Parité

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

ראינו ש-x2x^2 סימטרית לציר ה-yy ו-x3x^3 סימטרית לראשית. עכשיו נותנים לשתי הסימטריות שם, ובודקים אותן לכל פונקציה — גם כשאין לה גרף מול העיניים.

הדרך האלגברית — שלוש אפשרויות, לא שתיים

מציבים −x-x במקום xx, מפשטים, ומשווים. יש בדיוק שלוש תוצאות אפשריות:

f(−x)=f(x)f(-x) = f(x)

הפונקציה זוגית. הגרף סימטרי ביחס לציר yy.

f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x)

הפונקציה אי-זוגית. הגרף סימטרי ביחס לראשית הצירים.

f(−x)≠f(x),  f(−x)≠−f(x)f(-x) \neq f(x),\ \ f(-x) \neq -f(x)

הפונקציה לא זוגית ולא אי-זוגית. זה המצב של רוב הפונקציות.

שימו לב שהתנאי הוא לכל xx בתחום ההגדרה, ולא במספר אחד. הצבת מספר בודד יכולה רק להפריך, לעולם לא להוכיח.

פונקציה מקיימת f(−x)=f(x)f(-x) = f(x) וגם f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x) לכל xx. איזו פונקציה זו?

Voir la réponse et le corrigé

משתי המשוואות נובע f(x)=−f(x)f(x) = -f(x), כלומר 2f(x)=02f(x) = 0. לכן f(x)=0f(x) = 0 לכל xx — הפונקציה האפס היא היחידה שהיא גם זוגית וגם אי-זוגית.

לפני הכול — תחום ההגדרה

אם xx נמצא בתחום אבל −x-x לא, ל-f(−x)f(-x) אין בכלל משמעות והשאלה נסגרת לפני שהתחילה. f(x)=xf(x) = \sqrt{x} מוגדרת רק ל-x≥0x \geq 0: היא אינה זוגית ואינה אי-זוגית, ואין צורך בחישוב כדי לדעת זאת.

התחום חייב להיות סימטרי ביחס לאפס. זו הבדיקה הראשונה, והיא לפעמים גם האחרונה.

זוגיות של f(x)=x3x2−4f(x) = \dfrac{x^3}{x^2 - 4}

קודם התחום, אחר כך ההצבה.

x2−4≠0⇒x≠±2x^2 - 4 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 2

התחום: נפסלים 22 ו-(−2)(-2) — סימטרי ביחס לאפס

f(−x)=(−x)3(−x)2−4=−x3x2−4\begin{aligned}f(-x) &= \frac{(-x)^3}{(-x)^2 - 4} \\ &= \frac{-x^3}{x^2 - 4}\end{aligned}

מציבים −x-x

=−x3x2−4=−f(x)= -\frac{x^3}{x^2 - 4} = -f(x)

הפונקציה אי-זוגית

לזהות בלי לחשב — לפי החזקות

מכאן באים השמות: x2,x4,x6x^2, x^4, x^6 הן זוגיות, ו-x1,x3,x5x^1, x^3, x^5 אי-זוגיות. בפולינום מספיק להסתכל על החזקות.

x4−3x2+7x^4 - 3x^2 + 7

רק חזקות זוגיות — הפונקציה זוגית. (גם המספר החופשי הוא חזקה זוגית: 7=7x07 = 7x^0.)

x5−2x3+xx^5 - 2x^3 + x

רק חזקות אי-זוגיות — הפונקציה אי-זוגית.

x3+x2x^3 + x^2

ערבוב של השתיים — לא זוגית ולא אי-זוגית.

המספר החופשי הוא המלכודת: x3+2x^3 + 2 אינה אי-זוגית, כי ה-22 שובר את הסימטריה. x3x^3 לבד — כן.

הפונקציות הבסיסיות, ומה קורה בפעולות

∣x∣, 1x2|x| ,\ \frac{1}{x^2}

זוגיות: ∣−x∣=∣x∣|-x| = |x| ו-1(−x)2=1x2\frac{1}{(-x)^2} = \frac{1}{x^2}.

1x\frac{1}{x}

אי-זוגית: 1−x=−1x\frac{1}{-x} = -\frac{1}{x}.

x\sqrt{x}

לא זו ולא זו — התחום x≥0x \geq 0 אינו סימטרי.

זוגית⋅זוגית\text{זוגית} \cdot \text{זוגית}

זוגית

אי-זוגית⋅אי-זוגית\text{אי-זוגית} \cdot \text{אי-זוגית}

זוגית — שני המינוסים מתבטלים

זוגית⋅אי-זוגית\text{זוגית} \cdot \text{אי-זוגית}

אי-זוגית

אותו כלל בדיוק כמו כלל הסימנים בכפל, אם חושבים על זוגית כ-++ ועל אי-זוגית כ-−-. אין מה לשנן.

בחיבור הכלל אחר: זוגית ועוד זוגית נותנת זוגית, ואי-זוגית ועוד אי-זוגית נותנת אי-זוגית. אבל זוגית ועוד אי-זוגית נותנת בדרך כלל פונקציה שאינה זו ואינה זו — בדיוק כמו x2+xx^2 + x.

ff ו-gg אי-זוגיות, מוגדרות לכל xx. מה סוג f+gf + g? ומה סוג f⋅gf \cdot g?

Voir la réponse et le corrigé

f+gf + g אי-זוגית: f(−x)+g(−x)=−f(x)−g(x)=−(f+g)(x)f(-x) + g(-x) = -f(x) - g(x) = -(f + g)(x). ואילו f⋅gf \cdot g זוגית: שני המינוסים מתבטלים. דוגמה: x3+xx^3 + x אי-זוגית, x3⋅x=x4x^3 \cdot x = x^4 זוגית.

שתי הטעויות של הנושא.

f(−x)≠f(x)⇒f(−x)=−f(x)f(-x) \neq f(x) \Rightarrow f(-x) = -f(x)

«לא זוגית» ו«אי-זוגית» אינם אותו דבר: יש שלוש אפשרויות. רוב הפונקציות הן לא זו ולא זו — וזו תשובה מלאה ולגיטימית.

f(−1)=f(1)⇒זוגיתf(-1) = f(1) \Rightarrow \text{זוגית}
לכל x בתחום\text{לכל } x \ \text{בתחום}

מספר אחד לא מספיק. f(x)=x3+x2−xf(x) = x^3 + x^2 - x מקיימת f(−1)=f(1)=1f(-1) = f(1) = 1, אבל f(2)=10f(2) = 10 ו-f(−2)=−2f(-2) = -2: היא אינה זוגית. הצבת מספר יכולה רק להפריך.

Exercices

Exercice 1

איזו מהפונקציות הבאות היא זוגית?

  1. f(x)=x2+xf(x) = x^2 + x
  2. f(x)=x4−3x2+1f(x) = x^4 - 3x^2 + 1
  3. f(x)=x3−xf(x) = x^3 - x
  4. f(x)=xf(x) = \sqrt{x}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B f(x)=x4−3x2+1f(x) = x^4 - 3x^2 + 1

Corrigé :

f(−x)=x4−3x2+1=f(x)\begin{aligned}f(-x) &= x^4 - 3x^2 + 1 \\ &= f(x)\end{aligned}

רק חזקות זוגיות

התשובה x4−3x2+1x^4 - 3x^2 + 1: רק חזקות זוגיות. x3−xx^3 - x אי-זוגית, x2+xx^2 + x מעורבת, ו-x\sqrt{x} מוגדרת רק ל-x≥0x \geq 0.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

מה סוג הפונקציה f(x)=x3+2f(x) = x^3 + 2?

  1. אי-זוגית
  2. זוגית
  3. לא זוגית ולא אי-זוגית
  4. גם זוגית וגם אי-זוגית
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C לא זוגית ולא אי-זוגית

Corrigé :

f(−x)=−x3+2f(-x) = -x^3 + 2

On remplace (מציבים)

−f(x)=−x3−2-f(x) = -x^3 - 2

ומשווים

−x3+2≠−x3−2-x^3 + 2 \neq -x^3 - 2

לא מזדהה

התשובה «לא זוגית ולא אי-זוגית». ה-22 הוא ששובר: x3x^3 לבד אי-זוגית, והמספר החופשי מקלקל את הסימטריה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

ff אי-זוגית ו-f(3)=7f(3) = 7. מהו f(−3)f(-3)?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -7

Corrigé :

f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x)

ההגדרה

f(−3)=−f(3)=−7\begin{aligned}f(-3) &= -f(3) \\ &= -7\end{aligned}

On remplace (מציבים)

באי-זוגית הערך מתהפך בסימן. בזוגית הוא היה נשאר 77.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

ff אי-זוגית ומוגדרת ב-x=0x = 0. מהו בהכרח f(0)f(0)?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0

Corrigé :

f(−0)=−f(0)f(-0) = -f(0)

מציבים x=0x = 0

f(0)=−f(0)f(0) = -f(0)

אבל −0=0-0 = 0

2f(0)=0⇒f(0)=0\begin{aligned}2f(0) &= 0 \Rightarrow f(0) \\ &= 0\end{aligned}

ולכן

כל פונקציה אי-זוגית שמוגדרת באפס עוברת דרך הראשית. לכן f(x)=x3+2f(x) = x^3 + 2 לא יכולה להיות אי-זוגית — היא חותכת ב-22.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

מדוע f(x)=xf(x) = \sqrt{x} אינה זוגית ואינה אי-זוגית?

  1. כי היא עולה
  2. תחום ההגדרה אינו סימטרי ביחס לאפס
  3. כי x\sqrt{x} תמיד חיובי
  4. כי אין לה נקודת קיצון
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B תחום ההגדרה אינו סימטרי ביחס לאפס

Corrigé :

x≥0x \geq 0

תחום ההגדרה

f(−4)f(-4)

לא קיים, ואין מה להשוות

התשובה «תחום ההגדרה אינו סימטרי ביחס לאפס». הבדיקה נעצרת לפני האלגברה: תחום לא סימטרי פוסל את שתי האפשרויות בבת אחת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

עבור איזה ערך של kk הפונקציה f(x)=x3+kx2+2xf(x) = x^3 + kx^2 + 2x היא אי-זוגית?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0

Corrigé :

f(−x)=−x3+kx2−2xf(-x) = -x^3 + kx^2 - 2x

מציבים −x-x

−f(x)=−x3−kx2−2x-f(x) = -x^3 - kx^2 - 2x

ומולו

kx2=−kx2⇒k=0\begin{aligned}kx^2 &= -kx^2 \Rightarrow k \\ &= 0\end{aligned}

השוואה

האיבר kx2kx^2 הוא בחזקה זוגית באמצע פולינום אי-זוגי — הוא חייב להיעלם.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

מה סוג הפונקציה f(x)=xx2+1f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}?

  1. לא זוגית ולא אי-זוגית
  2. תלוי ב-xx
  3. זוגית
  4. אי-זוגית
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D אי-זוגית

Corrigé :

f(−x)=−xx2+1f(-x) = \frac{-x}{x^2 + 1}

המונה מתהפך, המכנה לא

=−xx2+1=−f(x)= -\frac{x}{x^2 + 1} = -f(x)

ולכן אי-זוגית

התשובה «אי-זוגית». מונה אי-זוגי חלקי מכנה זוגי נותן אי-זוגית — אותו כלל סימנים כמו בכפל.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

ff זוגית ו-gg אי-זוגית, שתיהן מוגדרות לכל xx. מה סוג h(x)=f(x)⋅g(x)h(x) = f(x) \cdot g(x)?

  1. תלוי בפונקציות
  2. לא זוגית ולא אי-זוגית
  3. אי-זוגית
  4. זוגית
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C אי-זוגית

Corrigé :

h(−x)=f(−x)⋅g(−x)h(-x) = f(-x) \cdot g(-x)

On remplace (מציבים)

=f(x)⋅(−g(x))= f(x) \cdot (-g(x))

אחת נשארת, השנייה מתהפכת

=−h(x)= -h(x)

ולכן אי-זוגית

התשובה «אי-זוגית»: (+)⋅(−)=(−)(+) \cdot (-) = (-). למשל x2⋅x=x3x^2 \cdot x = x^3.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

ff ו-gg מוגדרות לכל xx, שתיהן אי-זוגיות. נסמן h(x)=f(x)⋅g(x)h(x) = f(x) \cdot g(x). הוכיחו: hh זוגית.

  • f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x) לכל xx
  • g(−x)=−g(x)g(-x) = -g(x) לכל xx
  • h(x)=f(x)⋅g(x)h(x) = f(x) \cdot g(x)

h(−x)=h(x)h(-x) = h(x)

Voir la réponse et le corrigé
  1. h(−x)=f(−x)⋅g(−x)h(-x) = f(-x) \cdot g(-x) — הצבת −x-x בהגדרת hh
  2. f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x) — נתון — ff אי-זוגית
  3. g(−x)=−g(x)g(-x) = -g(x) — נתון — gg אי-זוגית
  4. h(−x)=(−f(x))⋅(−g(x))h(-x) = (-f(x)) \cdot (-g(x)) — הצבת שני הנתונים בשורה הראשונה
  5. h(−x)=f(x)⋅g(x)h(-x) = f(x) \cdot g(x) — מכפלת שני מינוסים היא פלוס
  6. h(−x)=h(x)h(-x) = h(x) — וזו הגדרת hh — כלומר hh זוגית
Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

ff אי-זוגית ומוגדרת ב-x=0x = 0. הוכיחו: f(0)=0f(0) = 0.

  • f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x) לכל xx בתחום
  • 00 נמצא בתחום ההגדרה

f(0)=0f(0) = 0

Voir la réponse et le corrigé
  1. f(−0)=−f(0)f(-0) = -f(0) — הצבת x=0x = 0 בהגדרת אי-זוגיות
  2. −0=0-0 = 0 — תכונת האפס
  3. f(0)=−f(0)f(0) = -f(0) — החלפת f(−0)f(-0) ב-f(0)f(0)
  4. 2f(0)=02f(0) = 0 — העברת אגף
  5. f(0)=0f(0) = 0 — חלוקה ב-22
Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe