Mesures de dispersion

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

שתי כיתות, שבעה תלמידים בכל אחת, ואותו ממוצע בדיוק. האם הכיתות דומות? הסתכלו על הנקודות.

הציונים של שבעה תלמידים בכל כיתה
ממוצע5055606570758085909510003ציון
  • כיתה א
  • כיתה ב
לשתי הכיתות אותו ממוצע, 7575. אבל בכיתה א כל הציונים צפופים סביבו, ובכיתה ב הם מפוזרים מ-5555 עד 9595.

איזו כיתה «אחידה» יותר? ומה ההפרש בין הציון הגבוה לנמוך בכל כיתה?

Voir la réponse et le corrigé

כיתה א אחידה יותר. ההפרש בכיתה א: 80−70=1080-70=10. בכיתה ב: 95−55=4095-55=40. מדד מרכז לבד לא מספר את כל הסיפור: צריך גם מדד פיזור.

הטווח

R=xmax−xminR = x_{max} - x_{min}

הטווח הוא ההפרש בין הנתון הגדול ביותר לקטן ביותר. הוא קל לחישוב, אבל משתמש רק בשני נתונים: נתון קיצוני אחד משנה אותו לגמרי, והוא לא אומר כלום על כל מה שבאמצע.

השונות וסטיית התקן

מדד טוב יותר מודד כמה כל נתון רחוק מהממוצע. את ההפרשים x−xˉx-\bar{x} אי אפשר פשוט לחבר: סכומם תמיד 00, כי מה שמעל הממוצע מאזן את מה שמתחתיו. לכן מעלים כל הפרש בחזקת 2, ומחשבים את הממוצע שלהם. זו השונות. השורש שלה הוא סטיית התקן, והיא באותן יחידות כמו הנתונים.

σ2=(x1−xˉ)2+(x2−xˉ)2+⋯+(xn−xˉ)2nσ=σ2\begin{aligned}\sigma^2 &= \frac{(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2}{n} \qquad \sigma \\ &= \sqrt{\sigma^2}\end{aligned}

סטיית התקן של חמישה נתונים

מצאו את השונות ואת סטיית התקן של 9, 11, 12, 13, 159,\ 11,\ 12,\ 13,\ 15.

xˉ=605=12\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{60}{5} \\ &= 12\end{aligned}

קודם הממוצע

x−xˉ: −3, −1, 0, 1, 3x-\bar{x}:\ -3,\ -1,\ 0,\ 1,\ 3

ההפרשים. בדיקה: הסכום 00

(x−xˉ)2: 9, 1, 0, 1, 9(x-\bar{x})^2:\ 9,\ 1,\ 0,\ 1,\ 9

מעלים בחזקת 2

σ2=205=4\begin{aligned}\sigma^2 &= \frac{20}{5} \\ &= 4\end{aligned}

השונות: ממוצע ההפרשים בחזקת 2

σ=4=2\begin{aligned}\sigma &= \sqrt{4} \\ &= 2\end{aligned}

סטיית התקן

מהי סטיית התקן של 6, 6, 6, 66,\ 6,\ 6,\ 6? ומה אפשר לומר על נתונים שסטיית התקן שלהם 00?

Voir la réponse et le corrigé

σ=0\sigma=0: כל ההפרשים מהממוצע הם 00. ולהפך: אם σ=0\sigma=0, כל ההפרשים בחזקת 2 הם 00, ולכן כל הנתונים שווים.

מטבלת שכיחויות כל הפרש בחזקת 2 נספר כמספר השכיחות שלו, ומחלקים ב-nn, מספר כל הנתונים. בטבלה לפי מחלקות משתמשים שוב באמצע כל מחלקה.

σ2=f1(x1−xˉ)2+f2(x2−xˉ)2+⋯+fk(xk−xˉ)2n\sigma^2=\frac{f_1(x_1-\bar{x})^2+f_2(x_2-\bar{x})^2+\dots+f_k(x_k-\bar{x})^2}{n}

סטיית תקן מטבלה

בטבלה: מספר ההקפות שרצו 16 תלמידים. 11 — 2 תלמידים, 33 — 3, 55 — 3, 77 — 1, 99 — 7.

xˉ=1⋅2+3⋅3+5⋅3+7⋅1+9⋅716=9616=6\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{1 \cdot 2+3 \cdot 3+5 \cdot 3+7 \cdot 1+9 \cdot 7}{16} \\ &= \frac{96}{16} \\ &= 6\end{aligned}

הממוצע

2⋅25+3⋅9+3⋅1+1⋅1+7⋅9=1442 \cdot 25+3 \cdot 9+3 \cdot 1+1 \cdot 1+7 \cdot 9=144

שכיחות כפול ההפרש בחזקת 2

σ2=14416=9σ=3\begin{aligned}\sigma^2 &= \frac{144}{16} \\ &= 9 \\ \quad \sigma &= 3\end{aligned}

שונות וסטיית תקן

כשכל הנתונים משתנים יחד

x→x+cx \to x+c

הנתונים זזים יחד, והמרחקים ביניהם לא משתנים: RR, σ\sigma ו-σ2\sigma^2 לא משתנים

x→c⋅xx \to c \cdot x

כל מרחק מוכפל ב-∣c∣|c|: R→∣c∣RR \to |c| R,  σ→∣c∣σ\ \sigma \to |c| \sigma,  σ2→c2σ2\ \sigma^2 \to c^2 \sigma^2

לנתונים סטיית תקן 44. כל נתון מוכפל ב-33 ואחר כך מוסיפים לו 1010. מהן סטיית התקן והשונות החדשות?

Voir la réponse et le corrigé

σ=3⋅4=12\sigma=3 \cdot 4=12: הכפל משנה, התוספת לא. השונות 122=14412^2=144, כלומר 99 פעמים השונות הקודמת 1616.

השוואה בין שתי קבוצות

משווים שתי קבוצות בשני שלבים: מדד מרכז אומר איזו קבוצה «גבוהה» יותר, ומדד פיזור אומר איזו אחידה יותר. קבוצה עם סטיית תקן קטנה יותר היא הומוגנית יותר: הנתונים שלה קרובים יותר לממוצע.

ביתרונות ובמגבלות: הטווח קל אבל רואה רק שני נתונים. סטיית התקן משתמשת בכל הנתונים ונמדדת ביחידות של הנתונים, אבל גם היא רגישה לנתון קיצוני, כי ההפרש שלו מועלה בחזקת 2.

שלוש טעויות של הפיזור.

σ(x+10)=σ(x)+10\sigma(x+10)=\sigma(x)+10
σ(x+10)=σ(x)\sigma(x+10)=\sigma(x)

תוספת קבועה מזיזה את כל הנתונים יחד. המרחקים מהממוצע לא משתנים, ולכן גם לא סטיית התקן.

σ(3x)=9σ(x)\sigma(3x)=9\sigma(x)
σ(3x)=3σ(x)\sigma(3x)=3\sigma(x)

פי 99 זו השונות. סטיית התקן היא שורש השונות, ולכן היא גדלה פי 33.

σ2=(−3)+(−1)+0+1+35=0\begin{aligned}\sigma^2 &= \frac{(-3)+(-1)+0+1+3}{5} \\ &= 0\end{aligned}
σ2=9+1+0+1+95=4\begin{aligned}\sigma^2 &= \frac{9+1+0+1+9}{5} \\ &= 4\end{aligned}

בלי ההעלאה בחזקת 2 ההפרשים מבטלים זה את זה, והסכום תמיד 00.

Exercices

Exercice 1

אלה המהירויות (בקמ״ש) של 7 רוכבי אופניים בתחרות: 34, 51, 28, 47, 39, 62, 4534,\ 51,\ 28,\ 47,\ 39,\ 62,\ 45. מהו הטווח?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 34

Corrigé :

xmax=62xmin=28\begin{aligned}x_{max} &= 62 \\ \quad x_{min} &= 28\end{aligned}

הגדול והקטן ביותר

R=62−28=34\begin{aligned}R &= 62-28 \\ &= 34\end{aligned}

הטווח

הטווח הוא הפרש בין הקצוות, לא בין הנתון הראשון לאחרון ברשימה (45−3445-34). קודם מוצאים את הגדול ואת הקטן.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

מצאו את השונות של הנתונים 3, 7, 11, 19, 253,\ 7,\ 11,\ 19,\ 25.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 64

Corrigé :

xˉ=655=13\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{65}{5} \\ &= 13\end{aligned}

הממוצע

x−xˉ: −10, −6, −2, 6, 12x-\bar{x}:\ -10,\ -6,\ -2,\ 6,\ 12

ההפרשים, וסכומם 00

100+36+4+36+144=320100+36+4+36+144=320

ההפרשים בחזקת 2

σ2=3205=64\begin{aligned}\sigma^2 &= \frac{320}{5} \\ &= 64\end{aligned}

השונות

השונות היא 6464, וסטיית התקן 88. שימו לב איזו מהן מבקשים: השונות נמדדת ביחידות בחזקת 2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

מצאו את סטיית התקן של הנתונים 3, 8, 8, 11, 18, 243,\ 8,\ 8,\ 11,\ 18,\ 24.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 7

Corrigé :

xˉ=726=12\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{72}{6} \\ &= 12\end{aligned}

הממוצע

81+16+16+1+36+144=29481+16+16+1+36+144=294

ההפרשים −9, −4, −4, −1, 6, 12-9,\ -4,\ -4,\ -1,\ 6,\ 12 בחזקת 2

σ2=2946=49\begin{aligned}\sigma^2 &= \frac{294}{6} \\ &= 49\end{aligned}

השונות

σ=49=7\begin{aligned}\sigma &= \sqrt{49} \\ &= 7\end{aligned}

סטיית התקן

ה-88 מופיע פעמיים, ושני ההפרשים שלו נכנסים לסכום. והשורש בסוף הוא מה שהופך שונות לסטיית תקן.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

מספר פעמים02468
מספר תלמידים27115

בטבלה: מספר הפעמים ש-16 תלמידים הלכו לבריכה בחודש. הממוצע הוא 44. מצאו את סטיית התקן.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

xˉ=0⋅2+2⋅7+4⋅1+6⋅1+8⋅516=6416=4\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{0 \cdot 2+2 \cdot 7+4 \cdot 1+6 \cdot 1+8 \cdot 5}{16} \\ &= \frac{64}{16} \\ &= 4\end{aligned}

בדיקת הממוצע

2⋅16+7⋅4+1⋅0+1⋅4+5⋅16=1442 \cdot 16+7 \cdot 4+1 \cdot 0+1 \cdot 4+5 \cdot 16=144

שכיחות כפול ההפרש בחזקת 2

σ2=14416=9σ=3\begin{aligned}\sigma^2 &= \frac{144}{16} \\ &= 9 \\ \quad \sigma &= 3\end{aligned}

שונות, ואז שורש

מחלקים ב-1616, מספר התלמידים, ולא ב-55, מספר הערכים. ומי שעוצר ב-99 נתן את השונות ולא את סטיית התקן.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

זמן ההמתנה בתור
זמן המתנה (דקות)0-1010-2020-3030-40
מספר אנשים5101510

בטבלה: מספר הדקות ש-40 אנשים חיכו בתור בקופת חולים. הממוצע לפי אמצעי המחלקות הוא 22.522.5. חשבו את סטיית התקן לפי אמצעי המחלקות. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 9.68

Corrigé :

5, 15, 25, 355,\ 15,\ 25,\ 35

אמצעי המחלקות

(−17.5)2, (−7.5)2, 2.52, 12.52(-17.5)^2,\ (-7.5)^2,\ 2.5^2,\ 12.5^2

ההפרשים מ-22.522.5, בחזקת 2: 306.25, 56.25, 6.25, 156.25306.25,\ 56.25,\ 6.25,\ 156.25

5⋅306.25+10⋅56.25+15⋅6.25+10⋅156.25=37505 \cdot 306.25+10 \cdot 56.25+15 \cdot 6.25+10 \cdot 156.25=3750

כפול השכיחויות

σ2=375040=93.75σ=93.75≈9.68\begin{aligned}\sigma^2 &= \frac{3750}{40} \\ &= 93.75 \\ \quad \sigma &= \sqrt{93.75} \approx 9.68\end{aligned}

שונות וסטיית תקן

כל אנשי המחלקה 10−2010-20 «עומדים» באמצע, 1515. לכן זו הערכה של סטיית התקן, כמו שהממוצע לפי מחלקות הוא הערכה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

לקבוצת נתונים סטיית תקן 44. מוסיפים 1010 לכל נתון. מהי סטיית התקן החדשה?

  1. 1414
  2. 44
  3. 4040
  4. 1616
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B 44

Corrigé :

x→x+10x \to x+10

כל הנתונים זזים יחד

xˉ→xˉ+10\bar{x} \to \bar{x}+10

גם הממוצע זז

(x+10)−(xˉ+10)=x−xˉ(x+10)-(\bar{x}+10)=x-\bar{x}

ההפרשים לא משתנים

הנכונה: 44. הממוצע עולה ב-1010, אבל המרחק של כל נתון מהממוצע נשאר אותו מרחק. 1414 מוסיף את התוספת גם לפיזור.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

לקבוצת נתונים הממוצע 2020 וסטיית התקן 55. כל נתון xx מוחלף ב-3x−43x-4. השלימו.

ממוצע: ____ , סטיית תקן: ____ , שונות: ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : ממוצע: 56 , סטיית תקן: 15 , שונות: 225

Corrigé :

3⋅20−4=563 \cdot 20-4=56

הממוצע עובר את השינוי כולו

3⋅5=153 \cdot 5=15

סטיית התקן מוכפלת ב-33, וה-−4-4 לא משפיע

152=22515^2=225

השונות: פי 99 מ-2525

הממוצע מרגיש גם את הכפל וגם את החיסור. סטיית התקן מרגישה רק את הכפל. ומי שעונה 1111 בסטיית התקן החיל עליה גם את ה-−4-4.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

בשתי כיתות נמדד מספר שעות השינה בלילה. ב-י1: ממוצע 7.57.5, סטיית תקן 0.60.6. ב-י2: ממוצע 7.57.5, סטיית תקן 1.41.4. מה נכון?

  1. י2 ישנה יותר
  2. הכיתות ישנות בממוצע אותו זמן, ו-י1 הומוגנית יותר
  3. י1 ישנה יותר
  4. אי אפשר להשוות, כי הממוצעים שווים
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B הכיתות ישנות בממוצע אותו זמן, ו-י1 הומוגנית יותר

Corrigé :

xˉ1=xˉ2=7.5\begin{aligned}\bar{x}_1 &= \bar{x}_2 \\ &= 7.5\end{aligned}

מדד המרכז: אין הבדל

0.6<1.40.6 < 1.4

מדד הפיזור: ב-י1 שעות השינה קרובות יותר לממוצע

הנכונה: הממוצעים שווים, ו-י1 הומוגנית יותר. סטיית תקן גדולה אינה אומרת «יותר שינה»: היא אומרת «יותר הבדלים בין התלמידים».

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

נכון או לא נכון: אם סטיית התקן של קבוצת נתונים היא 00, כל הנתונים שווים זה לזה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

σ=0 ⇒ ∑(x−xˉ)2=0\begin{aligned}\sigma &= 0 \ \Rightarrow \ \sum (x-\bar{x})^2 \\ &= 0\end{aligned}

סכום של מספרים אי-שליליים שווה 00

x−xˉ=0x-\bar{x}=0

לכן כל הפרש הוא 00, וכל נתון שווה לממוצע

הטענה נכונה. כל הפרש מועלה בחזקת 2, ולכן אינו שלילי. סכום של מספרים לא שליליים מתאפס רק כשכל אחד מהם אפס.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

לארבע הקבוצות הבאות אותו ממוצע, 1010. לאיזו מהן סטיית התקן הגדולה ביותר? ענו בלי לחשב.

  1. 8, 9, 11, 128,\ 9,\ 11,\ 12
  2. 10, 10, 10, 1010,\ 10,\ 10,\ 10
  3. 9, 10, 10, 119,\ 10,\ 10,\ 11
  4. 4, 6, 14, 164,\ 6,\ 14,\ 16
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D 4, 6, 14, 164,\ 6,\ 14,\ 16

Corrigé :

∣x−10∣: 6, 4, 4, 6|x-10|:\ 6,\ 4,\ 4,\ 6

בקבוצה הזאת כל נתון רחוק מהממוצע

∣x−10∣: 2, 1, 1, 2|x-10|:\ 2,\ 1,\ 1,\ 2

כאן כולם קרובים

σ(10, 10, 10, 10)=0\sigma(10,\ 10,\ 10,\ 10)=0

בלי פיזור בכלל

הנכונה: 4, 6, 14, 164,\ 6,\ 14,\ 16. סטיית התקן מודדת כמה הנתונים רחוקים מהממוצע, והקבוצה הזאת רחוקה ממנו בכל ארבעת הנתונים.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe