Série 4 — avancé

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

עשר שאלות מתקדמות: הוכחה של זוגיות בהרכבה, פרמטר שקובע ריבוי, הפוכה של ענף שלילי, וטענה על נקודות החיתוך של פונקציה עם ההפוכה שלה.

בהוכחה, כל שורה צריכה נימוק, וכל שורה שנשענת על קודמותיה צריכה להפנות אליהן. ובשאלות פרמטר — הציבו את התשובה בחזרה ובדקו.

Exercices

Exercice 1

ff פונקציה זוגית ו-gg פונקציה אי-זוגית, שתיהן מוגדרות לכל xx. נגדיר h(x)=f(g(x))h(x) = f(g(x)). הוכיחו: hh זוגית.

  • f(−x)=f(x)f(-x) = f(x) לכל xx
  • g(−x)=−g(x)g(-x) = -g(x) לכל xx
  • h(x)=f(g(x))h(x) = f(g(x))

h(−x)=h(x)h(-x) = h(x)

Voir la réponse et le corrigé
  1. h(−x)=f(g(−x))h(-x) = f(g(-x)) — הצבת −x-x בהגדרת hh
  2. g(−x)=−g(x)g(-x) = -g(x) — נתון — gg אי-זוגית
  3. h(−x)=f(−g(x))h(-x) = f(-g(x)) — הצבת הנתון על gg
  4. f(−g(x))=f(g(x))f(-g(x)) = f(g(x)) — ff זוגית: f(−u)=f(u)f(-u) = f(u) לכל uu, ובפרט ל-u=g(x)u = g(x)
  5. h(−x)=f(g(x))h(-x) = f(g(x)) — משתי השורות הקודמות
  6. h(−x)=h(x)h(-x) = h(x) — הגדרת hh — כלומר hh זוגית
Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתון f(x)=x2+2xf(x) = x^2 + 2x ו-g(x)=x−1g(x) = x - 1. מצאו את הפתרון החיובי של המשוואה f(g(x))=8f(g(x)) = 8.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

f(g(x))=(x−1)2+2(x−1)f(g(x)) = (x-1)^2 + 2(x-1)

On remplace (מציבים)

=x2−2x+1+2x−2=x2−1= x^2 - 2x + 1 + 2x - 2 = x^2 - 1

מפשטים

x2−1=8⇒x=±3\begin{aligned}x^2 - 1 &= 8 \Rightarrow x \\ &= \pm 3\end{aligned}
x=3x = 3

החיובי

הפישוט חוסך עבודה: x2−1x^2 - 1. מי שכתב (x−1)2+2x(x-1)^2 + 2x שכח לכפול את ה-22 בכל הביטוי x−1x - 1.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתון f(x)=1xf(x) = \frac{1}{x} ו-g(x)=x2−9g(x) = x^2 - 9. מהו תחום ההגדרה של f(g(x))f(g(x))?

  1. x≠3x \neq 3
  2. x≠3x \neq 3 וגם x≠−3x \neq -3
  3. x≠0x \neq 0
  4. x>3x > 3
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B x≠3x \neq 3 וגם x≠−3x \neq -3

Corrigé :

f(g(x))=1x2−9f(g(x)) = \frac{1}{x^2 - 9}

מרכיבים

x2−9≠0⇒x≠±3x^2 - 9 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 3

המכנה

התשובה «x≠3x \neq 3 וגם x≠−3x \neq -3». x≠0x \neq 0 הוא התחום של ff לבדה — אבל לתוך ff נכנס x2−9x^2 - 9.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

נתון f(x)=4x−1f(x) = \dfrac{4}{x - 1}. חשבו f−1(2)f^{-1}(2).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

4a−1=2\frac{4}{a - 1} = 2

מה הוכנס?

a−1=2⇒a=3\begin{aligned}a - 1 &= 2 \Rightarrow a \\ &= 3\end{aligned}
f(3)=42=2 ✓\begin{aligned}f(3) &= \frac{4}{2} \\ &= 2 \ \checkmark\end{aligned}

בדיקה

המלכודת: f(2)=4f(2) = 4. ועוד אחת: f−1(2)=1f(2)=14f^{-1}(2) = \frac{1}{f(2)} = \frac{1}{4} — ה-−1-1 אינו חזקה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

אם ff עולה בכל תחום ההגדרה שלה ויש לה הפוכה, אז כל נקודת חיתוך של הגרפים של ff ושל f−1f^{-1} נמצאת על הישר y=xy = x.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

f(p)=q f−1(p)=q⇒f(q)=p\begin{aligned}f(p) &= q \\ \ f^{-1}(p) &= q \Rightarrow f(q) \\ &= p\end{aligned}

נקודה (p,q)(p, q) על שני הגרפים

p<q⇒f(p)<f(q)⇒q<pp < q \Rightarrow f(p) < f(q) \Rightarrow q < p

סתירה, כי ff עולה

q<p⇒f(q)<f(p)⇒p<qq < p \Rightarrow f(q) < f(p) \Rightarrow p < q

שוב סתירה

p=qp = q

הנקודה על y=xy = x

הטענה נכונה — וזה הנימוק שמאפשר לפתור f(x)=xf(x) = x במקום f(x)=f−1(x)f(x) = f^{-1}(x). בלי «עולה» זה לא נכון: ל-f(x)=−xf(x) = -x ההפוכה היא עצמה, והגרפים מתלכדים לכל אורכם.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

בכמה נקודות הגרף של f(x)=x3−4x2+4xf(x) = x^3 - 4x^2 + 4x נוגע בציר ה-xx בלי לחצות אותו?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1

Corrigé :

f(x)=x(x2−4x+4)f(x) = x(x^2 - 4x + 4)

גורם משותף

=x(x−2)2= x(x - 2)^2

ריבוע של הפרש

x=0: k=1  x=2: k=2\begin{aligned}x &= 0:\ k \\ &= 1 \ \ x \\ &= 2:\ k \\ &= 2\end{aligned}

רק 22 מריבוי זוגי

בלי פירוק אי אפשר לראות את הריבוי. קודם מפרקים, אחר כך קוראים את הגרף.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

מחפשים את ההפוכה של f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 בתחום x≤0x \leq 0. שורה אחת שגויה — מצאו אותה

y=x2+1y = x^2 + 1
x2=y−1x^2 = y - 1
x=y−1x = \sqrt{y - 1}
f−1(x)=−x−1 x≥1\begin{aligned}f^{-1}(x) &= -\sqrt{x - 1} \\ \ x \geq 1\end{aligned}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : x=y−1x = \sqrt{y - 1} → x=−y−1x = -\sqrt{y - 1}

Corrigé :

x≤0x \leq 0

בתחום הזה xx שלילי או אפס

x2=y−1⇒x=−y−1\begin{aligned}x^2 &= y - 1 \Rightarrow x \\ &= -\sqrt{y - 1}\end{aligned}

בוחרים את השורש השלילי

f(−2)=5 −5−1=−2 ✓\begin{aligned}f(-2) &= 5 \\ \ -\sqrt{5 - 1} &= -2 \ \checkmark\end{aligned}

בדיקה

השורה השלישית בחרה את השורש החיובי, אבל בתחום x≤0x \leq 0. השורה הרביעית כבר נכונה — היא סותרת את השלישית, וזה הסימן.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

לפולינום f(x)=x3−3x+cf(x) = x^3 - 3x + c יש שורש כפול ב-x=1x = 1. מצאו את cc.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

f(1)=1−3+c=0\begin{aligned}f(1) &= 1 - 3 + c \\ &= 0\end{aligned}

11 חייב להיות שורש

c=2c = 2
x3−3x+2=(x−1)2(x+2)x^3 - 3x + 2 = (x - 1)^2(x + 2)

בדיקה: הגורם (x−1)(x-1) באמת מופיע פעמיים

הצבה של השורש אומרת רק ש-11 שורש. את הריבוי מוודאים בפירוק. למשל ב-x3−2x+cx^3 - 2x + c ההצבה נותנת c=1c = 1, אבל x3−2x+1=(x−1)(x2+x−1)x^3 - 2x + 1 = (x-1)(x^2 + x - 1) — שם 11 שורש פשוט.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

לאן הולכים ערכי f(x)=(2−x)3(x+1)2f(x) = (2 - x)^3(x + 1)^2 כאשר x→∞x \to \infty?

  1. f(x)→0f(x) \to 0
  2. f(x)→8f(x) \to 8
  3. f(x)→∞f(x) \to \infty
  4. f(x)→−∞f(x) \to -\infty
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D f(x)→−∞f(x) \to -\infty

Corrigé :

(2−x)3=(−x+2)3(2 - x)^3 = (-x + 2)^3

המקדם של xx הוא −1-1

(−x)3⋅x2=−x5(-x)^3 \cdot x^2 = -x^5

האיבר המוביל

−x5→−∞-x^5 \to -\infty

התשובה f(x)→−∞f(x) \to -\infty. המלכודת: לקרוא (x−2)3(x - 2)^3 במקום (2−x)3(2 - x)^3 — הסדר בתוך הסוגריים מכניס מינוס למקדם המוביל.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

Complétez (השלימו)

נתון f(x)=xf(x) = \sqrt{x} ו-g(x)=x2−ag(x) = x^2 - a. ידוע ש-f(g(3))=2f(g(3)) = 2. לכן a=a = ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : נתון f(x)=xf(x) = \sqrt{x} ו-g(x)=x2−ag(x) = x^2 - a. ידוע ש-f(g(3))=2f(g(3)) = 2. לכן a=a = 5

Corrigé :

g(3)=9−ag(3) = 9 - a

הפנימית

9−a=2\sqrt{9 - a} = 2

החיצונית

9−a=4⇒a=5\begin{aligned}9 - a &= 4 \Rightarrow a \\ &= 5\end{aligned}

מעלים בריבוע

בדיקה: g(3)=4g(3) = 4 ו-4=2\sqrt{4} = 2. מי שהציב 33 קודם בשורש קיבל (3)2−a=2(\sqrt{3})^2 - a = 2 — הרכבה הפוכה.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe