Série 5 — vers le bagrout

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

עשר שאלות בנוסח הבגרות. חלקן בנויות כזוג: אותה פונקציה בשני סעיפים. כל שאלה מבקשת את הסעיף האחרון, אבל אי אפשר להגיע אליו בלי הקודמים.

בבגרות כותבים נימוק לכל מסקנה: «מקסימום, כי הנגזרת עוברת מ-++ ל-−-». כתבו אותו גם כאן, בטיוטה — הוא מה שתופס את הטעות לפני שהיא עולה נקודות.

Exercices

Exercice 1

נתונה f(x)=x3−6x2+9x−2f(x)=x^3-6x^2+9x-2. א. מצאו את נקודות הקיצון של ff. ב. מהו הערך הקטן ביותר של ff בקטע −1≤x≤4-1 \le x \le 4? (הקלידו את התשובה לסעיף ב.)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -18

Corrigé :

f′(x)=3x2−12x+9=3(x−1)(x−3)\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2-12x+9 \\ &= 3(x-1)(x-3)\end{aligned}

גוזרים

max⁡(1, 2),min⁡(3, −2)\max(1,\,2) ,\quad \min(3,\,-2)

סעיף א

f(−1)=−1−6−9−2=−18  f(4)=2\begin{aligned}f(-1) &= -1-6-9-2 \\ &= -18 \\ \ \ f(4) &= 2\end{aligned}

הקצוות

min⁡=f(−1)=−18\begin{aligned}\min &= f(-1) \\ &= -18\end{aligned}

סעיף ב

הערך הקטן ביותר בקטע הוא −18-18, בקצה x=−1x=-1 — לא המינימום המקומי −2-2. בלי הצבת הקצוות מפספסים אותו.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתונה f(x)=x3−6x2+9x−2f(x)=x^3-6x^2+9x-2 (אותה פונקציה). עבור אילו ערכי kk למשוואה f(x)=kf(x)=k יש שלושה פתרונות?

  1. −2≤k≤2-2 \le k \le 2
  2. 1<k<31<k<3
  3. −2<k<2-2<k<2
  4. −18<k<2-18<k<2
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C −2<k<2-2<k<2

Corrigé :

max⁡=2min⁡=−2\begin{aligned}\max &= 2 \\ \quad \min &= -2\end{aligned}

ערכי הקיצון מסעיף א

−2<k<2-2<k<2

ממש ביניהם

התשובה: −2<k<2-2<k<2. «−18<k<2-18<k<2» ערבב את הערך בקצה הקטע, אבל המשוואה נשאלת על כל xx. «1<k<31<k<3» לקח את מקומות הקיצון במקום ערכיהם.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

גרף הפונקציה f(x)=x3+ax2+bx+cf(x)=x^3+ax^2+bx+c חותך את ציר yy בנקודה (0, 1)(0,\,1), ויש לו נקודת קיצון ב-(2, −3)(2,\,-3). מצאו את aa.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -3

Corrigé :

f(0)=c=1\begin{aligned}f(0) &= c \\ &= 1\end{aligned}

החיתוך עם ציר yy

f′(2)=12+4a+b=0\begin{aligned}f'(2) &= 12+4a+b \\ &= 0\end{aligned}

הקיצון

f(2)=8+4a+2b+1=−3⇒2a+b=−6\begin{aligned}f(2) &= 8+4a+2b+1 \\ &= -3 \Rightarrow 2a+b \\ &= -6\end{aligned}

הנקודה

(4a+b)−(2a+b)=−12+6⇒a=−3 b=0\begin{aligned}(4a+b)-(2a+b) &= -12+6 \Rightarrow a \\ &= -3 \\ \ b &= 0\end{aligned}

מחסרים

שלושה נעלמים — שלוש משוואות. והבדיקה: f(x)=x3−3x2+1f(x)=x^3-3x^2+1, f′(x)=3x(x−2)f'(x)=3x(x-2), ב-x=2x=2 מינימום ✓.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

גרף הנגזרת f′
-2-101234-5-4-3-2-112345xy

בציור גרף הנגזרת f′f': פרבולה פתוחה כלפי מטה, החותכת את ציר xx ב-−1-1 וב-33, וקדקודה ב-x=1x=1. איזו טענה על ff נכונה?

  1. ל-ff יש מינימום ב-x=−1x=-1 ומקסימום ב-x=3x=3
  2. ל-ff יש מקסימום ב-x=1x=1
  3. f(3)<f(0)f(3)<f(0)
  4. ff עולה בתחום x>3x>3
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A ל-ff יש מינימום ב-x=−1x=-1 ומקסימום ב-x=3x=3

Corrigé :

x<−1:−,  −1<x<3:+,  x>3:−x<-1: -,\ \ -1<x<3: +,\ \ x>3: -

הסימנים מהגרף

min⁡:x=−1max⁡:x=3\begin{aligned}\min: x &= -1 \\ \quad \max: x &= 3\end{aligned}

המעברים

0<3, f↗⇒f(0)<f(3)0<3,\ f \nearrow \Rightarrow f(0)<f(3)

ולכן f(3)<f(0)f(3)<f(0) שגוי

התשובה: מינימום ב-x=−1x=-1 ומקסימום ב-x=3x=3. הקדקוד ב-x=1x=1 הוא הנקודה שבה ff עולה הכי מהר — לא קיצון שלה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

נתון f′(x)=6x2−6f'(x)=6x^2-6. ערך המינימום המקומי של ff הוא −1-1. מהו ערך המקסימום המקומי של ff?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 7

Corrigé :

f(x)=2x3−6x+Cf(x)=2x^3-6x+C

פונקציה קדומה

x=1: −→+ (min⁡)x=−1: +→− (max⁡)\begin{aligned}x &= 1: \ - \to + \ (\min) \\ \quad x &= -1: \ + \to - \ (\max)\end{aligned}

מהנגזרת

f(1)=−4+C=−1⇒C=3\begin{aligned}f(1) &= -4+C \\ &= -1 \Rightarrow C \\ &= 3\end{aligned}

המינימום נותן את CC

f(−1)=−2+6+3=7\begin{aligned}f(-1) &= -2+6+3 \\ &= 7\end{aligned}

המקסימום

ערך המינימום הוא נתון על ff, ולכן מציבים אותו ב-ff עם CC — לא בנגזרת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

נתונה f(x)=x3−3px2+3p2xf(x)=x^3-3px^2+3p^2x, כאשר pp פרמטר. הוכיחו כי לכל pp אין ל-ff נקודות קיצון.

  • f(x)=x3−3px2+3p2xf(x)=x^3-3px^2+3p^2x

לכל pp אין ל-ff נקודות קיצון

Voir la réponse et le corrigé
  1. f′(x)=3x2−6px+3p2f'(x)=3x^2-6px+3p^2 — גזירה איבר-איבר; pp קבוע
  2. f′(x)=3(x−p)2f'(x)=3(x-p)^2 — גורם משותף 33 וריבוע של הפרש
  3. f′(x)≥0f'(x) \ge 0 לכל xx, ומתאפסת רק ב-x=px=p — ריבוע אינו שלילי
  4. הנגזרת אינה מחליפה סימן באף נקודה — סימן אחד משני צדי x=px=p
  5. לכל pp אין ל-ff נקודות קיצון — קיצון מחייב החלפת סימן של הנגזרת
Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

נתונה f(x)=x3+axf(x)=x^3+ax. המשיק לגרף ff בנקודה שבה x=1x=1 מקביל לציר ה-xx. א. מצאו את aa. ב. מהו ערך המקסימום המקומי של ff? (הקלידו את התשובה לסעיף ב.)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

f′(1)=3+a=0⇒a=−3\begin{aligned}f'(1) &= 3+a \\ &= 0 \Rightarrow a \\ &= -3\end{aligned}

מקביל לציר xx — שיפוע 00

f′(x)=3(x−1)(x+1)f'(x)=3(x-1)(x+1)

החשודות ±1\pm1

x=−1: +→−x=-1: \ + \to -

המקסימום

f(−1)=−1+3=2\begin{aligned}f(-1) &= -1+3 \\ &= 2\end{aligned}

La valeur

המשיק ב-x=1x=1 אופקי, אבל שם יש מינימום (f(1)=−2f(1)=-2). המקסימום בנקודה האחרת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

הוכיחו או הפריכו: לכל ערך של aa, לפונקציה f(x)=x4+ax2f(x)=x^4+ax^2 יש נקודת קיצון ב-x=0x=0.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

f′(x)=4x3+2ax=2x(2x2+a)\begin{aligned}f'(x) &= 4x^3+2ax \\ &= 2x(2x^2+a)\end{aligned}

גוזרים

a>0: סימן f′=סימן x ⇒min⁡a>0: \ \text{סימן } f' = \text{סימן } x \ \Rightarrow \min

ליד 00 הסוגריים חיוביים

a<0: 2x2+a<0 ⇒max⁡a<0: \ 2x^2+a<0 \ \Rightarrow \max

ליד 00 הסוגריים שליליים: הסימן הפוך לסימן של xx

a=0: f=x4⇒min⁡\begin{aligned}a &= 0: \ f \\ &= x^4 \Rightarrow \min\end{aligned}

גם כאן החלפת סימן

נכון. בכל המקרים הנגזרת מחליפה סימן ב-00 — רק סוג הקיצון תלוי ב-aa. מי שבדק רק a>0a>0 הוכיח חצי מהטענה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

נתונה f(x)=x3−3x2+cf(x)=x^3-3x^2+c. בקטע 1≤x≤31 \le x \le 3 הערך הקטן ביותר של ff הוא −1-1. מהו הערך הגדול ביותר של ff בקטע זה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

f′(x)=3x(x−2)f'(x)=3x(x-2)

בתוך הקטע רק x=2x=2

f(2)=−4+c=−1⇒c=3\begin{aligned}f(2) &= -4+c \\ &= -1 \Rightarrow c \\ &= 3\end{aligned}

הקטן ביותר — במינימום

f(1)=1−3+3=1  f(3)=27−27+3=3\begin{aligned}f(1) &= 1-3+3 \\ &= 1 \\ \ \ f(3) &= 27-27+3 \\ &= 3\end{aligned}

הקצוות

max⁡=3\max=3

בקצה x=3x=3

צריך לוודא שהקטן ביותר באמת ב-x=2x=2: f(1)=c−2f(1)=c-2 ו-f(3)=cf(3)=c גדולים מ-c−4c-4 ✓. ואז c=3c=3.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

הפונקציה FF היא פונקציה קדומה של f(x)=x2−1f(x)=x^2-1, והגרף שלה עובר בראשית. כמה נקודות חיתוך עם ציר ה-xx יש לגרף FF, והיכן?

  1. שתיים: x=±1x=\pm1
  2. שלוש: x=0x=0 ו-x=±1x=\pm1
  3. שלוש: x=0x=0 ו-x=±3x=\pm\sqrt{3}
  4. אחת: x=0x=0
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C שלוש: x=0x=0 ו-x=±3x=\pm\sqrt{3}

Corrigé :

F(x)=x33−x+C  F(0)=0⇒C=0\begin{aligned}F(x) &= \frac{x^3}{3}-x+C \\ \ \ F(0) &= 0 \Rightarrow C \\ &= 0\end{aligned}

פונקציה קדומה

x3(x2−3)=0\frac{x}{3}(x^2-3)=0

מפרקים

x=0 x=±3\begin{aligned}x &= 0 \\ \ x &= \pm\sqrt{3}\end{aligned}

השורשים

התשובה: שלוש, x=0x=0 ו-x=±3x=\pm\sqrt{3}. x=±1x=\pm1 הם השורשים של ff, כלומר נקודות הקיצון של FF — לא נקודות החיתוך שלה.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe