Multiplicité des racines

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

כשפולינום כתוב כמכפלה של גורמים, אפשר לשרטט אותו כמעט בלי חישוב. אבל כדאי להסתכל קודם על גרף אחד ולשים לב למשהו מוזר בשורשים שלו.

בגרף של f(x)=(x−1)2(x+2)f(x) = (x-1)^2(x+2) יש שני שורשים. מה ההבדל בין מה שהגרף עושה ב-x=−2x = -2 לבין מה שהוא עושה ב-x=1x = 1?

Voir la réponse et le corrigé

ב-x=−2x = -2 הגרף חוצה את ציר ה-xx: עובר מתחתיו אל מעליו. ב-x=1x = 1 הוא רק נוגע בציר וחוזר למעלה. ההבדל בא מהחזקה: (x+2)(x+2) מופיע פעם אחת, (x−1)(x-1) מופיע פעמיים.

ריבוי של שורש

אם הגורם (x−a)(x-a) מופיע בפירוק kk פעמים, כלומר (x−a)k(x-a)^k, אומרים ש-aa הוא שורש מריבוי kk. הריבוי קובע מה הגרף עושה בשורש:

k=1k = 1

חוצה את הציר, כמו ישר.

k=2 4 …\begin{aligned}k &= 2 \\ \ 4 \\ \ \dots\end{aligned}

זוגי — נוגע בציר ולא עובר לצד השני, כמו פרבולה בקדקוד.

k=3 5 …\begin{aligned}k &= 3 \\ \ 5 \\ \ \dots\end{aligned}

אי-זוגי — חוצה, אבל «משתטח» לרגע ליד השורש, כמו x3x^3 בראשית.

הסיבה פשוטה: ליד x=ax = a כל שאר הגורמים שומרים על הסימן שלהם. רק (x−a)k(x-a)^k יכול להחליף סימן — והוא מחליף רק כש-kk אי-זוגי. (x−1)2(x-1)^2 חיובי משני צדי 11, ולכן הגרף חוזר לאותו צד.

שרטוט סקיצה מפירוק

y = (x + 1)²(x − 3)
-3-113-12-10-8-6-4-2246xy

סימן הפונקציה בלי טבלת ערכים: f(x)=x2(x−2)(x+3)f(x) = x^2(x-2)(x+3)

מעלה 44, מקדם מוביל חיובי, ושלושה שורשים.

x>2:  f>0x > 2:\ \ f > 0

מעלה זוגית, מקדם חיובי: הקצה הימני למעלה

x=2 (k=1):  0<x<2⇒f<0x = 2\ (k=1):\ \ 0 < x < 2 \Rightarrow f < 0

חוצה — הסימן מתחלף

x=0 (k=2):  −3<x<0⇒f<0x = 0\ (k=2):\ \ -3 < x < 0 \Rightarrow f < 0

נוגע — הסימן נשאר

x=−3 (k=1):  x<−3⇒f>0x = -3\ (k=1):\ \ x < -3 \Rightarrow f > 0

חוצה שוב — והקצה השמאלי למעלה, כמצופה ממעלה זוגית

f(1)=1⋅(−1)⋅4=−4<0\begin{aligned}f(1) &= 1 \cdot (-1) \cdot 4 \\ &= -4 < 0\end{aligned}

בדיקה במספר

פולינום ממעלה 44 ומקדם מוביל 11. ידוע שהשורש x=1x = 1 שלו הוא מריבוי 33, ויש לו עוד שורש x=5x = 5. מה הריבוי של 55, ומהו הפולינום?

Voir la réponse et le corrigé

סכום הריבויים לא עולה על המעלה: 3+k=43 + k = 4, ולכן k=1k = 1. הפולינום: f(x)=(x−1)3(x−5)f(x) = (x-1)^3(x-5).

סכום כל הריבויים לא גדול מהמעלה. אם הוא קטן ממנה, יש בפירוק גורם בלי שורש, כמו x2+1x^2 + 1.

הטעויות של הריבוי.

(x+3)2=0⇒x=±3\begin{aligned}(x+3)^2 &= 0 \Rightarrow x \\ &= \pm 3\end{aligned}
(x+3)2=0⇒x=−3\begin{aligned}(x+3)^2 &= 0 \Rightarrow x \\ &= -3\end{aligned}

שורש כפול הוא נקודה אחת שנספרת פעמיים, לא שני שורשים. מי שכותב ±\pm מתבלבל עם x2=9x^2 = 9.

−x2(x−1):  x→∞⇒f→∞-x^2(x-1):\ \ x \to \infty \Rightarrow f \to \infty
−x2(x−1):  x→∞⇒f→−∞-x^2(x-1):\ \ x \to \infty \Rightarrow f \to -\infty

את המקדם המוביל מחשבים מכל הגורמים יחד, כולל המינוס שלפני הסוגריים: −x2⋅x=−x3-x^2 \cdot x = -x^3.

Exercices

Exercice 1

מהו הריבוי של השורש x=2x = 2 בפונקציה f(x)=(x−2)3(x+1)f(x) = (x-2)^3(x+1)?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

(x−2)3(x-2)^3

הגורם של השורש 22

k=3k = 3

החזקה שלו

הריבוי הוא החזקה של הגורם, לא מספר השורשים ולא המעלה (44). ריבוי 33 אי-זוגי — הגרף חוצה שם.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

באילו שורשים הגרף של f(x)=(x+4)(x−1)2(x−6)3f(x) = (x+4)(x-1)^2(x-6)^3 נוגע בציר ה-xx בלי לחצות אותו?

  1. רק ב-x=6x = 6
  2. בכל שלושת השורשים
  3. רק ב-x=1x = 1
  4. ב-x=1x = 1 וב-x=6x = 6
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C רק ב-x=1x = 1

Corrigé :

x=−4: k=1\begin{aligned}x &= -4:\ k \\ &= 1\end{aligned}

אי-זוגי — חוצה

x=1: k=2\begin{aligned}x &= 1:\ k \\ &= 2\end{aligned}

זוגי — נוגע

x=6: k=3\begin{aligned}x &= 6:\ k \\ &= 3\end{aligned}

אי-זוגי — חוצה

התשובה «רק ב-x=1x = 1». המלכודת היא x=6x = 6: חזקה גבוהה אינה «נגיעה». הזוגיות של הריבוי קובעת, לא הגודל שלו.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתונה הפונקציה f(x)=x3(x+2)2(x−5)(x−7)4f(x) = x^3(x+2)^2(x-5)(x-7)^4. מיינו את השורשים שלה

  • הגרף חוצה
  • הגרף נוגע
  • x=−2x = -2
  • x=0x = 0
  • x=5x = 5
  • x=7x = 7
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : x=0x = 0 — הגרף חוצה · x=5x = 5 — הגרף חוצה · x=−2x = -2 — הגרף נוגע · x=7x = 7 — הגרף נוגע

Corrigé :

x3: k=3x^3:\ k = 3

חוצה

(x−5): k=1(x-5):\ k = 1

חוצה

(x+2)2: k=2(x+2)^2:\ k = 2

נוגע

(x−7)4: k=4(x-7)^4:\ k = 4

נוגע

השורש x=0x = 0 מתחבא ב-x3x^3: גם xx לבד הוא גורם, (x−0)3(x-0)^3.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

בכמה נקודות שונות פוגש הגרף של f(x)=(x2−9)2(x+3)f(x) = (x^2-9)^2(x+3) את ציר ה-xx?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

x2−9=(x−3)(x+3)x^2 - 9 = (x-3)(x+3)

מפרקים את הסוגריים

f(x)=(x−3)2(x+3)2(x+3)=(x−3)2(x+3)3\begin{aligned}f(x) &= (x-3)^2(x+3)^2(x+3) \\ &= (x-3)^2(x+3)^3\end{aligned}

מאחדים גורמים שווים

x=3 x=−3\begin{aligned}x &= 3 \\ \ x &= -3\end{aligned}

שתי נקודות

המלכודת: לספור ±3\pm 3 מהסוגריים הראשונים ועוד −3-3 מהשני — ולקבל 33. גורמים שווים מתאחדים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

מהם הריבויים של השורשים של f(x)=(x2−9)2(x+3)f(x) = (x^2-9)^2(x+3)?

  1. x=±3x = \pm 3 ששניהם מריבוי 33
  2. x=−3x = -3 מריבוי 22, ו-x=3x = 3 מריבוי 22
  3. x=−3x = -3 מריבוי 11, ו-x=3x = 3 מריבוי 22
  4. x=−3x = -3 מריבוי 33, ו-x=3x = 3 מריבוי 22
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D x=−3x = -3 מריבוי 33, ו-x=3x = 3 מריבוי 22

Corrigé :

(x2−9)2=(x−3)2(x+3)2(x^2-9)^2 = (x-3)^2(x+3)^2

כל גורם בריבוע

(x+3)2⋅(x+3)=(x+3)3(x+3)^2 \cdot (x+3) = (x+3)^3

ועוד גורם אחד של x+3x+3

התשובה «x=−3x = -3 מריבוי 33, ו-x=3x = 3 מריבוי 22». בדיקה: 3+2=53 + 2 = 5, בדיוק המעלה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

הגרף של f(x)=−(x−2)2f(x) = -(x-2)^2 נוגע בציר ה-xx ב-x=2x = 2 מלמטה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

(x−2)2≥0(x-2)^2 \geq 0

הריבוע אי-שלילי

−(x−2)2≤0-(x-2)^2 \leq 0

המינוס הופך

f(2)=0f(2) = 0

נוגע רק ב-x=2x=2

הטענה נכונה. ריבוי זוגי אומר שהגרף לא עובר צד — וכאן הצד הוא מתחת לציר, בגלל המינוס.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

גרף של פולינום ממעלה 3
-3-2-10123-6-5-4-3-2-1123456xy

איזו נוסחה מתאימה לגרף?

  1. y=−(x+1)2(x−2)y = -(x+1)^2(x-2)
  2. y=(x+1)(x−2)2y = (x+1)(x-2)^2
  3. y=(x+1)2(x−2)y = (x+1)^2(x-2)
  4. y=(x−1)2(x+2)y = (x-1)^2(x+2)
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C y=(x+1)2(x−2)y = (x+1)^2(x-2)

Corrigé :

x=−1: נוגע⇒(x+1)2x = -1:\ \text{נוגע} \Rightarrow (x+1)^2

ריבוי זוגי

x=2: חוצה⇒(x−2)x = 2:\ \text{חוצה} \Rightarrow (x-2)

ריבוי אי-זוגי

x→∞: y→∞x \to \infty:\ y \to \infty

מקדם חיובי

y(0)=1⋅(−2)=−2\begin{aligned}y(0) &= 1 \cdot (-2) \\ &= -2\end{aligned}

בדיקה מול הגרף

התשובה y=(x+1)2(x−2)y = (x+1)^2(x-2). (x−1)2(x+2)(x-1)^2(x+2) מחליפה את הסימנים של השורשים, (x+1)(x−2)2(x+1)(x-2)^2 מחליפה בין נגיעה לחציה, והגרסה עם המינוס הפוכה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

נתונה הפונקציה f(x)=(x−1)2(x+2)f(x) = (x-1)^2(x+2). לכמה מספרים שלמים xx בין −3-3 ל-33 (כולל) מתקיים f(x)<0f(x) < 0?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1

Corrigé :

(x−1)2≥0(x-1)^2 \geq 0

הגורם הזה לא משנה סימן

f(x)<0  ⟺  x+2<0, x≠1f(x) < 0 \iff x + 2 < 0 ,\ x \neq 1

רק (x+2)(x+2) קובע

x<−2⇒x=−3x < -2 \Rightarrow x = -3

שלם אחד בטווח

שורש כפול לא מחליף סימן: הגרף נוגע ב-x=1x = 1 ונשאר מעל הציר. מי שחשב שבין −2-2 ל-11 הפונקציה שלילית, התייחס ל-11 כאל שורש שחוצה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

Complétez (השלימו)

הפולינום f(x)=x2(x−4)kf(x) = x^2(x-4)^k הוא ממעלה 55. לכן k=k = ____, והגרף חוצה את הציר ב-x=x = ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : הפולינום f(x)=x2(x−4)kf(x) = x^2(x-4)^k הוא ממעלה 55. לכן k=k = 3, והגרף חוצה את הציר ב-x=x = 4

Corrigé :

2+k=52 + k = 5

סכום החזקות הוא המעלה

k=3k = 3
x=4: k=3 אי-זוגי\begin{aligned}x &= 4:\ k \\ &= 3 \ \text{אי-זוגי}\end{aligned}

חוצה; ב-x=0x=0 הריבוי 22 — נוגע

ב-x=0x = 0 הגרף נוגע (ריבוי 22), ולכן התשובה לחלק השני היא 44 ולא 00.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

בסקיצה של f(x)=−(x−2)2(x+1)f(x) = -(x-2)^2(x+1) שורה אחת שגויה — מצאו אותה

x=2:  k=2⇒נוגע\begin{aligned}x &= 2:\ \ k \\ &= 2 \Rightarrow \text{נוגע}\end{aligned}
x=−1:  k=1⇒חוצה\begin{aligned}x &= -1:\ \ k \\ &= 1 \Rightarrow \text{חוצה}\end{aligned}
f(0)=−(4)(1)=−4\begin{aligned}f(0) &= -(4)(1) \\ &= -4\end{aligned}
x→∞:  f(x)→∞x \to \infty:\ \ f(x) \to \infty
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : x→∞:  f(x)→∞x \to \infty:\ \ f(x) \to \infty → x→∞:  f(x)→−∞x \to \infty:\ \ f(x) \to -\infty

Corrigé :

−(x−2)2(x+1)=−x3+…-(x-2)^2(x+1) = -x^3 + \dots

המקדם המוביל −1-1

x→∞: −x3→−∞x \to \infty:\ -x^3 \to -\infty

הקצה הימני למטה

שלוש השורות הראשונות נכונות. הרביעית שכחה את המינוס שלפני הסוגריים — הוא חלק מהמקדם המוביל.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe