Fonctions puissance

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

פונקציית חזקה היא y=xny = x^n, כש-nn מספר טבעי. הכרתם כבר את x1x^1 (ישר) ואת x2x^2 (פרבולה). מתברר שכל המשפחה מתחלקת לשתי קבוצות בלבד, לפי הזוגיות של nn.

קודם מסתכלים: חזקות זוגיות

ועכשיו חזקות אי-זוגיות

דרך אילו שלוש נקודות עוברים כל הגרפים של חזקה זוגית? ושל חזקה אי-זוגית?

Voir la réponse et le corrigé

חזקה זוגית: (0,0)(0,0), (1,1)(1,1) ו-(−1,1)(-1,1), כי (−1)n=1(-1)^n = 1 כש-nn זוגי. חזקה אי-זוגית: (0,0)(0,0), (1,1)(1,1) ו-(−1,−1)(-1,-1), כי (−1)n=−1(-1)^n = -1 כש-nn אי-זוגי.

n זוגיn \ \text{זוגי}

הגרף סימטרי לציר ה-yy, כל הערכים ≥0\geq 0, ושני הקצוות הולכים למעלה: x→±∞⇒xn→∞x \to \pm\infty \Rightarrow x^n \to \infty.

n אי-זוגיn \ \text{אי-זוגי}

הגרף סימטרי לראשית, הפונקציה מקבלת כל ערך, הקצה השמאלי למטה והימני למעלה.

בין −1-1 ל-11 — הסדר מתהפך

בגרפים רואים ש-x4x^4 מתחת ל-x2x^2 ליד הראשית, ומעליה רחוק ממנה. הסיבה: כשכופלים מספר שקטן מ-11 בעצמו, הוא קטן. 0.52=0.250.5^2 = 0.25, אבל 0.54=0.06250.5^4 = 0.0625.

מה גדול יותר: 0.9100.9^{10} או 0.920.9^{2}? ומה גדול יותר: 1.1101.1^{10} או 1.121.1^2?

Voir la réponse et le corrigé

0.92=0.810.9^2 = 0.81 גדול מ-0.910≈0.350.9^{10} \approx 0.35: בסיס בין 00 ל-11 — חזקה גבוהה יותר קטנה יותר. ועם 1.11.1 ההפך: 1.110≈2.591.1^{10} \approx 2.59 גדול מ-1.12=1.211.1^2 = 1.21.

התנהגות באינסוף של פולינום — מי קובע?

בפולינום כמו f(x)=−2x3+5x2+1f(x) = -2x^3 + 5x^2 + 1, כש-xx גדול מאוד האיבר עם החזקה הגבוהה ביותר בולע את כל השאר. ב-x=100x = 100: −2x3=−2,000,000-2x^3 = -2{,}000{,}000, ואילו 5x2=50,0005x^2 = 50{,}000 בלבד. לכן את הקצוות של הגרף קובעים שני דברים: המעלה וסימן המקדם המוביל.

לאן הולכת f(x)=−2x3+5x2+1f(x) = -2x^3 + 5x^2 + 1?

מסתכלים רק על −2x3-2x^3.

x→∞:  x3→∞x \to \infty:\ \ x^3 \to \infty

חזקה אי-זוגית של מספר חיובי גדול

−2x3→−∞-2x^3 \to -\infty

המקדם שלילי הופך את הכיוון

x→−∞:  x3→−∞⇒−2x3→∞x \to -\infty:\ \ x^3 \to -\infty \Rightarrow -2x^3 \to \infty

ובצד השמאלי — ההפך

↖ ⋯ ↘\nwarrow \ \cdots \ \searrow

שמאל למעלה, ימין למטה — תמונת הקצוות של הגרף

למה לפולינום ממעלה אי-זוגית יש תמיד שורש

האם ייתכן פולינום ממעלה 44 שאין לו אף שורש? הביאו דוגמה או הסבירו למה לא.

Voir la réponse et le corrigé

ייתכן. למשל f(x)=x4+1f(x) = x^4 + 1: תמיד x4≥0x^4 \geq 0, ולכן f(x)≥1f(x) \geq 1. בחזקה זוגית שני הקצוות באותו צד, ואין סיבה שהגרף יחצה את הציר.

אסור לכתוב ∞−∞=0\infty - \infty = 0 או «להציב ∞\infty». כדי לדעת לאן הולך פולינום, מסתכלים על האיבר המוביל בלבד, ומתארים את הכיוון בחץ.

הטעויות של פונקציות החזקה.

x4>x2  (x≠0)x^4 > x^2 \ \ (x \neq 0)
x4<x2  (0<∣x∣<1)x^4 < x^2 \ \ (0 < |x| < 1)

בין −1-1 ל-11 חזקה גבוהה יותר קטנה יותר. בדיקה: 0.54=0.0625<0.25=0.520.5^4 = 0.0625 < 0.25 = 0.5^2.

x→−∞: −2x3→−∞x \to -\infty:\ -2x^3 \to -\infty
x→−∞: −2x3→∞x \to -\infty:\ -2x^3 \to \infty

שני מינוסים: x3x^3 שלילי, והמקדם −2-2 הופך אותו לחיובי.

Exercices

Exercice 1

לאן הולכים ערכי f(x)=−x4+10x3f(x) = -x^4 + 10x^3 כאשר x→∞x \to \infty?

  1. f(x)→10f(x) \to 10
  2. f(x)→∞f(x) \to \infty
  3. f(x)→−∞f(x) \to -\infty
  4. f(x)→0f(x) \to 0
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C f(x)→−∞f(x) \to -\infty

Corrigé :

−x4-x^4

האיבר המוביל

x4→∞⇒−x4→−∞x^4 \to \infty \Rightarrow -x^4 \to -\infty

המקדם שלילי

x=100: −108+107<0x = 100:\ -10^8 + 10^7 < 0

בדיקה במספר

התשובה f(x)→−∞f(x) \to -\infty. המלכודת: המקדם 1010 גדול, אבל הוא יושב על חזקה נמוכה יותר. רחוק מהראשית רק האיבר המוביל קובע.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

הגרפים של y=x5y = x^5 ושל y=x3y = x^3 נחתכים בשלוש נקודות בדיוק.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

x5=x3x^5 = x^3

משווים

x3(x2−1)=0x^3(x^2 - 1) = 0

מוציאים גורם משותף — לא מחלקים ב-x3x^3

x=0 x=1 x=−1\begin{aligned}x &= 0 \\ \ x &= 1 \\ \ x &= -1\end{aligned}

שלוש נקודות: (0,0)(0,0), (1,1)(1,1), (−1,−1)(-1,-1)

הטענה נכונה. מי שמחלק את שני האגפים ב-x3x^3 מאבד את x=0x = 0 ומקבל רק שתיים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

מיינו את הפונקציות לפי הסימטריה של הגרף

  • סימטרי לציר ה-yy
  • סימטרי לראשית
  • y=−x3y = -x^3
  • y=−x4y = -x^4
  • y=2x5y = 2x^5
  • y=3x2y = 3x^2
  • y=x6y = x^6
  • y=x7y = x^7
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : y=x6y = x^6 — סימטרי לציר ה-yy · y=−x4y = -x^4 — סימטרי לציר ה-yy · y=3x2y = 3x^2 — סימטרי לציר ה-yy · y=x7y = x^7 — סימטרי לראשית · y=−x3y = -x^3 — סימטרי לראשית · y=2x5y = 2x^5 — סימטרי לראשית

Corrigé :

(−x)6=x6(-x)^6 = x^6

חזקה זוגית מוחקת את המינוס

(−x)7=−x7(-x)^7 = -x^7

חזקה אי-זוגית שומרת עליו

−(−x)4=−x4-(-x)^4 = -x^4

מקדם שלילי לא משנה את סוג הסימטריה

המלכודת: −x4-x^4 נראית «הפוכה», אבל היא עדיין סימטרית לציר ה-yy. את הסימטריה קובעת החזקה, לא סימן המקדם.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

לאיזה מהפולינומים הבאים בוודאות יש שורש, עוד לפני כל חישוב?

  1. x6−x2+3x^6 - x^2 + 3
  2. x3+x2+5x^3 + x^2 + 5
  3. x4+1x^4 + 1
  4. x2+x+1x^2 + x + 1
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B x3+x2+5x^3 + x^2 + 5

Corrigé :

מעלה 3 אי-זוגית\text{מעלה } 3 \ \text{אי-זוגית}

הקצוות בצדדים הפוכים של הציר

f(−3)=−27+9+5=−13<0 f(0)=5>0\begin{aligned}f(-3) &= -27 + 9 + 5 \\ &= -13 < 0 \\ \ f(0) &= 5 > 0\end{aligned}

ואכן יש מעבר סימן

התשובה x3+x2+5x^3 + x^2 + 5. לשלושת האחרים המעלה זוגית, ולכן אין הבטחה — ובדיוק להם אין שורש. מעלה אי-זוגית מבטיחה שורש; מעלה זוגית לא מבטיחה כלום.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

סדרו מהערך הקטן לגדול, כאשר x=12x = \frac{1}{2}

  • x2x^2
  • x3x^3
  • x4x^4
  • xx
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : x4x^4 · x3x^3 · x2x^2 · xx

Corrigé :

116<18<14<12\frac{1}{16} < \frac{1}{8} < \frac{1}{4} < \frac{1}{2}

מחשבים כל חזקה

בין 00 ל-11 החזקה הגבוהה ביותר היא הקטנה ביותר. מי שסידר x,x2,x3,x4x, x^2, x^3, x^4 חשב כמו על מספר גדול מ-11.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

גרף של פולינום ממעלה 33 יורד לכיוון −∞-\infty כאשר x→∞x \to \infty. מה אפשר לומר על המקדם של x3x^3?

  1. הוא אפס
  2. הוא חיובי
  3. Impossible de savoir
  4. הוא שלילי
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D הוא שלילי

Corrigé :

ax3, x→∞ax^3 ,\ x \to \infty

רק האיבר המוביל קובע

a>0⇒ax3→∞a > 0 \Rightarrow ax^3 \to \infty

היה עולה

a<0⇒ax3→−∞a < 0 \Rightarrow ax^3 \to -\infty

וזה מה שקורה

התשובה «הוא שלילי». ואם המקדם היה אפס, זה כבר לא היה פולינום ממעלה 33.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

Complétez (השלימו)

הגרף של f(x)=xnf(x) = x^n עובר בנקודה (−2, −32)(-2,\,-32). לכן n=n = ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : הגרף של f(x)=xnf(x) = x^n עובר בנקודה (−2, −32)(-2,\,-32). לכן n=n = 5

Corrigé :

(−2)n=−32(-2)^n = -32

מציבים את הנקודה

25=322^5 = 32

בערך מוחלט

(−2)5=−32(-2)^5 = -32

והסימן שלילי: nn אי-זוגי

המלכודת: לחשב רק 2n=322^n = 32 ולשכוח את הסימן. כאן הסימן מאשר את התשובה: חזקה אי-זוגית של מספר שלילי היא שלילית. אילו הנקודה הייתה (−2, 32)(-2,\,32), לא היה nn מתאים — 2n=322^n = 32 מחייב n=5n = 5, ו-(−2)5(-2)^5 שלילי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

לכל xx מתקיים x4≥x2x^4 \geq x^2.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

x=0.5:  x4=0.0625 x2=0.25\begin{aligned}x &= 0.5:\ \ x^4 \\ &= 0.0625 \\ \ x^2 &= 0.25\end{aligned}

דוגמה נגדית

0.0625<0.250.0625 < 0.25

האי-שוויון נשבר

הטענה שגויה, ומספיקה דוגמה נגדית אחת. x4≥x2x^4 \geq x^2 נכון רק כאשר ∣x∣≥1|x| \geq 1 או x=0x = 0.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

בכמה נקודות נחתכים הגרפים של y=x4y = x^4 ושל y=x2y = x^2?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

x4−x2=0x^4 - x^2 = 0

מעבירים אגף

x2(x−1)(x+1)=0x^2(x - 1)(x + 1) = 0

מפרקים

x=0 1 −1\begin{aligned}x &= 0 \\ \ 1 \\ \ -1\end{aligned}

שלושה ערכי xx שונים

הטעות: לחלק ב-x2x^2 ולקבל רק x=±1x = \pm 1. לא מחלקים בביטוי שיכול להיות אפס — מוציאים אותו גורם משותף.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

גרף הפונקציה
-3-2-10123-5-4-3-2-112345xy

לפניכם גרף של פולינום ממעלה 33. איזו נוסחה יכולה להתאים לו?

  1. y=x3−3xy = x^3 - 3x
  2. y=−x3+3xy = -x^3 + 3x
  3. y=x4−3x2y = x^4 - 3x^2
  4. y=−x4+3x2y = -x^4 + 3x^2
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B y=−x3+3xy = -x^3 + 3x

Corrigé :

↖ ⋯ ↘\nwarrow \ \cdots \ \searrow

שמאל למעלה, ימין למטה — קצוות בצדדים הפוכים: מעלה אי-זוגית, מקדם מוביל שלילי

x=1: −1+3=2\begin{aligned}x &= 1:\ -1 + 3 \\ &= 2\end{aligned}

בדיקה: בגרף y=2y = 2 ב-x=1x = 1

התשובה y=−x3+3xy = -x^3 + 3x. x3−3xx^3 - 3x היא אותו גרף הפוך (ימין למעלה), ושתי החזקות הרביעיות נפסלות כי אצלן שני הקצוות באותו צד.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe