Quadrilatère inscrit dans un cercle

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

מרובע שכל ארבעת קודקודיו נמצאים על מעגל נקרא מרובע חסום במעגל. כל אחת מזוויותיו היא זווית היקפית — ולכן כל מה שלמדנו על זוויות היקפיות עובד בו.

α180°−αABCD010096
המרובע ABCD חסום במעגל. הזווית A נשענת על הקשת BCD, והזווית C על הקשת BAD — ושתי הקשתות יחד הן המעגל כולו.

במרובע חסום ∠A=70∘\angle A = 70^\circ. מהי ∠C\angle C? ומה אפשר לומר על ∠B\angle B?

Voir la réponse et le corrigé

∠C=110∘\angle C = 110^\circ — הזווית הנגדית משלימה ל-180∘180^\circ. על ∠B\angle B אי אפשר לומר דבר בלי נתון נוסף: היא סמוכה ל-AA, לא נגדית לה.

המשפט ומאיפה הוא בא

∠A+∠C=180∘∠B+∠D=180∘\begin{aligned}\angle A + \angle C &= 180^\circ \qquad \angle B + \angle D \\ &= 180^\circ\end{aligned}

במרובע חסום ∠A=70∘\angle A = 70^\circ, ∠B=100∘\angle B = 100^\circ ו-∠C=110∘\angle C = 110^\circ. מהי ∠D\angle D? ואיך בודקים את התשובה?

Voir la réponse et le corrigé

∠D=80∘\angle D = 80^\circ, כי ∠B+∠D=180∘\angle B + \angle D = 180^\circ. בדיקה: A+C=70+110=180A + C = 70 + 110 = 180 ✓, וסכום ארבע הזוויות 360∘360^\circ ✓.

מסקנה: הזווית החיצונית

מאריכים את הצלע BCBC מעבר ל-CC עד EE. הזווית ∠DCE\angle DCE צמודה ל-∠BCD\angle BCD, וגם ∠A\angle A משלימה את ∠BCD\angle BCD ל-180∘180^\circ. לכן: במרובע חסום, זווית חיצונית שווה לזווית הפנימית שממול.

המשפט ההפוך — כך מוכיחים שמרובע חסום

אם במרובע סכום זוג זוויות נגדיות הוא 180∘180^\circ, אז המרובע חסום במעגל. זו הדרך המקובלת בבגרות להוכיח שאפשר להעביר מעגל דרך ארבע נקודות.

חסום⇒∠A+∠C=180∘\text{חסום} \Rightarrow \angle A + \angle C = 180^\circ

הכיוון הישיר — לחישוב זוויות.

∠A+∠C=180∘⇒חסום\angle A + \angle C = 180^\circ \Rightarrow \text{חסום}

הכיוון ההפוך — להוכחה שקיים מעגל דרך ארבעת הקודקודים.

האם המרובע חסום?

במרובע ABCDABCD נתון ∠A=100∘\angle A = 100^\circ, ∠B=75∘\angle B = 75^\circ ו-∠C=80∘\angle C = 80^\circ. האם אפשר להעביר מעגל דרך ארבעת קודקודיו?

∠D=360∘−100∘−75∘−80∘=105∘\begin{aligned}\angle D &= 360^\circ - 100^\circ - 75^\circ - 80^\circ \\ &= 105^\circ\end{aligned}

סכום הזוויות במרובע

∠A+∠C=100∘+80∘=180∘\begin{aligned}\angle A + \angle C &= 100^\circ + 80^\circ \\ &= 180^\circ\end{aligned}

זוג הזוויות הנגדיות

⇒\Rightarrow

ABCDABCD חסום במעגל, לפי המשפט ההפוך. (וגם 75+105=18075 + 105 = 180, כמו שחייב להיות.)

האם כל מלבן חסום במעגל? והאם כל מעוין?

Voir la réponse et le corrigé

כל מלבן — כן: כל זוג זוויות נגדיות הוא 90∘+90∘90^\circ + 90^\circ, ומרכז המעגל הוא מפגש האלכסונים. מעוין — לא תמיד: זוויותיו הנגדיות שוות, ולכן סכומן 180∘180^\circ רק כשכולן ישרות — כלומר רק כשהמעוין הוא ריבוע.

מרובעים שחסומים תמיד: מלבן, ריבוע, טרפז שווה שוקיים. מקבילית חסומה במעגל היא בהכרח מלבן, וטרפז חסום במעגל הוא בהכרח שווה שוקיים.

שתי הטעויות של המרובע החסום.

∠A+∠B=180∘\angle A + \angle B = 180^\circ
∠A+∠C=180∘\angle A + \angle C = 180^\circ

נגדיות, לא סמוכות. במרובע חסום אין קשר קבוע בין שתי זוויות סמוכות.

∠A=∠C⇒ABCD חסום\angle A = \angle C \Rightarrow ABCD \text{ חסום}
∠A+∠C=180∘⇒ABCD חסום\angle A + \angle C = 180^\circ \Rightarrow ABCD \text{ חסום}

שוויון של זוויות נגדיות אינו מספיק: במקבילית הן שוות, ורוב המקביליות אינן חסומות. הנתון שנדרש הוא סכום של 180∘180^\circ.

Exercices

Exercice 1

70°?ABCD010096

המרובע ABCDABCD חסום במעגל, ו-∠A=70∘\angle A = 70^\circ. חשבו את הזווית הנגדית ∠C\angle C.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 110

Corrigé :

∠A+∠C=180∘\angle A + \angle C = 180^\circ

זוויות נגדיות במרובע חסום

∠C=180∘−70∘=110∘\begin{aligned}\angle C &= 180^\circ - 70^\circ \\ &= 110^\circ\end{aligned}

המלכודת: לחשב את ∠B\angle B או את ∠D\angle D במקום. הנגדית ל-AA היא CC.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

80°?ABCD010096

המרובע ABCDABCD חסום במעגל, ו-∠A=80∘\angle A = 80^\circ. מה אפשר לקבוע על ∠B\angle B?

  1. ∠B=100∘\angle B = 100^\circ
  2. אי אפשר לקבוע בלי נתון נוסף
  3. ∠B=80∘\angle B = 80^\circ
  4. ∠B=90∘\angle B = 90^\circ
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B אי אפשר לקבוע בלי נתון נוסף

Corrigé :

∠A+∠C=180∘\angle A + \angle C = 180^\circ

המשפט מדבר על זוגות נגדיים

∠B ?\angle B \text{ ?}

AA ו-BB סמוכות — אין ביניהן קשר קבוע

התשובה: «אי אפשר לקבוע בלי נתון נוסף». המלכודת: 100∘100^\circ — להשלים ל-180∘180^\circ זווית שאינה נגדית.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

70°100°110°?ABCD010096

המרובע ABCDABCD חסום במעגל. נתון ∠A=70∘\angle A = 70^\circ, ∠B=100∘\angle B = 100^\circ ו-∠C=110∘\angle C = 110^\circ. חשבו את ∠D\angle D.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 80

Corrigé :

∠B+∠D=180∘\angle B + \angle D = 180^\circ

זוג נגדיות

∠D=180∘−100∘=80∘\begin{aligned}\angle D &= 180^\circ - 100^\circ \\ &= 80^\circ\end{aligned}
70∘+110∘=180∘ ✓70^\circ + 110^\circ = 180^\circ \ \checkmark

בדיקה בזוג השני

המלכודת: להשלים את ∠C\angle C ולקבל 70∘70^\circ. הזווית הנגדית ל-DD היא BB.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

95°85°ABCD09957.752

במרובע ABCDABCD נתון ∠A=95∘\angle A = 95^\circ ו-∠C=85∘\angle C = 85^\circ. האם אפשר להעביר מעגל דרך ארבעת קודקודיו?

  1. רק אם המרובע מקבילית
  2. לא
  3. אי אפשר לדעת בלי ∠B\angle B
  4. כן — סכום זוג הזוויות הנגדיות 180∘180^\circ
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D כן — סכום זוג הזוויות הנגדיות 180∘180^\circ

Corrigé :

∠A+∠C=95∘+85∘=180∘\begin{aligned}\angle A + \angle C &= 95^\circ + 85^\circ \\ &= 180^\circ\end{aligned}

זוג נגדיות

⇒ABCD חסום\Rightarrow ABCD \text{ חסום}

המשפט ההפוך

התשובה: «כן — סכום זוג הזוויות הנגדיות 180∘180^\circ». המלכודת: לחשוב שצריך גם את ∠B\angle B. סכום הזוויות במרובע 360∘360^\circ, ולכן גם ∠B+∠D=180∘\angle B + \angle D = 180^\circ מעצמו.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

3x2xABCD010096

המרובע ABCDABCD חסום במעגל, ∠A=3x\angle A = 3x ו-∠C=2x\angle C = 2x (במעלות). מצאו את xx.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 36

Corrigé :

3x+2x=1803x + 2x = 180

זוויות נגדיות

5x=180⇒x=36\begin{aligned}5x &= 180 \Rightarrow x \\ &= 36\end{aligned}
∠A=108∘ ∠C=72∘\begin{aligned}\angle A &= 108^\circ \\ \ \angle C &= 72^\circ\end{aligned}

בדיקה

המלכודת: להשוות 3x=2x3x = 2x, כאילו הזוויות הנגדיות שוות. הן משלימות ל-180∘180^\circ.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

ABCD010096

המרובע ABCDABCD חסום במעגל. הוכיחו כי ∠A+∠C=180∘\angle A + \angle C = 180^\circ.

  • AA, BB, CC, DD נמצאות כולן על המעגל

∠A+∠C=180∘\angle A + \angle C = 180^\circ

Voir la réponse et le corrigé
  1. ∠A=12 BCD⌢\angle A = \tfrac{1}{2}\,\overset{\frown}{BCD} — זווית היקפית שווה לחצי הקשת שעליה היא נשענת
  2. ∠C=12 BAD⌢\angle C = \tfrac{1}{2}\,\overset{\frown}{BAD} — זווית היקפית שווה לחצי הקשת שעליה היא נשענת
  3. BCD⌢+BAD⌢=360∘\overset{\frown}{BCD} + \overset{\frown}{BAD} = 360^\circ — שתי הקשתות יחד הן המעגל כולו
  4. ∠A+∠C=12⋅360∘\angle A + \angle C = \tfrac{1}{2} \cdot 360^\circ — חיבור שתי השורות הראשונות והצבת סכום הקשתות
  5. ∠A+∠C=180∘\angle A + \angle C = 180^\circ — חישוב

Corrigé :

∠A=12 BCD⌢\angle A = \tfrac{1}{2}\,\overset{\frown}{BCD}

זווית היקפית שווה לחצי הקשת שעליה היא נשענת

∠C=12 BAD⌢\angle C = \tfrac{1}{2}\,\overset{\frown}{BAD}

זווית היקפית שווה לחצי הקשת שעליה היא נשענת

BCD⌢+BAD⌢=360∘\overset{\frown}{BCD} + \overset{\frown}{BAD} = 360^\circ

שתי הקשתות יחד הן המעגל כולו

∠A+∠C=12⋅360∘\angle A + \angle C = \tfrac{1}{2} \cdot 360^\circ

חיבור שתי השורות הראשונות והצבת סכום הקשתות

∠A+∠C=180∘\angle A + \angle C = 180^\circ

חישוב

המלכודת: לכתוב «∠A=12AB⌢\angle A = \tfrac{1}{2}\overset{\frown}{AB}». הזווית ב-AA נשענת על הקשת שמולה, BCDBCD — זו שאינה עוברת דרך AA.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

72°?ABCDE010096

המרובע ABCDABCD חסום במעגל. מאריכים את הצלע BCBC מעבר ל-CC עד הנקודה EE, ו-∠DCE=72∘\angle DCE = 72^\circ. חשבו את ∠A\angle A.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 72

Corrigé :

∠BCD=180∘−72∘=108∘\begin{aligned}\angle BCD &= 180^\circ - 72^\circ \\ &= 108^\circ\end{aligned}

זוויות צמודות

∠A=180∘−108∘=72∘\begin{aligned}\angle A &= 180^\circ - 108^\circ \\ &= 72^\circ\end{aligned}

זוויות נגדיות במרובע חסום

המלכודת: לענות 108108. הזווית החיצונית ב-CC שווה לזווית הפנימית שממול, ∠A\angle A.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

ABCD010096

הוכיחו או הפריכו: כל מקבילית החסומה במעגל היא מלבן.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

∠A=∠C\angle A = \angle C

זוויות נגדיות במקבילית שוות

∠A+∠C=180∘\angle A + \angle C = 180^\circ

זוויות נגדיות במרובע חסום

2∠A=180∘⇒∠A=90∘\begin{aligned}2\angle A &= 180^\circ \Rightarrow \angle A \\ &= 90^\circ\end{aligned}

ומקבילית עם זווית ישרה היא מלבן

נכון. המלכודת: להפוך את הכיוון. הטענה «כל מקבילית אפשר לחסום במעגל» אינה נכונה; רק מלבן.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

118°?OABCD010096

המרובע ABCDABCD חסום במעגל, והצלע ABAB היא קוטר. נתון ∠BCD=118∘\angle BCD = 118^\circ. חשבו את ∠ABD\angle ABD.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 28

Corrigé :

∠DAB=180∘−118∘=62∘\begin{aligned}\angle DAB &= 180^\circ - 118^\circ \\ &= 62^\circ\end{aligned}

זוויות נגדיות במרובע חסום

∠ADB=90∘\angle ADB = 90^\circ

זווית היקפית הנשענת על הקוטר ABAB

∠ABD=180∘−90∘−62∘=28∘\begin{aligned}\angle ABD &= 180^\circ - 90^\circ - 62^\circ \\ &= 28^\circ\end{aligned}

סכום זוויות במשולש ABDABD

המלכודת: להשתמש רק במשפט אחד. כאן צריך שניים — נגדיות במרובע חסום, וזווית על קוטר — ואז משולש.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

ABCD09995.092

ABCDABCD טרפז שווה שוקיים: AB∥DCAB \parallel DC ו-AD=BCAD = BC. הוכיחו כי אפשר להעביר מעגל דרך ארבעת קודקודיו.

  • AB∥DCAB \parallel DC
  • AD=BCAD = BC

ABCDABCD חסום במעגל

Voir la réponse et le corrigé
  1. ∠A=∠B\angle A = \angle B — בטרפז שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות
  2. ∠B+∠C=180∘\angle B + \angle C = 180^\circ — זוויות חד-צדדיות בין הישרים המקבילים ABAB ו-DCDC
  3. ∠A+∠C=180∘\angle A + \angle C = 180^\circ — הצבה
  4. ABCDABCD חסום במעגל — מרובע שבו סכום זוג זוויות נגדיות 180∘180^\circ חסום במעגל

Corrigé :

∠A=∠B\angle A = \angle B

בטרפז שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות

∠B+∠C=180∘\angle B + \angle C = 180^\circ

זוויות חד-צדדיות בין הישרים המקבילים ABAB ו-DCDC

∠A+∠C=180∘\angle A + \angle C = 180^\circ

הצבה

⇒\Rightarrow

ABCDABCD חסום במעגל — מרובע שבו סכום זוג זוויות נגדיות 180∘180^\circ חסום במעגל

המלכודת: להסתפק ב-∠B+∠C=180∘\angle B + \angle C = 180^\circ. אלה זוויות סמוכות; המשפט ההפוך דורש זוג נגדי, ולכן צריך את השוויון ∠A=∠B\angle A = \angle B.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe