1. x<−2x < -2
  2. y>−9y > -9
  3. x>−2x > -2
  4. x>−5x > -5
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C x>−2x > -2

Corrigé :

xV=−42=−2\begin{aligned}x_V &= \frac{-4}{2} \\ &= -2\end{aligned}

ה-xx של הקדקוד

a=1>0a = 1 > 0

פתוחה כלפי מעלה: עולה אחרי הקדקוד

הנכונה: x>−2x > -2. x<−2x < -2 הוא תחום הירידה, ו-y>−9y > -9 אינו תחום כלל: תחומים נכתבים בערכי xx.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

מהו תחום הירידה של הפרבולה y=−x2+8x−7y = -x^2 + 8x - 7?

  1. x>7x > 7
  2. x>4x > 4
  3. 1<x<71 < x < 7
  4. x<4x < 4
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B x>4x > 4

Corrigé :

xV=−82⋅(−1)=4\begin{aligned}x_V &= \frac{-8}{2 \cdot (-1)} \\ &= 4\end{aligned}

ה-xx של הקדקוד

a=−1<0a = -1 < 0

פתוחה כלפי מטה: יורדת אחרי הקדקוד

הנכונה: x>4x > 4. 1<x<71 < x < 7 הוא תחום החיוביות, שאלה אחרת לגמרי. ב-a<0a < 0 הירידה באה אחרי הקדקוד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

מהו הערך המינימלי של הפונקציה y=x2−10x+21y = x^2 - 10x + 21?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -4

Corrigé :

a=1>0a = 1 > 0

יש מינימום, בקדקוד

xV=102=5\begin{aligned}x_V &= \frac{10}{2} \\ &= 5\end{aligned}

ה-xx של הקדקוד

yV=25−50+21=−4\begin{aligned}y_V &= 25 - 50 + 21 \\ &= -4\end{aligned}

הערך המינימלי

הערך המינימלי הוא ה-yy של הקדקוד, −4-4. מי שענה 55 נתן את ה-xx שבו הוא מתקבל.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

מהו הערך המקסימלי של הפונקציה y=−2x2+12x−10y = -2x^2 + 12x - 10?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 8

Corrigé :

a=−2<0a = -2 < 0

יש מקסימום, בקדקוד

xV=−122⋅(−2)=3\begin{aligned}x_V &= \frac{-12}{2 \cdot (-2)} \\ &= 3\end{aligned}

ה-xx של הקדקוד

yV=−18+36−10=8\begin{aligned}y_V &= -18 + 36 - 10 \\ &= 8\end{aligned}

הערך המקסימלי

בהצבה של x=3x = 3 שימו לב ל-−2⋅9=−18-2 \cdot 9 = -18: המינוס של aa נשאר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

מהו תחום החיוביות של הפרבולה y=x2−2x−8y = x^2 - 2x - 8?

  1. x<−2x < -2 או x>4x > 4
  2. x<4x < 4
  3. x>1x > 1
  4. −2<x<4-2 < x < 4
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A x<−2x < -2 או x>4x > 4

Corrigé :

x2−2x−8=0 ⇒ (x−4)(x+2)=0\begin{aligned}x^2 - 2x - 8 &= 0 \ \Rightarrow \ (x - 4)(x + 2) \\ &= 0\end{aligned}

השורשים x=4x = 4, x=−2x = -2

a=1>0a = 1 > 0

פתוחה כלפי מעלה: חיובית מחוץ לשורשים

הנכונה: x<−2x < -2 או x>4x > 4. −2<x<4-2 < x < 4 הוא תחום השליליות. תחום החיוביות של פרבולה שפתוחה כלפי מעלה הוא תמיד שני קטעים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

מהו תחום השליליות של הפרבולה y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5?

  1. x>5x > 5
  2. x<3x < 3
  3. x<1x < 1 או x>5x > 5
  4. 1<x<51 < x < 5
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C x<1x < 1 או x>5x > 5

Corrigé :

−x2+6x−5=0 ⇒ x2−6x+5=0\begin{aligned}-x^2 + 6x - 5 &= 0 \ \Rightarrow \ x^2 - 6x + 5 \\ &= 0\end{aligned}

כופלים ב-−1-1

(x−1)(x−5)=0(x - 1)(x - 5) = 0

השורשים x=1x = 1, x=5x = 5

a=−1<0a = -1 < 0

פתוחה כלפי מטה: שלילית מחוץ לשורשים

הנכונה: x<1x < 1 או x>5x > 5. x>5x > 5 לבד שוכח את הצד השמאלי. 1<x<51 < x < 5 הוא תחום החיוביות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

נתונה הפרבולה y=(x−4)2−9y = (x - 4)^2 - 9. השלימו.

קדקוד: x=x = ____ , y=y = ____ ; חיתוך עם ציר yy: (0,(0, ____ ))

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : קדקוד: x=x = 4 , y=y = -9 ; חיתוך עם ציר yy: (0,(0, 7 ))

Corrigé :

V(4, −9)V(4,\,-9)

קוראים מצורת הקדקוד: p=4p = 4, k=−9k = -9

y(0)=(0−4)2−9=16−9=7\begin{aligned}y(0) &= (0 - 4)^2 - 9 \\ &= 16 - 9 \\ &= 7\end{aligned}

מציבים x=0x = 0

החיתוך עם ציר ה-yy אינו −9-9: בצורת הקדקוד kk הוא גובה הקדקוד, לא cc. צריך להציב x=0x = 0.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

כתבו את y=x2+8x+11y = x^2 + 8x + 11 בצורה a(x−p)2+ka(x - p)^2 + k.

  1. y=(x+4)2+27y = (x + 4)^2 + 27
  2. y=(x+4)2−5y = (x + 4)^2 - 5
  3. y=(x−4)2−5y = (x - 4)^2 - 5
  4. y=(x+4)2+11y = (x + 4)^2 + 11
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B y=(x+4)2−5y = (x + 4)^2 - 5

Corrigé :

xV=−82=−4yV=16−32+11=−5\begin{aligned}x_V &= \frac{-8}{2} \\ &= -4 \\ \qquad y_V &= 16 - 32 + 11 \\ &= -5\end{aligned}

הקדקוד (−4, −5)(-4,\,-5)

y=(x+4)2−5y = (x + 4)^2 - 5

p=−4p = -4, ולכן x−(−4)=x+4x - (-4) = x + 4

x2+8x+16−5=x2+8x+11 ✓x^2 + 8x + 16 - 5 = x^2 + 8x + 11 \ \checkmark

בדיקה

הנכונה: (x+4)2−5(x + 4)^2 - 5. (x−4)2(x - 4)^2 מציב את הקדקוד ב-x=4x = 4, בצד הלא נכון. +11+11 מעתיק את cc במקום לחשב את kk.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

הוכיחו או הפריכו: הפונקציה y=x2+2x+3y = x^2 + 2x + 3 חיובית לכל xx.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

Δ=4−12=−8<0\begin{aligned}\Delta &= 4 - 12 \\ &= -8 < 0\end{aligned}

אין שורשים: הסימן לא מתחלף אף פעם

a=1>0a = 1 > 0

פתוחה כלפי מעלה, ולכן כולה מעל הציר

y=(x+1)2+2≥2y = (x + 1)^2 + 2 \geq 2

דרך שנייה: צורת הקדקוד, המינימום הוא 22

הטענה נכונה. פרבולה בלי שורשים לא חוצה את ציר ה-xx, אז היא כולה בצד אחד, והצד נקבע לפי aa.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

בשרטוט הפרבולה y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3, עם השורשים x=−1x = -1 ו-x=3x = 3 והקדקוד (1, 4)(1,\,4). מיינו את הטענות.

  • נכון
  • לא נכון
  • הגרף חותך את ציר ה-yy בנקודה (0, 3)(0,\,3)
  • הפונקציה חיובית כאשר −1<x<3-1 < x < 3
  • הפונקציה יורדת כאשר x<1x < 1
  • הפונקציה עולה כאשר x<1x < 1
  • הפונקציה שלילית כאשר x>3x > 3
  • הקדקוד (1, 4)(1,\,4) הוא נקודת מינימום
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : הפונקציה עולה כאשר x<1x < 1 — נכון · הפונקציה חיובית כאשר −1<x<3-1 < x < 3 — נכון · הקדקוד (1, 4)(1,\,4) הוא נקודת מינימום — לא נכון · הפונקציה שלילית כאשר x>3x > 3 — נכון · הפונקציה יורדת כאשר x<1x < 1 — לא נכון · הגרף חותך את ציר ה-yy בנקודה (0, 3)(0,\,3) — נכון

Corrigé :

a=−1<0a = -1 < 0

פתוחה כלפי מטה: הקדקוד הוא מקסימום, ועולים אליו משמאל

−1<x<3 ⇒ y>0-1 < x < 3 \ \Rightarrow \ y > 0

בין השורשים הגרף מעל הציר

y(0)=3y(0) = 3

הנקודה CC

בפרבולה שפתוחה כלפי מטה הכול הפוך מהמקרה המוכר: עולה לפני הקדקוד, וחיובית בין השורשים. השרטוט מונע את הבלבול: מסתכלים, לא משננים.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe