Dérivée d'une fonction racine

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

הגרף של y=xy=\sqrt{x} עולה כל הזמן, אבל לא באותו קצב. הסתכלו על שני המשיקים בשרטוט לפני שכותבים נוסחה.

שני משיקים לגרף y = √x
(1,1)(4,2)-10123456789123xy
המשיק בנקודה (1,1)(1,1) הוא y=12x+12y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}, והמשיק בנקודה (4,2)(4,2) הוא y=14x+1y=\frac{1}{4}x+1. ככל ש-xx גדל, המשיק פחות תלול.

מה השיפוע של כל משיק? ומה קורה לשיפוע כש-xx גדל?

Voir la réponse et le corrigé

בנקודה (1,1)(1,1) השיפוע 12\frac{1}{2}, ובנקודה (4,2)(4,2) השיפוע 14\frac{1}{4}. השיפוע קטן כש-xx גדל, אבל נשאר חיובי: הפונקציה עולה, ולאט יותר ויותר.

הנגזרת של x\sqrt{x}

(x)′=12xx>0(\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}} \qquad x>0

בדיקה: 121=12\frac{1}{2\sqrt{1}}=\frac{1}{2} ו-124=14\frac{1}{2\sqrt{4}}=\frac{1}{4}, בדיוק השיפועים שבשרטוט. בווידג׳ט השיפוע נמדד ישירות על הגרף, ומולו שתי נוסחאות. רק אחת מהן מתאימה בכל נקודה.

f(x)=x : x≥0f(x)=\sqrt{x} \ : \ x \geq 0

הפונקציה מוגדרת גם ב-00

f′(x)=12x : x>0f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}} \ : \ x>0

הנגזרת אינה מוגדרת ב-00: שם המכנה מתאפס

הנגזרת של f(x)\sqrt{f(x)}

(f(x))′=f′(x)2f(x)\left(\sqrt{f(x)}\right)'=\frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}

זו פונקציה מורכבת בשני שלבים, כמו בפרק הקודם: נגזרת החיצונית (12 \frac{1}{2\sqrt{\ }}, והביטוי נשאר בפנים) כפול נגזרת הפנימית f′(x)f'(x). לכן f′(x)f'(x) עולה למונה.

(3x+1)′=323x+1\left(\sqrt{3x+1}\right)'=\frac{3}{2\sqrt{3x+1}}

נגזרת הפנימית: 33

(x2+9)′=2x2x2+9=xx2+9\begin{aligned}\left(\sqrt{x^2+9}\right)' &= \frac{2x}{2\sqrt{x^2+9}} \\ &= \frac{x}{\sqrt{x^2+9}}\end{aligned}

מצמצמים את ה-22

(5−x)′=−125−x\left(\sqrt{5-x}\right)'=\frac{-1}{2\sqrt{5-x}}

נגזרת הפנימית: −1-1

שיפוע בנקודה

נתונה f(x)=x2+16f(x)=\sqrt{x^2+16}. חשבו את f′(3)f'(3).

f′(x)=2x2x2+16=xx2+16\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2x}{2\sqrt{x^2+16}} \\ &= \frac{x}{\sqrt{x^2+16}}\end{aligned}

נגזרת החיצונית כפול נגזרת הפנימית, ומצמצמים

f′(3)=325=35\begin{aligned}f'(3) &= \frac{3}{\sqrt{25}} \\ &= \frac{3}{5}\end{aligned}

מציבים בנגזרת

נתונה f(x)=2x−1f(x)=\sqrt{2x-1}. חשבו את f′(5)f'(5).

Voir la réponse et le corrigé

f′(x)=222x−1=12x−1f'(x)=\frac{2}{2\sqrt{2x-1}}=\frac{1}{\sqrt{2x-1}}, ולכן f′(5)=19=13f'(5)=\frac{1}{\sqrt{9}}=\frac{1}{3}.

סכום והפרש עם פולינום

גוזרים כל מחובר בנפרד. למשל f(x)=x−6xf(x)=x-6\sqrt{x}: f′(x)=1−62x=1−3xf'(x)=1-\frac{6}{2\sqrt{x}}=1-\frac{3}{\sqrt{x}}. המקדם 66 מצטמצם עם ה-22.

איפה מתאפסת הנגזרת של f(x)=x−6xf(x)=x-6\sqrt{x}?

Voir la réponse et le corrigé

1−3x=0⇒x=3⇒x=91-\frac{3}{\sqrt{x}}=0 \Rightarrow \sqrt{x}=3 \Rightarrow x=9. בדיקה: 1−33=01-\frac{3}{3}=0 ✓.

מכפלה: g(x)⋅f(x)g(x) \cdot \sqrt{f(x)}

(g⋅f)′=g′⋅f+g⋅f′2f\left(g \cdot \sqrt{f}\right)'=g' \cdot \sqrt{f}+g \cdot \frac{f'}{2\sqrt{f}}

כלל המכפלה ומכנה משותף

נתונה f(x)=xx+3f(x)=x\sqrt{x+3}. מצאו את f′(x)f'(x) ואת f′(1)f'(1).

f′(x)=1⋅x+3+x⋅12x+3f'(x)=1 \cdot \sqrt{x+3}+x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x+3}}

נגזרת הראשון כפול השני, ועוד הראשון כפול נגזרת השני

=2(x+3)+x2x+3=3x+62x+3=\frac{2(x+3)+x}{2\sqrt{x+3}}=\frac{3x+6}{2\sqrt{x+3}}

מכנה משותף 2x+32\sqrt{x+3}: הצורה הנוחה למציאת אפסים

f′(1)=92⋅2=94\begin{aligned}f'(1) &= \frac{9}{2 \cdot 2} \\ &= \frac{9}{4}\end{aligned}

On remplace (מציבים)

מנה: g(x)f(x)\frac{g(x)}{\sqrt{f(x)}}

(gf)′=g′⋅f−g⋅f′2ff\left(\frac{g}{\sqrt{f}}\right)'=\frac{g' \cdot \sqrt{f}-g \cdot \frac{f'}{2\sqrt{f}}}{f}

המכנה הוא (f)2=f\left(\sqrt{f}\right)^2=f. במונה: נגזרת המונה כפול המכנה, פחות המונה כפול נגזרת המכנה. הסדר חשוב בגלל המינוס.

למה אי אפשר להציב x=0x=0 בנגזרת של f(x)=x+4xf(x)=\frac{x+4}{\sqrt{x}}?

Voir la réponse et le corrigé

כי x=0x=0 אינו בתחום: 0=0\sqrt{0}=0 במכנה. הפונקציה מוגדרת רק ל-x>0x>0, וגם הנגזרת.

ארבע הטעויות של גזירת שורש.

(x)′=1x(\sqrt{x})'=\frac{1}{\sqrt{x}}
(x)′=12x(\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}

ה-22 נשכח.

(x2+5)′=12x2+5\left(\sqrt{x^2+5}\right)'=\frac{1}{2\sqrt{x^2+5}}
(x2+5)′=2x2x2+5\left(\sqrt{x^2+5}\right)'=\frac{2x}{2\sqrt{x^2+5}}

נגזרת הפנימית 2x2x נשכחה.

(xx+3)′=1⋅12x+3\left(x\sqrt{x+3}\right)'=1 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x+3}}
(xx+3)′=x+3+x2x+3\left(x\sqrt{x+3}\right)'=\sqrt{x+3}+\frac{x}{2\sqrt{x+3}}

מכפלת הנגזרות אינה נגזרת המכפלה. צריך את כלל המכפלה.

(gf)′=g⋅(f)′−g′⋅ff\left(\frac{g}{\sqrt{f}}\right)'=\frac{g \cdot (\sqrt{f})'-g' \cdot \sqrt{f}}{f}
(gf)′=g′⋅f−g⋅(f)′f\left(\frac{g}{\sqrt{f}}\right)'=\frac{g' \cdot \sqrt{f}-g \cdot (\sqrt{f})'}{f}

הסדר במונה הפוך, והסימן של כל התוצאה מתהפך.

Exercices

Exercice 1

גזרו: f(x)=4x+1f(x)=\sqrt{4x+1}

  1. 24x+1\frac{2}{\sqrt{4x+1}}
  2. 124x+1\frac{1}{2\sqrt{4x+1}}
  3. 24x+12\sqrt{4x+1}
  4. 44x+1\frac{4}{\sqrt{4x+1}}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A 24x+1\frac{2}{\sqrt{4x+1}}

Corrigé :

f′(x)=424x+1f'(x)=\frac{4}{2\sqrt{4x+1}}

נגזרת הפנימית 44 במונה

=24x+1=\frac{2}{\sqrt{4x+1}}

מצמצמים

הנכונה: 24x+1\frac{2}{\sqrt{4x+1}}. 124x+1\frac{1}{2\sqrt{4x+1}} שכח את נגזרת הפנימית. 44x+1\frac{4}{\sqrt{4x+1}} שכח את ה-22 שבמכנה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתונה f(x)=x2+9f(x)=\sqrt{x^2+9}. חשבו את f′(4)f'(4).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.8

Corrigé :

f′(x)=2x2x2+9=xx2+9\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2x}{2\sqrt{x^2+9}} \\ &= \frac{x}{\sqrt{x^2+9}}\end{aligned}

נגזרת

f′(4)=425=45\begin{aligned}f'(4) &= \frac{4}{\sqrt{25}} \\ &= \frac{4}{5}\end{aligned}

On remplace (מציבים)

f′(4)=0.8f'(4)=0.8. מי שמקבל 55 הציב בפונקציה ולא בנגזרת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתונה f(x)=3x+x2f(x)=3\sqrt{x}+x^2. חשבו את f′(4)f'(4).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 8.75

Corrigé :

f′(x)=32x+2xf'(x)=\frac{3}{2\sqrt{x}}+2x

גוזרים כל מחובר

f′(4)=34+8=8.75\begin{aligned}f'(4) &= \frac{3}{4}+8 \\ &= 8.75\end{aligned}

On remplace (מציבים)

המקדם 33 נשאר במונה. מי ששוכח את ה-22 במכנה מקבל 32+8=9.5\frac{3}{2}+8=9.5.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

גזרו: f(x)=10−2xf(x)=\sqrt{10-2x}

  1. −1210−2x\frac{-1}{2\sqrt{10-2x}}
  2. −110−2x\frac{-1}{\sqrt{10-2x}}
  3. 110−2x\frac{1}{\sqrt{10-2x}}
  4. −210−2x\frac{-2}{\sqrt{10-2x}}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B −110−2x\frac{-1}{\sqrt{10-2x}}

Corrigé :

f′(x)=−2210−2x=−110−2x\begin{aligned}f'(x) &= \frac{-2}{2\sqrt{10-2x}} \\ &= \frac{-1}{\sqrt{10-2x}}\end{aligned}

נגזרת הפנימית −2-2

הנכונה: −110−2x\frac{-1}{\sqrt{10-2x}}. המינוס בא מנגזרת הפנימית: הפונקציה יורדת בכל התחום.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

נתונה f(x)=xx−3f(x)=x\sqrt{x-3}. חשבו את f′(4)f'(4).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

f′(x)=x−3+x2x−3f'(x)=\sqrt{x-3}+\frac{x}{2\sqrt{x-3}}

כלל המכפלה

f′(4)=1+42=3\begin{aligned}f'(4) &= 1+\frac{4}{2} \\ &= 3\end{aligned}

On remplace (מציבים)

מי שגוזר רק את השורש מקבל 12\frac{1}{2}, ומי שגוזר רק את xx מקבל 11. במכפלה יש שני מחוברים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

נתונה f(x)=x+9xf(x)=\frac{x+9}{\sqrt{x}}. חשבו את f′(1)f'(1).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -4

Corrigé :

f′(x)=x−x+92xxf'(x)=\frac{\sqrt{x}-\frac{x+9}{2\sqrt{x}}}{x}

כלל המנה

f′(1)=1−1021=−4\begin{aligned}f'(1) &= \frac{1-\frac{10}{2}}{1} \\ &= -4\end{aligned}

On remplace (מציבים)

מי שהופך את הסדר במונה מקבל 44. נגזרת המונה כפול המכנה קודם, ורק אז מחסרים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

f(x)=x2+5f(x)=\sqrt{x^2+5}
f′(x)=12x2+5f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x^2+5}}
f′(2)=16f'(2)=\frac{1}{6}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : f′(x)=12x2+5f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x^2+5}} → f′(x)=2x2x2+5=xx2+5f'(x)=\frac{2x}{2\sqrt{x^2+5}}=\frac{x}{\sqrt{x^2+5}}

Corrigé :

f′(x)=xx2+5f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+5}}

נגזרת החיצונית כפול נגזרת הפנימית 2x2x

f′(2)=23f'(2)=\frac{2}{3}

התוצאה הנכונה

השורה השנייה שכחה את נגזרת הפנימית. השורה השלישית רק ממשיכה את הטעות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

הוכיחו או הפריכו: הנגזרת של f(x)=xxf(x)=x\sqrt{x} היא f′(x)=32xf'(x)=\frac{3}{2}\sqrt{x}.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

f′(x)=x+x⋅12xf'(x)=\sqrt{x}+x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}

כלל המכפלה

=x+x2=32x=\sqrt{x}+\frac{\sqrt{x}}{2}=\frac{3}{2}\sqrt{x}

xx=x\frac{x}{\sqrt{x}}=\sqrt{x}

הטענה נכונה. מי שגוזר כל גורם ומכפיל מקבל 1⋅12x1 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}, ומפספס.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

נתונה f(x)=x2−9f(x)=\sqrt{x^2-9}. השלימו.

f(5)=f(5)= ____ , f′(5)=f'(5)= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : f(5)=f(5)= 4 , f′(5)=f'(5)= 1.25

Corrigé :

f(5)=16=4\begin{aligned}f(5) &= \sqrt{16} \\ &= 4\end{aligned}

הגובה

f′(x)=xx2−9 ⇒ f′(5)=54\begin{aligned}f'(x) &= \frac{x}{\sqrt{x^2-9}} \ \Rightarrow \ f'(5) \\ &= \frac{5}{4}\end{aligned}

השיפוע

הגובה מ-ff, השיפוע מ-f′f'. f′(5)=54=1.25f'(5)=\frac{5}{4}=1.25.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

התאימו לכל פונקציה את הנגזרת שלה.

  • x\sqrt{x}
  • 2x2\sqrt{x}
  • 2x\sqrt{2x}
  • x+2\sqrt{x+2}
  • 12x\frac{1}{\sqrt{2x}}
  • 1x\frac{1}{\sqrt{x}}
  • 12x\frac{1}{2\sqrt{x}}
  • 12x+2\frac{1}{2\sqrt{x+2}}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : x\sqrt{x} — 12x\frac{1}{2\sqrt{x}} · 2x2\sqrt{x} — 1x\frac{1}{\sqrt{x}} · 2x\sqrt{2x} — 12x\frac{1}{\sqrt{2x}} · x+2\sqrt{x+2} — 12x+2\frac{1}{2\sqrt{x+2}}

Corrigé :

(2x)′=2⋅12x(2\sqrt{x})'=2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}

המקדם מצטמצם עם ה-22

(2x)′=222x(\sqrt{2x})'=\frac{2}{2\sqrt{2x}}

נגזרת הפנימית 22

(x+2)′=12x+2(\sqrt{x+2})'=\frac{1}{2\sqrt{x+2}}

נגזרת הפנימית 11

ה-22 מחוץ לשורש, ה-22 בתוך השורש ליד xx, וה-22 המחובר: שלושה מקומות, שלוש נגזרות שונות.

Vérifier la réponse sur elev

חזרה — שאלה 1

Exercice 11

ב. (1) גזרו את הפונקציה f(x)=6x+2x−1f(x)=6\sqrt{x}+2x-1.

  1. f′(x)=6x+2f'(x)=\frac{6}{\sqrt{x}}+2
  2. f′(x)=3x+2f'(x)=3\sqrt{x}+2
  3. f′(x)=3x+2f'(x)=\frac{3}{\sqrt{x}}+2
  4. f′(x)=3x+2xf'(x)=\frac{3}{\sqrt{x}}+2x
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C f′(x)=3x+2f'(x)=\frac{3}{\sqrt{x}}+2

Corrigé :

(x)′=12x(\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}

נגזרת השורש

6⋅12x=3x6 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{3}{\sqrt{x}}

קבוע כפול פונקציה

(2x−1)′=2(2x-1)'=2

הנגזרת של −1-1 היא אפס

הנכונה: f′(x)=3x+2f'(x)=\frac{3}{\sqrt{x}}+2, לכל x>0x>0. 6x\frac{6}{\sqrt{x}} שכח את ה-22 שבמכנה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

ב. (2) נתונה f(x)=x3−4xf(x)=x^3-4\sqrt{x}. גזרו את הפונקציה, וחשבו את f′(4)f'(4).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 47

Corrigé :

f′(x)=3x2−4⋅12x=3x2−2x\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2-4 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} \\ &= 3x^2-\frac{2}{\sqrt{x}}\end{aligned}

גוזרים כל מחובר

f′(4)=3⋅16−22=48−1=47\begin{aligned}f'(4) &= 3 \cdot 16-\frac{2}{2} \\ &= 48-1 \\ &= 47\end{aligned}

מציבים x=4x=4

f′(4)=47f'(4)=47.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 13

ב. (3) גזרו את הפונקציה f(x)=14−4xf(x)=\sqrt{14-4x}.

  1. f′(x)=1214−4xf'(x)=\frac{1}{2\sqrt{14-4x}}
  2. f′(x)=−414−4xf'(x)=\frac{-4}{\sqrt{14-4x}}
  3. f′(x)=214−4xf'(x)=\frac{2}{\sqrt{14-4x}}
  4. f′(x)=−214−4xf'(x)=\frac{-2}{\sqrt{14-4x}}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D f′(x)=−214−4xf'(x)=\frac{-2}{\sqrt{14-4x}}

Corrigé :

(g)′=g′2g(\sqrt{g})'=\frac{g'}{2\sqrt{g}}

נגזרת של שורש של ביטוי

f′(x)=−4214−4x=−214−4x\begin{aligned}f'(x) &= \frac{-4}{2\sqrt{14-4x}} \\ &= \frac{-2}{\sqrt{14-4x}}\end{aligned}

הנגזרת של 14−4x14-4x היא −4-4

הנכונה: −214−4x\frac{-2}{\sqrt{14-4x}}, לכל x<3.5x<3.5. 1214−4x\frac{1}{2\sqrt{14-4x}} שכח לכפול בנגזרת הפנימית, ו-214−4x\frac{2}{\sqrt{14-4x}} איבד את הסימן.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 14

ב. (4) נתונה f(x)=3x2−12xf(x)=\sqrt{3x^2-12x}. גזרו את הפונקציה, וחשבו את f′(6)f'(6).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

f′(x)=6x−1223x2−12x=3x−63x2−12x\begin{aligned}f'(x) &= \frac{6x-12}{2\sqrt{3x^2-12x}} \\ &= \frac{3x-6}{\sqrt{3x^2-12x}}\end{aligned}

הנגזרת הפנימית היא 6x−126x-12

f′(6)=18−6108−72=1236=2\begin{aligned}f'(6) &= \frac{18-6}{\sqrt{108-72}} \\ &= \frac{12}{\sqrt{36}} \\ &= 2\end{aligned}

מציבים x=6x=6

f′(6)=2f'(6)=2. x=6x=6 בתחום ההגדרה (x≥4x \geq 4), ושם מה שמתחת לשורש חיובי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 15

ב. (5) נתונה f(x)=5x−10xf(x)=5x-10\sqrt{x}. גזרו את הפונקציה. באיזה xx מתקיים f′(x)=0f'(x)=0?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1

Corrigé :

f′(x)=5−10⋅12x=5−5x\begin{aligned}f'(x) &= 5-10 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} \\ &= 5-\frac{5}{\sqrt{x}}\end{aligned}

גוזרים כל מחובר

5−5x=0 ⇒ x=1\begin{aligned}5-\frac{5}{\sqrt{x}} &= 0 \ \Rightarrow \ \sqrt{x} \\ &= 1\end{aligned}

משווים לאפס

x=1x=1

בתחום: x>0x>0 ✓

x=1x=1.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe