Série 5 — vers le bagrut

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

עשר שאלות בנוסח שאלון הבגרות. חלקן באות ברצף, כמו סעיפים של שאלה אחת: פולינום שצריך לפרק לפני שקוראים אותו, זוג פונקציות שמתברר שהן הפוכות, והוכחה שההפוכה של אי-זוגית היא אי-זוגית.

עבדו כמו במבחן: כתבו כל צעד, בדקו כל פתרון של משוואה עם שורש בהצבה, וזכרו שבשאלה «הוכיחו או הפריכו» דוגמה נגדית אחת מספיקה להפרכה, אבל לא להוכחה.

Exercices

Exercice 1

נתונה f(x)=(x2−4)(x−2)f(x) = (x^2 - 4)(x - 2). באיזה ערך של xx הגרף נוגע בציר ה-xx?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

x2−4=(x−2)(x+2)x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)

מפרקים

f(x)=(x−2)2(x+2)f(x) = (x - 2)^2(x + 2)

מאחדים

x=2: k=2\begin{aligned}x &= 2:\ k \\ &= 2\end{aligned}

ריבוי זוגי — נוגע

בלי פירוק נראה ש-22 «מופיע פעם אחת בכל סוגריים». אחרי הפירוק רואים שהוא שורש כפול, ו-−2-2 הוא שורש פשוט שבו הגרף חוצה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

לאותה f(x)=(x2−4)(x−2)f(x) = (x^2 - 4)(x - 2): לאן הולכים ערכי ff כאשר x→−∞x \to -\infty?

  1. f(x)→8f(x) \to 8
  2. f(x)→0f(x) \to 0
  3. f(x)→−∞f(x) \to -\infty
  4. f(x)→∞f(x) \to \infty
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C f(x)→−∞f(x) \to -\infty

Corrigé :

x2⋅x=x3x^2 \cdot x = x^3

האיבר המוביל

x→−∞: x3→−∞x \to -\infty:\ x^3 \to -\infty

חזקה אי-זוגית

התשובה −∞-\infty. המספר 88 הוא f(0)=(−4)(−2)f(0) = (-4)(-2) — החיתוך עם ציר ה-yy, לא התנהגות באינסוף.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

הפונקציה f(x)=x4−1x2f(x) = \dfrac{x^4 - 1}{x^2} היא זוגית.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

x≠0x \neq 0

התחום — סימטרי

f(−x)=(−x)4−1(−x)2=x4−1x2=f(x)\begin{aligned}f(-x) &= \frac{(-x)^4 - 1}{(-x)^2} \\ &= \frac{x^4 - 1}{x^2} \\ &= f(x)\end{aligned}

On remplace (מציבים)

הטענה נכונה. גם הנקודה החסרה x=0x = 0 סימטרית לעצמה, ולכן היא לא שוברת את הסימטריה של התחום.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

נתונות f(x)=x−1f(x) = \sqrt{x - 1} ו-g(x)=x2+1g(x) = x^2 + 1. חשבו g(f(10))g(f(10)).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 10

Corrigé :

f(10)=9=3\begin{aligned}f(10) &= \sqrt{9} \\ &= 3\end{aligned}

הפנימית

g(3)=9+1=10\begin{aligned}g(3) &= 9 + 1 \\ &= 10\end{aligned}

החיצונית

יצא בדיוק 1010 — המספר שהכנסנו. זה לא מקרה, והשאלה הבאה מסבירה למה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

הפונקציות f(x)=x−1f(x) = \sqrt{x - 1} (בתחום x≥1x \geq 1) ו-g(x)=x2+1g(x) = x^2 + 1 (בתחום x≥0x \geq 0) הפוכות זו לזו.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

g(f(x))=(x−1)2+1=x x≥1\begin{aligned}g(f(x)) &= (\sqrt{x-1})^2 + 1 \\ &= x \\ \ x \geq 1\end{aligned}

מבטלת

f(g(x))=x2=∣x∣=x x≥0\begin{aligned}f(g(x)) &= \sqrt{x^2} \\ &= |x| \\ &= x \\ \ x \geq 0\end{aligned}

וגם בכיוון השני

ערכי f: y≥0=תחום g\text{ערכי } f:\ y \geq 0 = \text{תחום } g

והתחומים מתאימים

הטענה נכונה, אבל רק בזכות התחומים. בלי x≥0x \geq 0 היינו מקבלים f(g(−3))=3≠−3f(g(-3)) = 3 \neq -3.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

הפונקציה f(x)=x+6f(x) = \sqrt{x + 6} עולה. מצאו את שיעור ה-xx של נקודת החיתוך של הגרף שלה עם הגרף של f−1f^{-1}.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

f עולה⇒f(x)=xf \ \text{עולה} \Rightarrow f(x) = x

החיתוך על הישר y=xy = x

x+6=x2⇒x=3 או x=−2\begin{aligned}x + 6 &= x^2 \Rightarrow x \\ &= 3 \ \text{או}\ x \\ &= -2\end{aligned}

מעלים בריבוע

9=3 ✓4=2≠−2\begin{aligned}\sqrt{9} &= 3 \ \checkmark \\ \quad \sqrt{4} &= 2 \neq -2\end{aligned}

בדיקה בהצבה

x=3x = 3

x=−2x = -2 נוצר מההעלאה בריבוע. כל פתרון של משוואה עם שורש חייב בדיקה בהצבה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

איזו טענה נכונה לגבי h(x)=x2−6x+9h(x) = \sqrt{x^2 - 6x + 9}?

  1. h(x)=x−3h(x) = x - 3 לכל xx
  2. hh אינה מוגדרת עבור x<3x < 3
  3. h(x)=3−xh(x) = 3 - x לכל xx
  4. h(x)=∣x−3∣h(x) = |x - 3| לכל xx
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D h(x)=∣x−3∣h(x) = |x - 3| לכל xx

Corrigé :

x2−6x+9=(x−3)2x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2

ריבוע של הפרש

(x−3)2=∣x−3∣\sqrt{(x-3)^2} = |x - 3|

הכלל

h(0)=9=3=∣0−3∣\begin{aligned}h(0) &= \sqrt{9} \\ &= 3 \\ &= |0 - 3|\end{aligned}

בדיקה: x−3x - 3 היה נותן −3-3

התשובה ∣x−3∣|x - 3|. הטענה «אינה מוגדרת עבור x<3x < 3» מתבלבלת בין (x−3)2\sqrt{(x-3)^2} לבין x−3\sqrt{x - 3}: כאן מתחת לשורש ריבוע, תמיד אי-שלילי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

ff פונקציה אי-זוגית שיש לה פונקציה הפוכה f−1f^{-1}. יהי aa מספר בתחום ההגדרה של f−1f^{-1}, ונסמן b=f−1(a)b = f^{-1}(a). הוכיחו: f−1(−a)=−f−1(a)f^{-1}(-a) = -f^{-1}(a).

  • f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x) לכל xx בתחום
  • b=f−1(a)b = f^{-1}(a)

f−1(−a)=−f−1(a)f^{-1}(-a) = -f^{-1}(a)

Voir la réponse et le corrigé
  1. f(b)=af(b) = a — הגדרת הפונקציה ההפוכה: f−1(a)=bf^{-1}(a) = b
  2. f(−b)=−f(b)f(-b) = -f(b) — נתון — ff אי-זוגית
  3. f(−b)=−af(-b) = -a — הצבת f(b)=af(b) = a
  4. f−1(−a)=−bf^{-1}(-a) = -b — הגדרת הפונקציה ההפוכה, בכיוון ההפוך
  5. f−1(−a)=−f−1(a)f^{-1}(-a) = -f^{-1}(a) — הצבת b=f−1(a)b = f^{-1}(a) — ההפוכה של אי-זוגית היא אי-זוגית
Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

הפולינום f(x)=x4+bx2+cf(x) = x^4 + bx^2 + c הוא ממעלה 44, ו-x=1x = 1 הוא שורש כפול שלו. מצאו את bb.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -2

Corrigé :

f(−x)=f(x)⇒x=−1\begin{aligned}f(-x) &= f(x) \Rightarrow x \\ &= -1\end{aligned}

ff זוגית, ולכן x=−1x=-1 גם הוא שורש כפול: הגרף סימטרי לציר ה-yy

f(x)=(x−1)2(x+1)2f(x) = (x - 1)^2(x + 1)^2

ריבוי 2+2=42 + 2 = 4 — כל המעלה

=(x2−1)2=x4−2x2+1= (x^2 - 1)^2 = x^4 - 2x^2 + 1

פותחים

b=−2 c=1\begin{aligned}b &= -2 \\ \ c &= 1\end{aligned}

משווים מקדמים

הדרך הקצרה היא הזוגיות: שורש כפול ב-11 גורר שורש כפול ב-−1-1. אפשר גם בלעדיה: שורש כפול נותן שתי משוואות, f(1)=0f(1) = 0 ו-f′(1)=0f'(1) = 0, כלומר 1+b+c=01 + b + c = 0 ו-4+2b=04 + 2b = 0. מי שמציב רק f(1)=0f(1) = 0 מקבל משוואה אחת בשני נעלמים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

כמה פתרונות יש למשוואה x3=1xx^3 = \dfrac{1}{x}?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

x≠0x \neq 0

Domaine de définition

x4=1x^4 = 1

כופלים ב-xx, מותר כי x≠0x \neq 0

x=1 x=−1\begin{aligned}x &= 1 \\ \ x &= -1\end{aligned}

חזקה זוגית: שני פתרונות

הגרף של x3x^3 והגרף של 1x\frac{1}{x} נמצאים שניהם ברביעים הראשון והשלישי, ולכן נפגשים פעם בכל רביע. המלכודת: לענות רק x=1x = 1.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe