Série 3 — difficile

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

עשר שאלות שבכל אחת מסתתר צעד שקל לדלג עליו: שני ערכים פסולים במקום אחד, u2=∣u∣\sqrt{u^2} = |u|, פרמטר עם שני פתרונות, או הפוכה שקיימת רק בענף אחד.

בשאלות «נכון או לא נכון» — חפשו דוגמה נגדית לפני שמאשרים. ובכל שאלה על הפוכה: f−1(a)f^{-1}(a) היא שאלה על ff, ואפשר לענות בלי למצוא נוסחה.

Exercices

Exercice 1

כמה מספרים שלמים בין −3-3 ל-33 (כולל) נמצאים בתחום ההגדרה של f(x)=x+3x2−4f(x) = \dfrac{\sqrt{x + 3}}{x^2 - 4}?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5

Corrigé :

x+3≥0⇒x≥−3x + 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq -3

השורש במונה — −3-3 מותר

x2−4≠0⇒x≠±2x^2 - 4 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 2

המכנה

−3, −1, 0, 1, 3-3 ,\ -1 ,\ 0 ,\ 1 ,\ 3

חמישה שלמים

שני הפסולים הם 22 ו-(−2)(-2). מי שפסל רק את 22 שכח ש-x2=4x^2 = 4 נותן שני פתרונות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

הפונקציה f(x)=x2x−1f(x) = \dfrac{x^2}{x - 1} היא זוגית, כי (−x)2=x2(-x)^2 = x^2.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

x≠1x \neq 1

התחום

x=−1 בתחום, x=1 לא\begin{aligned}x &= -1 \ \text{בתחום, } x \\ &= 1 \ \text{לא}\end{aligned}

התחום אינו סימטרי

f(−2)=4−3≠41=f(2)\begin{aligned}f(-2) &= \frac{4}{-3} \neq \frac{4}{1} \\ &= f(2)\end{aligned}

וגם הצבה מפריכה

הטענה שגויה. הריבוע במונה מטעה; המכנה x−1x - 1 שובר גם את התחום וגם את הסימטריה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

עבור איזה ערך חיובי של kk הפונקציה f(x)=x3+(k2−4)x2+2xf(x) = x^3 + (k^2 - 4)x^2 + 2x היא אי-זוגית?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

x2x^2

חזקה זוגית — אסורה בפונקציה אי-זוגית

k2−4=0k^2 - 4 = 0

המקדם חייב להתאפס

k=±2⇒k=2\begin{aligned}k &= \pm 2 \Rightarrow k \\ &= 2\end{aligned}

והחיובי

גם k=−2k = -2 הופך את ff לאי-זוגית — השאלה ביקשה את החיובי. במבחן, «מצאו את כל ערכי kk» היה מחייב את שניהם.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

נתון f(x)=(x−1)2f(x) = (x - 1)^2 ו-g(x)=xg(x) = \sqrt{x}. מהי g(f(x))g(f(x))?

  1. (x−1)2(\sqrt{x} - 1)^2
  2. ∣x−1∣|x - 1|
  3. 1−x1 - x
  4. x−1x - 1
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B ∣x−1∣|x - 1|

Corrigé :

g(f(x))=(x−1)2g(f(x)) = \sqrt{(x-1)^2}

On remplace (מציבים)

u2=∣u∣\sqrt{u^2} = |u|

הכלל

=∣x−1∣= |x - 1|
x=0: 1=1=∣0−1∣\begin{aligned}x &= 0:\ \sqrt{1} \\ &= 1 \\ &= |0 - 1|\end{aligned}

בדיקה: x−1x - 1 היה נותן −1-1

התשובה ∣x−1∣|x - 1|. (x−1)2(\sqrt{x} - 1)^2 היא f(g(x))f(g(x)), ו-x−1x - 1 נכונה רק ל-x≥1x \geq 1.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

נתון f(x)=2x+1f(x) = 2x + 1. פתרו את המשוואה f(f(x))=13f(f(x)) = 13. כתבו תשובה עשרונית.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2.5

Corrigé :

f(f(x))=2(2x+1)+1=4x+3\begin{aligned}f(f(x)) &= 2(2x + 1) + 1 \\ &= 4x + 3\end{aligned}

מרכיבים

4x+3=134x + 3 = 13
x=2.5x = 2.5

בדיקה: f(2.5)=6f(2.5) = 6, f(6)=13f(6) = 13. המלכודת: לכתוב f(f(x))=(2x+1)2f(f(x)) = (2x+1)^2 — הרכבה אינה ריבוע.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

איזה פולינום נוגע בציר ה-xx ב-x=−2x = -2, חוצה אותו ב-x=1x = 1, ומקיים f(x)→−∞f(x) \to -\infty כאשר x→∞x \to \infty?

  1. y=(x−2)2(1−x)y = (x-2)^2(1-x)
  2. y=−(x+2)2(x−1)y = -(x+2)^2(x-1)
  3. y=−(x+2)(x−1)2y = -(x+2)(x-1)^2
  4. y=(x+2)2(x−1)y = (x+2)^2(x-1)
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B y=−(x+2)2(x−1)y = -(x+2)^2(x-1)

Corrigé :

(x+2)2(x+2)^2

נגיעה ב-−2-2

(x−1)(x-1)

חציה ב-11

−x3→−∞-x^3 \to -\infty

מקדם מוביל שלילי

התשובה −(x+2)2(x−1)-(x+2)^2(x-1). המלכודת היא (x−2)2(1−x)(x-2)^2(1-x): הקצה נכון, אבל היא נוגעת ב-x=2x = 2 ולא ב-x=−2x = -2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

נתון f(x)=x+5f(x) = \sqrt{x + 5}. חשבו f−1(3)f^{-1}(3).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

a+5=3\sqrt{a + 5} = 3

מה הוכנס?

a+5=9⇒a=4\begin{aligned}a + 5 &= 9 \Rightarrow a \\ &= 4\end{aligned}

מעלים בריבוע

9=3 ✓\sqrt{9} = 3 \ \checkmark

בדיקה

אין צורך בנוסחה של f−1f^{-1}. f−1(3)f^{-1}(3) היא פשוט שאלה על ff: איזה xx נותן 33?

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

לפונקציה f(x)=x2−6xf(x) = x^2 - 6x, כשהיא מוגדרת רק בתחום x≥3x \geq 3, יש פונקציה הפוכה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

x2−6x=(x−3)2−9x^2 - 6x = (x - 3)^2 - 9

קדקוד ב-x=3x = 3

x≥3x \geq 3

הפונקציה עולה: ענף אחד של הפרבולה

⇒\Rightarrow

כל ערך מתקבל פעם אחת, ולכן יש הפוכה

הטענה נכונה. על כל הישר אין הפוכה (f(0)=f(6)=0f(0) = f(6) = 0), אבל צמצום לענף אחד מתקן זאת — בדיוק כמו x2x^2 ו-x\sqrt{x}.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

מיינו: למי יש פונקציה הפוכה בכל תחום ההגדרה שלה?

  • יש הפוכה
  • אין הפוכה
  • 1x\frac{1}{x}
  • x\sqrt{x}
  • ∣x∣|x|
  • 2x−12x - 1
  • x2x^2
  • x3x^3
  • x4−1x^4 - 1
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : x3x^3 — יש הפוכה · 2x−12x - 1 — יש הפוכה · 1x\frac{1}{x} — יש הפוכה · x\sqrt{x} — יש הפוכה · x2x^2 — אין הפוכה · ∣x∣|x| — אין הפוכה · x4−1x^4 - 1 — אין הפוכה

Corrigé :

(−2)2=22 ∣−3∣=∣3∣ (−1)4−1=14−1\begin{aligned}(-2)^2 &= 2^2 \\ \ |-3| &= |3| \\ \ (-1)^4 - 1 &= 1^4 - 1\end{aligned}

ערך אחד מתקבל פעמיים

1x: 1a=1b⇒a=b\begin{aligned}\frac{1}{x}:\ \frac{1}{a} &= \frac{1}{b} \Rightarrow a \\ &= b\end{aligned}

כל ערך פעם אחת

המלכודת: 1x\frac{1}{x} אינה עולה ובכל זאת יש לה הפוכה (היא עצמה). התנאי הוא «כל ערך פעם אחת», לא «עולה».

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

בכמה נקודות נחתכים הגרפים של y=x3y = x^3 ושל y=4xy = 4x?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

x3−4x=0x^3 - 4x = 0

מעבירים אגף

x(x−2)(x+2)=0x(x - 2)(x + 2) = 0

מפרקים

x=0 2 −2\begin{aligned}x &= 0 \\ \ 2 \\ \ -2\end{aligned}

שלוש נקודות

חלוקה ב-xx הייתה מאבדת את נקודת הראשית. מוציאים גורם משותף, לא מחלקים.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe