La fonction et les fonctions de référence

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

בכיתה ט הכרתם שתי פונקציות: הישר והפרבולה. בפרק הזה בונים חוש לפונקציות — לראות נוסחה ולדמיין מיד את הגרף שלה, בלי טבלת ערכים ארוכה. מתחילים מארבע פונקציות בסיסיות שיחזרו בכל הפרקים הבאים.

פונקציה: לכל xx — ערך אחד בלבד

פונקציה היא כלל שמתאים לכל xx שמותר להציב ערך yy אחד בדיוק. אוסף ה-xx שמותר להציב נקרא תחום ההגדרה. בגרף: כל ישר אנכי פוגש את הגרף לכל היותר פעם אחת.

האם הישר x=2x = 2 הוא גרף של פונקציה?

Voir la réponse et le corrigé

לא. לאותו x=2x = 2 מתאימים אינסוף ערכים של yy: (2,0)(2,0), (2,1)(2,1), (2,−5)(2,-5) ועוד — ישר אנכי הוא בדיוק מה שפונקציה אסורה להיות. לעומת זאת y=2y = 2 כן פונקציה: לכל xx הערך הוא 22.

ארבע פונקציות בסיסיות — קודם מסתכלים

הגרפים של y = |x| ושל y = √x
-4-3-2-101234-11234xy
  • y = |x|
  • y = √x

y=∣x∣y = |x| נראית כמו האות V: היא מוגדרת לכל xx, ערכיה אף פעם לא שליליים, והקדקוד שלה בראשית. y=xy = \sqrt{x} מתחילה בראשית ומתקדמת רק ימינה — אין שורש ריבועי למספר שלילי — והיא עולה, אבל לאט יותר ויותר.

הגרפים של y = 1/x ושל y = 1/x²
-4-3-2-101234-4-3-2-11234xy
  • y = 1/x
  • y = 1/x²

y=1xy = \frac{1}{x} ו-y=1x2y = \frac{1}{x^2} אינן מוגדרות ב-x=0x = 0, ולכן הגרף שלהן נקרע לשני ענפים. ל-1x\frac{1}{x} ענף ברביע הראשון וענף ברביע השלישי. ל-1x2\frac{1}{x^2} שני הענפים מעל ציר ה-xx, כי ריבוע של מספר שונה מאפס תמיד חיובי.

איזו משתי הפונקציות, 1x\frac{1}{x} או 1x2\frac{1}{x^2}, מקבלת ערכים שליליים? ובאילו xx?

Voir la réponse et le corrigé

רק 1x\frac{1}{x}, וזה קורה בדיוק כש-x<0x < 0. למשל 1−2=−12\frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}, אבל 1(−2)2=14\frac{1}{(-2)^2} = \frac{1}{4}.

תחום ההגדרה — שני כללים

…g(x)\frac{\dots}{g(x)}

המכנה שונה מאפס: g(x)≠0g(x) \neq 0.

g(x)\sqrt{g(x)}

מה שמתחת לשורש אי-שלילי: g(x)≥0g(x) \geq 0.

כשיש גם שורש וגם מכנה, התנאים חלים יחד, וצריך לקיים את כולם.

תחום ההגדרה של f(x)=x+3x−2f(x) = \dfrac{\sqrt{x+3}}{x-2}

שני תנאים, ואחר כך משלבים אותם.

x+3≥0⇒x≥−3x + 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq -3

תנאי השורש

x−2≠0⇒x≠2x - 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2

תנאי המכנה

x≥−3, x≠2x \geq -3 ,\ x \neq 2

שני התנאים יחד — זה תחום ההגדרה

מה קורה כש-xx מתרחק מאוד

x→∞:  1x→0x \to \infty:\ \ \frac{1}{x} \to 0

ככל ש-xx גדל, 1x\frac{1}{x} מתקרבת ל-00 ולא מגיעה אליו. אותו דבר ל-1x2\frac{1}{x^2}, ומהר יותר.

x→∞:  x→∞x \to \infty:\ \ \sqrt{x} \to \infty

השורש גדל בלי גבול — לאט, אבל לא נעצר באף מספר: 10000=100\sqrt{10000} = 100.

x→0+:  1x→∞x \to 0^{+}:\ \ \frac{1}{x} \to \infty

כש-xx קטן וחיובי, 1x\frac{1}{x} עצום: 10.001=1000\frac{1}{0.001} = 1000.

הסימן ∞\infty אינו מספר, ולא מציבים אותו בנוסחה. הכתיב x→∞x \to \infty אומר רק «xx גדל בלי גבול», והחץ שאחריו מתאר לאן הערכים הולכים.

שלוש הטעויות של הפונקציות הבסיסיות.

x−3: x>3\sqrt{x-3}:\ x > 3
x−3: x≥3\sqrt{x-3}:\ x \geq 3

שורש של אפס קיים: 0=0\sqrt{0} = 0. רק במכנה האפס אסור.

1x2<0 (x<0)\frac{1}{x^2} < 0 \ (x < 0)
1x2>0 (x≠0)\frac{1}{x^2} > 0 \ (x \neq 0)

הריבוע מוחק את הסימן לפני החלוקה. שני הענפים של 1x2\frac{1}{x^2} מעל הציר.

−1<1⇒1−1>11-1 < 1 \Rightarrow \frac{1}{-1} > \frac{1}{1}
1−1=−1<1=11\begin{aligned}\frac{1}{-1} &= -1 < 1 \\ &= \frac{1}{1}\end{aligned}

הפונקציה 1x\frac{1}{x} יורדת בכל ענף בנפרד, לא בכל תחום ההגדרה. המעבר מענף לענף קופץ.

Exercices

Exercice 1

מהו תחום ההגדרה של y=1x−3y = \frac{1}{x - 3}?

  1. x≥3x \geq 3
  2. כל xx
  3. x>3x > 3
  4. כל xx פרט ל-3
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D כל xx פרט ל-3

Corrigé :

x−3≠0x - 3 \neq 0

המכנה אסור שיתאפס

x≠3x \neq 3

כל שאר המספרים מותרים

התשובה «כל xx פרט ל-3». מי שבחר x>3x > 3 הפעיל את כלל השורש על שבר — במכנה רק מספר אחד נפסל.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

מהו ה-xx הגדול ביותר שמותר להציב בפונקציה f(x)=8−2xf(x) = \sqrt{8 - 2x}?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

8−2x≥08 - 2x \geq 0

תנאי השורש

−2x≥−8-2x \geq -8

מעבירים אגף

x≤4x \leq 4

מחלקים ב-(−2)(-2) והופכים את סימן אי-השוויון

התחום הוא x≤4x \leq 4, ולכן הגדול ביותר הוא 44. הטעות הנפוצה: לשכוח להפוך את הסימן בחלוקה במספר שלילי, ולקבל x≥4x \geq 4.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

מהו תחום ההגדרה של f(x)=x+5x−1f(x) = \dfrac{\sqrt{x+5}}{x-1}?

  1. x≥−5x \geq -5 וגם x≠1x \neq 1
  2. x>−5x > -5 וגם x≠1x \neq 1
  3. x≥−5x \geq -5
  4. x≠1x \neq 1
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A x≥−5x \geq -5 וגם x≠1x \neq 1

Corrigé :

x+5≥0⇒x≥−5x + 5 \geq 0 \Rightarrow x \geq -5

תנאי השורש במונה

x−1≠0⇒x≠1x - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1

תנאי המכנה

x≥−5, x≠1x \geq -5 ,\ x \neq 1

שני התנאים יחד

התשובה «x≥−5x \geq -5 וגם x≠1x \neq 1». השורש נמצא במונה, ולכן x=−5x = -5 מותר (f(−5)=0f(-5) = 0). מי שכתב x>−5x > -5 התבלבל עם שורש במכנה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

מיינו: איזו פונקציה מוגדרת לכל xx, ואיזו לא?

  • מוגדרת לכל xx
  • יש xx שאסור להציב
  • 1x−1\frac{1}{x-1}
  • 1x2\frac{1}{x^2}
  • 1x2+1\frac{1}{x^2+1}
  • x\sqrt{x}
  • x2+4\sqrt{x^2+4}
  • ∣x∣|x|
  • x3x^3
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : ∣x∣|x| — מוגדרת לכל xx · x3x^3 — מוגדרת לכל xx · 1x2+1\frac{1}{x^2+1} — מוגדרת לכל xx · x2+4\sqrt{x^2+4} — מוגדרת לכל xx · x\sqrt{x} — יש xx שאסור להציב · 1x2\frac{1}{x^2} — יש xx שאסור להציב · 1x−1\frac{1}{x-1} — יש xx שאסור להציב

Corrigé :

x2+1≥1>0x^2 + 1 \geq 1 > 0

המכנה לעולם לא מתאפס

x2+4≥4>0x^2 + 4 \geq 4 > 0

מתחת לשורש תמיד חיובי

−1, 102, 11−1\sqrt{-1},\ \frac{1}{0^2},\ \frac{1}{1-1}

שלוש הצבות אסורות

המלכודת היא 1x2+1\frac{1}{x^2+1} ו-x2+4\sqrt{x^2+4}: יש בהן מכנה ושורש, ובכל זאת אין אף xx אסור. בודקים את הביטוי, לא את הצורה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

לפונקציה y=1xy = \frac{1}{x} — יש נקודת חיתוך עם הצירים?

  1. כן, בראשית
  2. רק עם ציר ה-yy
  3. לא, אף אחת
  4. רק עם ציר ה-xx
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C לא, אף אחת

Corrigé :

x=0 ⇒ 10x = 0 \ \Rightarrow\ \frac{1}{0}

אסור להציב — אין חיתוך עם ציר ה-yy

1x=0 ⇒ 1=0\begin{aligned}\frac{1}{x} &= 0 \ \Rightarrow\ 1 \\ &= 0\end{aligned}

אין פתרון — אין חיתוך עם ציר ה-xx

התשובה «לא, אף אחת». שבר מתאפס רק כשהמונה מתאפס, והמונה כאן הוא 11. שני הצירים הם בדיוק הקווים שהגרף מתקרב אליהם.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

התאימו לכל פונקציה את התיאור של הגרף שלה

  • y=∣x∣y = |x|
  • y=xy = \sqrt{x}
  • y=1xy = \frac{1}{x}
  • y=1x2y = \frac{1}{x^2}
  • יוצאת מהראשית, רק ימינה, ועולה לאט
  • צורת V, והקדקוד בראשית
  • שני ענפים, שניהם מעל ציר ה-xx
  • שני ענפים: ברביע הראשון וברביע השלישי
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : y=∣x∣y = |x| — צורת V, והקדקוד בראשית · y=xy = \sqrt{x} — יוצאת מהראשית, רק ימינה, ועולה לאט · y=1xy = \frac{1}{x} — שני ענפים: ברביע הראשון וברביע השלישי · y=1x2y = \frac{1}{x^2} — שני ענפים, שניהם מעל ציר ה-xx

Corrigé :

∣−2∣=2 ∣2∣=2\begin{aligned}|-2| &= 2 \\ \ |2| &= 2\end{aligned}

אותו גובה משני הצדדים: V

1−2=−12 1(−2)2=14\begin{aligned}\frac{1}{-2} &= -\frac{1}{2} \\ \ \frac{1}{(-2)^2} &= \frac{1}{4}\end{aligned}

רק 1x\frac{1}{x} יורדת מתחת לציר

את 1x\frac{1}{x} ואת 1x2\frac{1}{x^2} מבדילים בהצבה אחת של מספר שלילי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

הפונקציה f(x)=1xf(x) = \frac{1}{x} יורדת, ולכן f(−1)>f(1)f(-1) > f(1).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

f(−1)=−1 f(1)=1\begin{aligned}f(-1) &= -1 \\ \ f(1) &= 1\end{aligned}

On remplace (מציבים)

−1<1-1 < 1

כלומר f(−1)<f(1)f(-1) < f(1)

הטענה שגויה. 1x\frac{1}{x} יורדת בכל ענף לחוד (x<0x<0 וגם x>0x>0), אבל בין הענפים יש קפיצה. אי אפשר להשוות נקודה מענף אחד לנקודה מהענף השני בעזרת «יורדת».

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

איזו פונקציה בגרף?
-4-3-2-101234-11234xy

לפניכם גרף של אחת מהפונקציות הבסיסיות. איזו?

  1. y=1xy = \frac{1}{x}
  2. y=∣x∣y = |x|
  3. y=xy = \sqrt{x}
  4. y=1x2y = \frac{1}{x^2}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D y=1x2y = \frac{1}{x^2}

Corrigé :

x=0 אסורx = 0 \ \text{אסור}

הגרף נקרע ב-x=0x=0: רק שתי הפונקציות עם המכנה

x=−1:  y=1>0\begin{aligned}x &= -1:\ \ y \\ &= 1 > 0\end{aligned}

הענף השמאלי מעל הציר: לא 1x\frac{1}{x}

התשובה y=1x2y = \frac{1}{x^2}. שני ענפים → יש מכנה; שניהם מעל הציר → ריבוע במכנה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

כמה מספרים שלמים נמצאים בתחום ההגדרה של f(x)=5−xx+2f(x) = \dfrac{\sqrt{5-x}}{\sqrt{x+2}}?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 7

Corrigé :

5−x≥0⇒x≤55 - x \geq 0 \Rightarrow x \leq 5

השורש שבמונה

x+2>0⇒x>−2x + 2 > 0 \Rightarrow x > -2

השורש שבמכנה — חיובי ממש

−2<x≤5-2 < x \leq 5

התחום

−1,0,1,2,3,4,5-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5

שבעה מספרים שלמים

המלכודת: לספור גם את −2-2. שורש במכנה חייב להיות חיובי ממש, כי 0=0\sqrt{0} = 0 ואסור לחלק באפס.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

כאשר x→∞x \to \infty, הערכים של x\sqrt{x} מתקרבים למספר קבוע, כי הגרף «משתטח».

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

100=10 106=1000\begin{aligned}\sqrt{100} &= 10 \\ \ \sqrt{10^6} &= 1000\end{aligned}

מציבים מספרים גדולים

x→∞⇒x→∞x \to \infty \Rightarrow \sqrt{x} \to \infty

אין מספר שהשורש לא יעבור

הטענה שגויה. הגרף נראה משתטח כי הוא עולה לאט, אבל לכל מספר MM יש xx שבו x>M\sqrt{x} > M: למשל x=M2+1x = M^2 + 1. עלייה איטית אינה עצירה.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe