Série 3 · Équations et inéquations — la méthode des intervalles · Kita י

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

עשר שאלות מאתגרות: הצבה של ביטוי שלם, ריבוי זוגי, מכנה שמשנה סימן, ערך מוחלט של פונקציה וקריאה מגרף.

בשורש מריבוי זוגי הסימן לא מתחלף. סמנו אותו על הציר בצבע אחר לפני שאתם כותבים סימנים.

Exercices

Exercice 1

פתרו את המשוואה $(x^2-3x)^2-2(x^2-3x)-8=0$ . מהו סכום כל הפתרונות?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6

Corrigé :

\begin{aligned}t &= x^2-3x:\ t^2-2t-8 \\ &= 0 \Rightarrow t \\ &= 4 \\ \ t &= -2\end{aligned}

הצבה של הביטוי שחוזר

\begin{aligned}x^2-3x-4 &= 0 \Rightarrow x \\ &= 4 \\ \ x &= -1\end{aligned}

$t=4$

\begin{aligned}x^2-3x+2 &= 0 \Rightarrow x \\ &= 1 \\ \ x &= 2\end{aligned}

$t=-2$ — כאן $t$ מותר להיות שלילי

4-1+1+2=6

הסכום

מי שפוסל את $t=-2$ «כי $t$ שלילי» מאבד שני פתרונות. הפסילה נכונה רק כש- $t=x^2$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

פתרו את האי-שוויון $\frac{x^2-4}{x-1}\ge0$ .

$x\le-2$ או $1<x\le2$
$x\ge2$
$-2\le x\le1$ או $x\ge2$
$-2\le x<1$ או $x\ge2$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $-2\le x<1$ או $x\ge2$

Corrigé :

\frac{(x-2)(x+2)}{x-1}\ge0

פירוק המונה

x>2:+,\ 1<x<2:-,\ -2<x<1:+,\ x<-2:-

שלוש נקודות: $-2,\ 1,\ 2$

-2\le x<1 \ \text{או}\ x\ge2

$\pm2$ נכללים, $1$ לא

מי שמתעלם מהמכנה בשיטת הקטעים מקבל $x\le-2$ או $x\ge2$ — סימנים הפוכים לגמרי. התשובה: $-2\le x<1$ או $x\ge2$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

כמה פתרונות יש למשוואה $|x^2-5x|=6$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

\begin{aligned}x^2-5x &= 6 \Rightarrow (x-6)(x+1) \\ &= 0\end{aligned}

מקרה ראשון: $x=6,\ -1$

\begin{aligned}x^2-5x &= -6 \Rightarrow (x-2)(x-3) \\ &= 0\end{aligned}

מקרה שני: $x=2,\ 3$

4 \ \text{פתרונות}

המקרה השני נותן פתרונות אמיתיים: בגרף של $|x^2-5x|$ יש «פסגה» בגובה $6.25$ , והישר $y=6$ חותך גם אותה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

פתרו את האי-שוויון $(x-3)^2(x+1)(x-5)\le0$ .

$-1\le x\le5$
$-1\le x\le3$
$x\le-1$ או $x\ge5$
$-1\le x<3$ או $3<x\le5$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $-1\le x\le5$

Corrigé :

(x-3)^2\ge0

הגורם הכפול לא משנה סימן

(x+1)(x-5)\le0 \Rightarrow -1\le x\le5

הסימן נקבע לפי שני הגורמים האחרים

x=3 \in [-1,5]

ובנקודה $x=3$ הביטוי שווה $0$ — נכלל ממילא

מי שמוציא את $x=3$ מהתשובה פותר את $<0$ . ב- $\le$ הנקודה נכללת. התשובה: $-1\le x\le5$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

האם ייתכן שלמשוואה מהצורה $x^4+bx^2+c=0$ יש פתרון אחד בלבד?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

\begin{aligned}b &= 1 \\ \ c &= 0:\ x^4+x^2 \\ &= 0\end{aligned}

דוגמה

\begin{aligned}x^2(x^2+1) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 0\end{aligned}

$x^2+1$ לא מתאפס

\begin{aligned}t &= 0 \ \text{ו-}\ t \\ &= -1\end{aligned}

ב- $t$ : אפס ושלילי

כן. פתרון יחיד $x=0$ מתקבל כש- $t=0$ פתרון והערך השני של $t$ שלילי (או ששניהם $0$ , כמו ב- $x^4=0$ ).

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

מהו הערך השלם הגדול ביותר של $k$ שעבורו $x^2+kx+4>0$ לכל $x$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

\Delta=k^2-16<0

$a=1>0$

(k-4)(k+4)<0 \Rightarrow -4<k<4

k=3

$k=4$ נותן $(x+2)^2$ , שמתאפס ב- $x=-2$ . הקצה לא נכלל.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

פתרו את האי-שוויון $\frac{2}{x-1}<1$ .

$x<3$
$x<1$ או $x>3$
$1<x<3$
$x>3$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $x<1$ או $x>3$

Corrigé :

\frac{2-(x-1)}{x-1}<0 \Rightarrow \frac{3-x}{x-1}<0

אגף אחד

x<1:-,\quad 1<x<3:+,\quad x>3:-

סימנים

x<1 \ \text{או}\ x>3

כפל ב- $(x-1)$ נותן $x>3$ ומאבד את כל $x<1$ — שם השבר שלילי ובוודאי קטן מ- $1$ . התשובה: $x<1$ או $x>3$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

נתונה המשוואה $x^5-5x^3+4x=0$ . השלימו.

מספר הפתרונות הוא ____, והפתרון הגדול ביותר הוא ____.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : מספר הפתרונות הוא 5, והפתרון הגדול ביותר הוא 2.

Corrigé :

x(x^4-5x^2+4)=0

גורם משותף

\begin{aligned}x &= 0 \ \text{או}\ t^2-5t+4 \\ &= 0\end{aligned}

\begin{aligned}x &= 0 \\ \ \pm1 \\ \ \pm2\end{aligned}

חמישה פתרונות

מי שמחלק ב- $x$ סופר ארבעה. גורם משותף שומר על $x=0$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

פתרו את האי-שוויון $|x-1|\ge2x-5$ . מהו הערך הגדול ביותר של $x$ שמקיים אותו?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

x\ge1:\ x-1\ge2x-5 \Rightarrow x\le4

מקרה ראשון: $1\le x\le4$

x<1:\ 1-x\ge2x-5 \Rightarrow x\le2

מקרה שני: כל $x<1$

x\le4

איחוד שני המקרים

בכל מקרה חותכים עם התנאי של המקרה ( $x\ge1$ או $x<1$ ), ורק אז מאחדים. ב- $x=4$ : $|3|=3=2\cdot4-5$ — השוויון מתקיים ולכן $4$ נכלל.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

לפניכם הגרף של הפולינום $f(x)=(x+3)(x-1)^2$ . פתרו את האי-שוויון $\frac{f(x)}{x-2}\le0$ .

$-3\le x<2$
$x\le-3$ או $x>2$
$-3\le x\le2$
$-3<x<2$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $-3\le x<2$

Corrigé :

x<-3:\ f<0,\ x-2<0 \Rightarrow +

שני שליליים

-3<x<2:\ f\ge0,\ x-2<0 \Rightarrow \le0

מהגרף: $f\ge0$ שם

x>2:\ f>0,\ x-2>0 \Rightarrow +

-3\le x<2

$x=-3$ ו- $x=1$ נותנים $0$ ; $x=2$ לא מוגדר

$x=2$ מאפס את המכנה ולכן לא נכלל, גם באי-שוויון $\le$ . התשובה: $-3\le x<2$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercices

La suite se pratique sur elev