Entraînement

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

עשרה תרגילים על כל הפרק: עלייה וירידה, נקודות קיצון, קריאה מגרף הנגזרת, קטע סגור, פרמטרים, מספר הפתרונות של f(x)=kf(x)=k ופונקציה קדומה. מתחילים בקל ומסיימים באתגר.

Exercices

Série A — Facile

Exercice 1

לפונקציה ff נתונה הנגזרת f′(x)=3x−6f'(x)=3x-6. באיזה תחום ff עולה?

  1. x>6x>6
  2. x>2x>2
  3. x<2x<2
  4. x>−2x>-2
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B x>2x>2

Corrigé :

3x−6>03x-6>0

עולה היכן שהנגזרת חיובית

x>2x>2

הפונקציה עולה ב-x>2x>2 ויורדת ב-x<2x<2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

גרף הנגזרת f′f' חוצה את ציר ה-xx ממינוס לפלוס בנקודה x=−1x=-1. לכן יש ל-ff נקודת מינימום ב-x=−1x=-1.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

x<−1: f′<0x<-1:\ f'<0

ff יורדת

x>−1: f′>0x>-1:\ f'>0

ff עולה

הטענה נכונה: ירידה ואחריה עלייה — מינימום.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

איזו מהפונקציות הבאות היא פונקציה קדומה של f(x)=4x3−2xf(x)=4x^3-2x?

  1. x4−2x2x^4-2x^2
  2. 4x4−2x24x^4-2x^2
  3. x4−x2+5x^4-x^2+5
  4. 12x2−212x^2-2
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C x4−x2+5x^4-x^2+5

Corrigé :

(x4−x2+5)′=4x3−2x(x^4-x^2+5)'=4x^3-2x

בודקים בגזירה

FF קדומה של ff אם F′=fF'=f. הקבוע 55 לא משנה שום שיפוע.

Vérifier la réponse sur elev

סדרה ב — בינוני

Exercice 4

נתונה f(x)=x3−12x+3f(x)=x^3-12x+3. מהו ערך המקסימום המקומי של ff (שיעור ה-yy)?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 19

Corrigé :

f′(x)=3x2−12=3(x−2)(x+2)\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2-12 \\ &= 3(x-2)(x+2)\end{aligned}
x=−2 x=2\begin{aligned}x &= -2 \\ \ x &= 2\end{aligned}

נקודות חשודות

x<−2: +−2<x<2: −x>2: +x<-2:\ +\quad -2<x<2:\ -\quad x>2:\ +

טבלת סימנים: מקסימום ב-x=−2x=-2

f(−2)=−8+24+3=19\begin{aligned}f(-2) &= -8+24+3 \\ &= 19\end{aligned}

המקסימום המקומי הוא (−2, 19)(-2,\,19). שאלו ערך — לכן 1919, לא −2-2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

נתונה f(x)=x3−3x2f(x)=x^3-3x^2. מהו הערך הגדול ביותר של ff בקטע −1≤x≤4-1 \le x \le 4?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 16

Corrigé :

f′(x)=3x2−6x=3x(x−2)\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2-6x \\ &= 3x(x-2)\end{aligned}

חשודות: x=0x=0, x=2x=2

f(0)=0f(2)=−4\begin{aligned}f(0) &= 0 \\ \quad f(2) &= -4\end{aligned}

הקיצונים בתוך הקטע

f(−1)=−4f(4)=64−48=16\begin{aligned}f(-1) &= -4 \\ \quad f(4) &= 64-48 \\ &= 16\end{aligned}

הקצוות

הגדול ביותר הוא 1616, בקצה x=4x=4 — הקצה מנצח את המקסימום המקומי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

נתון f′(x)=3x2−4xf'(x)=3x^2-4x, והגרף של ff עובר בנקודה (2, 5)(2,\,5). חשבו את f(3)f(3).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 14

Corrigé :

f(x)=x3−2x2+Cf(x)=x^3-2x^2+C

פונקציה קדומה — עם +C+C

8−8+C=5⇒C=5\begin{aligned}8-8+C &= 5 \Rightarrow C \\ &= 5\end{aligned}

מציבים את הנקודה

f(3)=27−18+5=14\begin{aligned}f(3) &= 27-18+5 \\ &= 14\end{aligned}

f(x)=x3−2x2+5f(x)=x^3-2x^2+5, ו-f(3)=14f(3)=14.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

מספר המבקרים בספארי ברמת גן, tt שעות אחרי הפתיחה, הוא n(t)=−t3+6t2+15t+100n(t)=-t^3+6t^2+15t+100, עבור 0≤t≤80 \le t \le 8. אחרי כמה שעות מספר המבקרים הוא הגדול ביותר?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5

Corrigé :

n′(t)=−3t2+12t+15=−3(t−5)(t+1)\begin{aligned}n'(t) &= -3t^2+12t+15 \\ &= -3(t-5)(t+1)\end{aligned}
t=5t=5

החשודה היחידה בקטע; n′n' עובר מ-++ ל-−-

n(0)=100n(5)=200n(8)=92\begin{aligned}n(0) &= 100 \\ \quad n(5) &= 200 \\ \quad n(8) &= 92\end{aligned}

משווים לקצוות

אחרי 55 שעות — 200200 מבקרים.

Vérifier la réponse sur elev

סדרה ג — מאתגר

Exercice 8

לפונקציה f(x)=x3+ax2+9xf(x)=x^3+ax^2+9x יש נקודת קיצון ב-x=1x=1. מצאו את aa, ורשמו את שיעור ה-xx של נקודת הקיצון השנייה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

f′(x)=3x2+2ax+9f'(x)=3x^2+2ax+9
f′(1)=12+2a=0⇒a=−6\begin{aligned}f'(1) &= 12+2a \\ &= 0 \Rightarrow a \\ &= -6\end{aligned}

קיצון — f′=0f'=0

f′(x)=3x2−12x+9=3(x−1)(x−3)\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2-12x+9 \\ &= 3(x-1)(x-3)\end{aligned}

הנגזרת מחליפה סימן בשני השורשים: נקודת הקיצון השנייה ב-x=3x=3.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

נתונה f(x)=x3−12xf(x)=x^3-12x. לכמה ערכים שלמים של kk יש למשוואה f(x)=kf(x)=k שלושה פתרונות?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 31

Corrigé :

f′(x)=3x2−12⇒x=±2\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2-12 \Rightarrow x \\ &= \pm2\end{aligned}
f(−2)=16f(2)=−16\begin{aligned}f(-2) &= 16 \\ \quad f(2) &= -16\end{aligned}

מקסימום ומינימום

−16<k<16-16<k<16

ישר אופקי בין שני הקיצונים חותך שלוש פעמים

k=−15 … 15\begin{aligned}k &= -15 \\ \ \dots \\ \ 15\end{aligned}

3131 ערכים שלמים. ב-k=±16k=\pm16 יש רק שני פתרונות — הישר משיק בקיצון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

לתוך מאגר מים בגליל זורמים מים. קצב השינוי של כמות המים (באלפי מ״ק לשעה) הוא V′(t)=6t−t2V'(t)=6t-t^2, עבור 0≤t≤80 \le t \le 8. בתחילה, V(0)=20V(0)=20. מהי הכמות הגדולה ביותר של מים במאגר (באלפי מ״ק) בקטע הזה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 56

Corrigé :

V(t)=3t2−t33+CC=20\begin{aligned}V(t) &= 3t^2-\frac{t^3}{3}+C \\ \quad C &= 20\end{aligned}

פונקציה קדומה, ו-V(0)=20V(0)=20

V′(t)=t(6−t)=0⇒t=6\begin{aligned}V'(t) &= t(6-t) \\ &= 0 \Rightarrow t \\ &= 6\end{aligned}

V′V' עובר מ-++ ל-−-

V(6)=108−72+20=56\begin{aligned}V(6) &= 108-72+20 \\ &= 56\end{aligned}
V(8)=192−5123+20≈41.3V(8)=192-\frac{512}{3}+20 \approx 41.3

הקצה — קטן יותר

הכמות הגדולה ביותר היא 5656 אלפי מ״ק, אחרי 66 שעות.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe