Domaine et graphe d'une fonction racine

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

נסו להקיש במחשבון −9\sqrt{-9}: תופיע הודעת שגיאה. 9=3\sqrt{9}=3 כי 32=93^2=9, אבל אין מספר ממשי שריבועו שלילי. הווידג׳ט מראה את זה בצורה אחרת: n\sqrt{n} הוא הצלע של ריבוע ששטחו nn, ושטח אינו שלילי.

הגרפים של y = √x ושל y = √(6 − 2x)
(0,0)(4,2)(9,3)(3,0)(1,2)-2-10123456789123xy
הגרף של y=√xy=\surd x מתחיל ב-(0,0)(0,0) ופונה ימינה. הגרף השני, y=√(6−2x)y=\surd(6-2x), מתחיל ב-(3,0)(3,0) ופונה שמאלה. לשני הגרפים אין אף נקודה מתחת לציר ה-xx.

לפי השרטוט: מאיזו נקודה מתחיל כל גרף, ולאיזה כיוון הוא פונה? ומה אפשר לומר על ערכי ה-yy?

Voir la réponse et le corrigé

y=xy=\sqrt{x} מתחיל ב-(0,0)(0,0) ופונה ימינה. y=6−2xy=\sqrt{6-2x} מתחיל ב-(3,0)(3,0), כי שם 6−2x=06-2x=0, ופונה שמאלה. בשני הגרפים y≥0y \geq 0: שורש לעולם אינו שלילי.

תחום ההגדרה של y=f(x)y=\sqrt{f(x)}

y=f(x):f(x)≥0y=\sqrt{f(x)} \quad : \quad f(x) \geq 0

בפרק הזה ff הוא ביטוי ממעלה ראשונה או שנייה. לכן תחום ההגדרה הוא פתרון של אי-שוויון ממעלה ראשונה או שנייה. אי-שוויון ממעלה שנייה פותרים עם סקיצה של הפרבולה: איפה היא מעל הציר או עליו.

x−5 : x≥5\sqrt{x-5} \ : \ x \geq 5

אי-שוויון ממעלה ראשונה

12−4x : x≤3\sqrt{12-4x} \ : \ x \leq 3

מחלקים ב-−4-4, ולכן כיוון האי-שוויון מתהפך

x2−4 : x≤−2 או x≥2\sqrt{x^2-4} \ : \ x \leq -2 \ \text{או} \ x \geq 2

הפרבולה x2−4x^2-4 פתוחה למעלה: אי-שלילית מחוץ לשורשים

4−x2 : −2≤x≤2\sqrt{4-x^2} \ : \ -2 \leq x \leq 2

הפרבולה 4−x24-x^2 פתוחה למטה: אי-שלילית בין השורשים

x2+3 : כל x\sqrt{x^2+3} \ : \ \text{כל } x

x2+3≥3x^2+3 \geq 3 תמיד

מהו תחום ההגדרה של f(x)=x2−6xf(x)=\sqrt{x^2-6x}?

Voir la réponse et le corrigé

x2−6x=x(x−6)≥0x^2-6x=x(x-6) \geq 0. השורשים 00 ו-66, והפרבולה פתוחה למעלה, ולכן: x≤0x \leq 0 או x≥6x \geq 6. בין 00 ל-66 הפונקציה אינה מוגדרת.

הגרף של y=ax+by=\sqrt{ax+b}

הגרף של y=ax+by=\sqrt{ax+b} מתחיל בנקודה שבה ax+b=0ax+b=0, כלומר ב-x=−bax=-\frac{b}{a}, על ציר ה-xx. אם a>0a>0 הגרף פונה ימינה. אם a<0a<0 הגרף פונה שמאלה. מספר שמוסיפים מחוץ לשורש מזיז את הגרף למעלה או למטה.

תחום, נקודת התחלה וחיתוך עם הצירים

נתונה f(x)=x+4−1f(x)=\sqrt{x+4}-1. מצאו את תחום ההגדרה, את נקודת ההתחלה של הגרף ואת נקודות החיתוך עם הצירים.

x+4≥0 ⇒ x≥−4x+4 \geq 0 \ \Rightarrow \ x \geq -4

תחום ההגדרה. המקדם של xx חיובי, ולכן הגרף פונה ימינה

f(−4)=0−1=−1\begin{aligned}f(-4) &= \sqrt{0}-1 \\ &= -1\end{aligned}

נקודת ההתחלה: (−4, −1)(-4,\,-1)

f(0)=4−1=1\begin{aligned}f(0) &= \sqrt{4}-1 \\ &= 1\end{aligned}

חיתוך עם ציר ה-yy: (0, 1)(0,\,1)

x+4=1 ⇒ x+4=1 ⇒ x=−3\begin{aligned}\sqrt{x+4} &= 1 \ \Rightarrow \ x+4 \\ &= 1 \ \Rightarrow \ x \\ &= -3\end{aligned}

חיתוך עם ציר ה-xx: (−3, 0)(-3,\,0). בדיקה: 1−1=0\sqrt{1}-1=0 ✓

מהו תחום ההגדרה של f(x)=x+2+5−xf(x)=\sqrt{x+2}+\sqrt{5-x}?

Voir la réponse et le corrigé

שני השורשים צריכים להיות מוגדרים: x≥−2x \geq -2 וגם x≤5x \leq 5. התחום: −2≤x≤5-2 \leq x \leq 5. לוקחים את החלק המשותף לשני התחומים.

תחום ההגדרה הוא הצעד הראשון בכל שאלה על פונקציית שורש: בחקירה, במשוואה ובמשיק. פתרון שנמצא מחוץ לתחום נפסל.

שלוש טעויות בתחום ההגדרה.

12−4x : x≥3\sqrt{12-4x} \ : \ x \geq 3
12−4x : x≤3\sqrt{12-4x} \ : \ x \leq 3

חילקו ב-−4-4 ולא הפכו את הכיוון. בדיקה: x=0x=0 נותן 12\sqrt{12}, מוגדר.

x2−4 : x≥2\sqrt{x^2-4} \ : \ x \geq 2
x≤−2 או x≥2x \leq -2 \ \text{או} \ x \geq 2

שכחו את החלק השמאלי. בדיקה: x=−3x=-3 נותן 5\sqrt{5}, מוגדר.

4−x2 : x≤−2 או x≥2\sqrt{4-x^2} \ : \ x \leq -2 \ \text{או} \ x \geq 2
4−x2 : −2≤x≤2\sqrt{4-x^2} \ : \ -2 \leq x \leq 2

הפרבולה 4−x24-x^2 פתוחה למטה. בדיקה: x=3x=3 נותן −5\sqrt{-5}, לא מוגדר.

Exercices

Exercice 1

מהו תחום ההגדרה של f(x)=8−2xf(x)=\sqrt{8-2x}?

  1. x≥−4x \geq -4
  2. x≥4x \geq 4
  3. x≤4x \leq 4
  4. x<4x < 4
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C x≤4x \leq 4

Corrigé :

8−2x≥08-2x \geq 0

מה שמתחת לשורש אי-שלילי

−2x≥−8 ⇒ x≤4-2x \geq -8 \ \Rightarrow \ x \leq 4

מחלקים ב-−2-2 והופכים את הכיוון

הנכונה: x≤4x \leq 4. x≥4x \geq 4 שכח להפוך את הכיוון. x<4x<4 שכח ש-0=0\sqrt{0}=0 מוגדר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתונה f(x)=3x+6f(x)=\sqrt{3x+6}. השלימו.

תחום ההגדרה: x≥x \geq ____ , f(10)=f(10)= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : תחום ההגדרה: x≥x \geq -2 , f(10)=f(10)= 6

Corrigé :

3x+6≥0 ⇒ x≥−23x+6 \geq 0 \ \Rightarrow \ x \geq -2

תחום ההגדרה

f(10)=36=6\begin{aligned}f(10) &= \sqrt{36} \\ &= 6\end{aligned}

On remplace (מציבים)

36=6\sqrt{36}=6 ולא ±6\pm 6: השורש הוא תמיד המספר האי-שלילי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

מהו תחום ההגדרה של f(x)=x2−25f(x)=\sqrt{x^2-25}?

  1. כל xx
  2. −5≤x≤5-5 \leq x \leq 5
  3. x≥5x \geq 5
  4. x≤−5x \leq -5 או x≥5x \geq 5
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D x≤−5x \leq -5 או x≥5x \geq 5

Corrigé :

x2−25=(x−5)(x+5)≥0x^2-25=(x-5)(x+5) \geq 0

מפרקים

x≤−5 או x≥5x \leq -5 \ \text{או} \ x \geq 5

פרבולה פתוחה למעלה: מחוץ לשורשים

הנכונה: x≤−5x \leq -5 או x≥5x \geq 5. בקטע −5<x<5-5<x<5 הביטוי שלילי. x≥5x \geq 5 שוכח את החלק השמאלי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

מהו תחום ההגדרה של f(x)=4x−x2f(x)=\sqrt{4x-x^2}?

  1. x≤0x \leq 0 או x≥4x \geq 4
  2. 0≤x≤40 \leq x \leq 4
  3. x≥4x \geq 4
  4. כל xx
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B 0≤x≤40 \leq x \leq 4

Corrigé :

4x−x2=x(4−x)≥04x-x^2=x(4-x) \geq 0

מפרקים

0≤x≤40 \leq x \leq 4

פרבולה פתוחה למטה: בין השורשים

הנכונה: 0≤x≤40 \leq x \leq 4. המקדם של x2x^2 שלילי, ולכן הביטוי חיובי בין השורשים. בדיקה: x=2x=2 נותן 4\sqrt{4}.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

נתונה f(x)=x+7−3f(x)=\sqrt{x+7}-3. מצאו את שיעור ה-xx של נקודת החיתוך של הגרף עם ציר ה-xx.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

x+7−3=0 ⇒ x+7=3\begin{aligned}\sqrt{x+7}-3 &= 0 \ \Rightarrow \ \sqrt{x+7} \\ &= 3\end{aligned}

מבודדים את השורש

x+7=9 ⇒ x=2\begin{aligned}x+7 &= 9 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}

מעלים בריבוע

9−3=0\sqrt{9}-3=0

בדיקה ✓

מי שכותב x+7=3x+7=3 שכח להעלות בריבוע. קודם מבודדים את השורש, ורק אז מעלים בריבוע.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

מיינו את הפונקציות: באילו מהן x=3x=3 נמצא בתחום ההגדרה?

  • מוגדרת ב-x=3x=3
  • לא מוגדרת ב-x=3x=3
  • 10−3x\sqrt{10-3x}
  • 6−2x\sqrt{6-2x}
  • x−4\sqrt{x-4}
  • x2−10\sqrt{x^2-10}
  • x2−4x\sqrt{x^2-4x}
  • x2−9\sqrt{x^2-9}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6−2x\sqrt{6-2x} — מוגדרת ב-x=3x=3 · x2−9\sqrt{x^2-9} — מוגדרת ב-x=3x=3 · 10−3x\sqrt{10-3x} — מוגדרת ב-x=3x=3 · x−4\sqrt{x-4} — לא מוגדרת ב-x=3x=3 · x2−10\sqrt{x^2-10} — לא מוגדרת ב-x=3x=3 · x2−4x\sqrt{x^2-4x} — לא מוגדרת ב-x=3x=3

Corrigé :

6−6=0=0\begin{aligned}\sqrt{6-6} &= \sqrt{0} \\ &= 0\end{aligned}

אפס מותר מתחת לשורש

9−9=010−9=1\begin{aligned}\sqrt{9-9} &= 0 \\ \quad \sqrt{10-9} &= 1\end{aligned}

מוגדרות

−1,9−10,9−12\sqrt{-1} ,\quad \sqrt{9-10} ,\quad \sqrt{9-12}

שלילי מתחת לשורש: לא מוגדרות

מציבים x=3x=3 בביטוי שמתחת לשורש ובודקים את הסימן. אפס מותר: 0=0\sqrt{0}=0.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

הוכיחו או הפריכו: תחום ההגדרה של f(x)=x2+2x+5f(x)=\sqrt{x^2+2x+5} הוא כל xx.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

x2+2x+5=(x+1)2+4≥4>0x^2+2x+5=(x+1)^2+4 \geq 4 > 0

הביטוי חיובי תמיד

הטענה נכונה. גם בלי השלמה לריבוע: b2−4ac=4−20<0b^2-4ac=4-20<0, והפרבולה פתוחה למעלה ולא חותכת את הציר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

תחום ההגדרה של f(x)=8+2x−x2f(x)=\sqrt{8+2x-x^2} הוא קטע. מהו אורך הקטע?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6

Corrigé :

8+2x−x2≥0 ⇒ x2−2x−8≤08+2x-x^2 \geq 0 \ \Rightarrow \ x^2-2x-8 \leq 0

כופלים ב-−1-1 והופכים את הכיוון

(x−4)(x+2)≤0 ⇒ −2≤x≤4(x-4)(x+2) \leq 0 \ \Rightarrow \ -2 \leq x \leq 4

בין השורשים

4−(−2)=64-(-2)=6

אורך הקטע

אחרי הכפל ב-−1-1 הכיוון מתהפך. מי ששוכח את זה מקבל x≤−2x \leq -2 או x≥4x \geq 4, ושם אין קטע.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

התאימו לכל פונקציה את תחום ההגדרה שלה.

  • x−3\sqrt{x-3}
  • 3−x\sqrt{3-x}
  • x2−9\sqrt{x^2-9}
  • 9−x2\sqrt{9-x^2}
  • −3≤x≤3-3 \leq x \leq 3
  • x≥3x \geq 3
  • x≤−3x \leq -3 או x≥3x \geq 3
  • x≤3x \leq 3
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : x−3\sqrt{x-3} — x≥3x \geq 3 · 3−x\sqrt{3-x} — x≤3x \leq 3 · x2−9\sqrt{x^2-9} — x≤−3x \leq -3 או x≥3x \geq 3 · 9−x2\sqrt{9-x^2} — −3≤x≤3-3 \leq x \leq 3

Corrigé :

3−x≥0 ⇒ x≤33-x \geq 0 \ \Rightarrow \ x \leq 3

מינוס לפני xx הופך את הכיוון

9−x2≥0 ⇒ −3≤x≤39-x^2 \geq 0 \ \Rightarrow \ -3 \leq x \leq 3

פרבולה פתוחה למטה: בין השורשים

ארבעה תחומים, וכולם סביב המספר 33. בביטוי ממעלה שנייה קובע הסימן של x2x^2: פתוחה למעלה, מחוץ לשורשים; פתוחה למטה, בין השורשים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

y = √(ax + b)
(−3,0)(1,4)-4-3-2-101234512345xy

בשרטוט הגרף של f(x)=ax+bf(x)=\sqrt{ax+b}. הגרף מתחיל בנקודה (−3, 0)(-3,\,0) ועובר בנקודה (1, 4)(1,\,4). מצאו את aa ואת bb.

a=a= ____ , b=b= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : a=a= 4 , b=b= 12

Corrigé :

−ba=−3 ⇒ b=3a\begin{aligned}-\frac{b}{a} &= -3 \ \Rightarrow \ b \\ &= 3a\end{aligned}

הגרף מתחיל ב-x=−3x=-3

a+b=4 ⇒ a+b=16\begin{aligned}\sqrt{a+b} &= 4 \ \Rightarrow \ a+b \\ &= 16\end{aligned}

הנקודה (1,4)(1,4) על הגרף

a+3a=16 ⇒ a=4 b=12\begin{aligned}a+3a &= 16 \ \Rightarrow \ a \\ &= 4 \\ \ b &= 12\end{aligned}

On remplace (מציבים)

4⋅1+12=4\sqrt{4 \cdot 1+12}=4

בדיקה ✓

הגרף פונה ימינה, ולכן a>0a>0, ו-a=4a=4 מתאים. מי שכותב a+b=4a+b=4 שכח להעלות בריבוע את a+b=4\sqrt{a+b}=4.

Vérifier la réponse sur elev

חזרה — שאלה 1

Exercice 11

א. (1) מהו תחום ההגדרה של f(x)=6x+2x−1f(x)=6\sqrt{x}+2x-1?

  1. x>0x > 0
  2. x≥12x \geq \frac{1}{2}
  3. כל xx
  4. x≥0x \geq 0
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D x≥0x \geq 0

Corrigé :

2x−12x-1

פולינום: מוגדר לכל xx

x≥0x \geq 0

רק x\sqrt{x} מגביל: מה שמתחת לשורש אי-שלילי

הנכונה: x≥0x \geq 0. ב-x=0x=0 הפונקציה מוגדרת: f(0)=−1f(0)=-1. x>0x>0 שכח ש-0=0\sqrt{0}=0.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

א. (2) נתונה f(x)=x3−4xf(x)=x^3-4\sqrt{x}. השלימו את תחום ההגדרה.

תחום ההגדרה: x≥x \geq ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : תחום ההגדרה: x≥x \geq 0

Corrigé :

x3x^3

מוגדר לכל xx

x≥0x \geq 0

התנאי של x\sqrt{x}

תחום ההגדרה של סכום הוא החלק המשותף לתחומים של המחוברים: x≥0x \geq 0.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 13

א. (3) נתונה f(x)=14−4xf(x)=\sqrt{14-4x}. השלימו את תחום ההגדרה (מספר עשרוני).

תחום ההגדרה: x≤x \leq ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : תחום ההגדרה: x≤x \leq 3.5

Corrigé :

14−4x≥014-4x \geq 0

מה שמתחת לשורש אי-שלילי

−4x≥−14 ⇒ x≤3.5-4x \geq -14 \ \Rightarrow \ x \leq 3.5

מחלקים ב-−4-4 והופכים את הכיוון

תחום ההגדרה: x≤3.5x \leq 3.5. בדיקה: f(3.5)=0=0f(3.5)=\sqrt{0}=0, ו-f(4)=−2f(4)=\sqrt{-2} לא מוגדר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 14

א. (4) מהו תחום ההגדרה של f(x)=3x2−12xf(x)=\sqrt{3x^2-12x}?

  1. 0≤x≤40 \leq x \leq 4
  2. x≤0x \leq 0 או x≥4x \geq 4
  3. x≤−4x \leq -4 או x≥0x \geq 0
  4. x≥4x \geq 4
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B x≤0x \leq 0 או x≥4x \geq 4

Corrigé :

3x2−12x≥03x^2-12x \geq 0

מה שמתחת לשורש אי-שלילי

3x(x−4)≥03x(x-4) \geq 0

מוציאים גורם משותף: שורשים x=0x=0 ו-x=4x=4

x≤0 או x≥4x \leq 0 \ \text{או} \ x \geq 4

פרבולה «שמחה»: חיובית מחוץ לשורשים

הנכונה: x≤0x \leq 0 או x≥4x \geq 4. 0≤x≤40 \leq x \leq 4 הוא הקטע שבו הביטוי שלילי (למשל x=2x=2: 12−24=−1212-24=-12).

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 15

א. (5) הוכיחו או הפריכו: תחום ההגדרה של f(x)=5x−10xf(x)=5x-10\sqrt{x} הוא כל xx, כי 5x5x מוגדר לכל xx.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

x≥0x \geq 0

התנאי של x\sqrt{x}

f(−1)=−5−10−1f(-1)=-5-10\sqrt{-1}

לא מוגדר

הטענה לא נכונה. כל מחובר מגביל את התחום: 5x5x לא מגביל, אבל x\sqrt{x} דורש x≥0x \geq 0. תחום ההגדרה: x≥0x \geq 0.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe