Série 4 — avancé

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

עשר שאלות שמשלבות שני רעיונות של הפרק בשאלה אחת: פרמטר עם קטע סגור, פונקציה קדומה עם משיק, גרף נגזרת עם שורש כפול, ומשוואה f(x)=kf(x)=k לפולינום ממעלה רביעית.

כתבו בטיוטה מה כל נתון אומר לפני שמחשבים: «קיצון» — f′=0f'=0; «עובר בנקודה» — f(x0)=y0f(x_0)=y_0; «משיק אופקי» — גם וגם. שם נקבעות המשוואות.

Exercices

Exercice 1

נתונה f(x)=x3+ax2+bf(x)=x^3+ax^2+b. ל-ff יש נקודת מינימום ב-(2, −1)(2,\,-1). מצאו את bb.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

f′(2)=12+4a=0⇒a=−3\begin{aligned}f'(2) &= 12+4a \\ &= 0 \Rightarrow a \\ &= -3\end{aligned}

הנגזרת מתאפסת

f(2)=8−12+b=−1⇒b=3\begin{aligned}f(2) &= 8-12+b \\ &= -1 \Rightarrow b \\ &= 3\end{aligned}

הנקודה על הגרף

f′(x)=3x(x−2): −→+f'(x)=3x(x-2):\ - \to +

בדיקה: אכן מינימום

מהנגזרת לבדה אי אפשר למצוא את bb — הוא נעלם בגזירה. לכן הגובה −1-1 חיוני.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

גרף הנגזרת f′
-2-10123-16-14-12-10-8-6-4-2246810xy

בציור גרף הנגזרת f′(x)=(x+1)2(2−x)f'(x)=(x+1)^2(2-x). הגרף נוגע בציר xx ב-x=−1x=-1 וחוצה אותו ב-x=2x=2. איזה תיאור של ff נכון?

  1. מינימום ב-x=−1x=-1 ומקסימום ב-x=2x=2
  2. יש ל-ff מקסימום יחיד, ב-x=2x=2
  3. אין ל-ff נקודות קיצון
  4. מקסימום ב-x=−1x=-1 ומינימום ב-x=2x=2
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B יש ל-ff מקסימום יחיד, ב-x=2x=2

Corrigé :

x<−1: f′>0,−1<x<2: f′>0x<-1: \ f'>0 ,\quad -1<x<2: \ f'>0

נגיעה ב-−1-1 — אין החלפת סימן

x>2: f′<0x>2: \ f'<0

ב-22 מ-++ ל-−-: מקסימום

התשובה: מקסימום יחיד, ב-x=2x=2. ב-x=−1x=-1 הנגזרת מתאפסת בלי להחליף סימן — משיק אופקי בלבד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתונה f(x)=x4−8x2f(x)=x^4-8x^2. כמה פתרונות יש למשוואה f(x)=−10f(x)=-10?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

f′(x)=4x(x−2)(x+2)f'(x)=4x(x-2)(x+2)

שלוש חשודות

min⁡=f(±2)=−16max⁡=f(0)=0\begin{aligned}\min &= f(\pm2) \\ &= -16 \\ \quad \max &= f(0) \\ &= 0\end{aligned}

שני שפלים ופסגה אחת

−16<−10<0-16<-10<0

הישר חוצה כל אחד משני ה«עמקים» פעמיים

ארבעה. בפולינום ממעלה רביעית עם שני מינימומים, ישר אופקי בין המינימום למקסימום חותך ארבע פעמים — לא שלוש.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

נתון f′(x)=6x−6f'(x)=6x-6. הישר y=−3y=-3 משיק לגרף ff. חשבו את f(3)f(3).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 9

Corrigé :

f′(x)=0⇒x=1\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 1\end{aligned}

משיק אופקי — בנקודה שבה הנגזרת אפס

f(1)=−3f(1)=-3

נקודת ההשקה על הישר y=−3y=-3

f(x)=3x2−6x+C  f(1)=−3+C=−3⇒C=0\begin{aligned}f(x) &= 3x^2-6x+C \\ \ \ f(1) &= -3+C \\ &= -3 \Rightarrow C \\ &= 0\end{aligned}

פונקציה קדומה

f(3)=27−18=9\begin{aligned}f(3) &= 27-18 \\ &= 9\end{aligned}

On remplace (מציבים)

המשפט «y=−3y=-3 משיק» נותן גם את מקום ההשקה (שיפוע 00) וגם את הגובה. מי שהציב f(0)=−3f(0)=-3 ניחש את המקום.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

נתונה f(x)=ax3−3xf(x)=ax^3-3x, כאשר a≠0a \ne 0. עבור אילו ערכי aa אין ל-ff נקודות קיצון?

  1. a≥0a \ge 0
  2. a>0a>0
  3. אין ערך כזה
  4. a<0a<0
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D a<0a<0

Corrigé :

f′(x)=3ax2−3f'(x)=3ax^2-3

גוזרים

f′=0  ⟺  x2=1a\begin{aligned}f' &= 0 \iff x^2 \\ &= \frac{1}{a}\end{aligned}

פתרון רק כש-a>0a>0

a<0⇒f′(x)<0 לכל xa<0 \Rightarrow f'(x)<0 \ \text{לכל} \ x

יורדת תמיד

התשובה: a<0a<0. אז 3ax2≤03ax^2 \le 0 ולכן f′(x)≤−3f'(x) \le -3: הפונקציה יורדת לכל xx. «a≥0a \ge 0» כולל את a=0a=0, שהוחרג בשאלה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

ייתכן שגרף הנגזרת f′f' הוא ישר עולה, ושל-ff יש נקודת מקסימום.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

f′(x)=mx+n m>0\begin{aligned}f'(x) &= mx+n \\ \ m>0\end{aligned}

ישר עולה חוצה את הציר פעם אחת

−→+- \to +

משמאל לחיתוך שלילי, מימינו חיובי — מינימום

לא ייתכן. ישר עולה עובר ממינוס לפלוס, ולכן ל-ff יש מינימום בלבד. ff היא פרבולה פתוחה כלפי מעלה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

נתונה f(x)=x3−3xf(x)=x^3-3x. בקטע 0≤x≤a0 \le x \le a, כאשר a>1a>1, הערך הגדול ביותר של ff הוא 1818. מצאו את aa.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

f(0)=0  f(1)=−2\begin{aligned}f(0) &= 0 \\ \ \ f(1) &= -2\end{aligned}

מועמדים שלא יכולים לתת 1818

f(a)=a3−3a=18\begin{aligned}f(a) &= a^3-3a \\ &= 18\end{aligned}

הערך הגדול ביותר — בקצה aa

a3−3a−18=(a−3)(a2+3a+6)=0\begin{aligned}a^3-3a-18 &= (a-3)(a^2+3a+6) \\ &= 0\end{aligned}

מפרקים

a=3a=3

לגורם הריבועי אין שורשים

ב-a>1a>1 הפונקציה עולה מ-x=1x=1 והלאה, ולכן הערך הגדול ביותר בקטע הוא בקצה הימני. ניחוש a=3a=3 מותר רק אם מאמתים אותו.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

נתונה f(x)=x3−3x2f(x)=x^3-3x^2, עם מקסימום (0, 0)(0,\,0) ומינימום (2, −4)(2,\,-4). מיינו את המשוואות.

  • פתרון אחד
  • יותר מפתרון אחד
  • f(x)=−1f(x)=-1
  • f(x)=−2f(x)=-2
  • f(x)=−4f(x)=-4
  • f(x)=−5f(x)=-5
  • f(x)=0f(x)=0
  • f(x)=1f(x)=1
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : f(x)=1f(x)=1 — פתרון אחד · f(x)=−5f(x)=-5 — פתרון אחד · f(x)=−2f(x)=-2 — יותר מפתרון אחד · f(x)=0f(x)=0 — יותר מפתרון אחד · f(x)=−4f(x)=-4 — יותר מפתרון אחד · f(x)=−1f(x)=-1 — יותר מפתרון אחד

Corrigé :

k>0 או k<−4: 1k>0 \ \text{או} \ k<-4: \ 1

מעל המקסימום או מתחת למינימום

k=0 −4: 2−4<k<0: 3\begin{aligned}k &= 0 \\ \ -4: \ 2 \qquad -4<k<0: \ 3\end{aligned}

בגובה קיצון או ביניהם

המלכודת היא k=0k=0 ו-k=−4k=-4: שם שני פתרונות, לא אחד. הישר נוגע בקיצון וחוצה את הגרף במקום נוסף.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

לפונקציה f(x)=x3+x2+axf(x)=x^3+x^2+ax יש נקודת קיצון ב-x=1x=1. מהו ערך ff בנקודה זו?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -3

Corrigé :

f′(x)=3x2+2x+a  f′(1)=5+a=0\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2+2x+a \\ \ \ f'(1) &= 5+a \\ &= 0\end{aligned}

הנגזרת מתאפסת

a=−5a=-5

On résout

f(1)=1+1−5=−3\begin{aligned}f(1) &= 1+1-5 \\ &= -3\end{aligned}

מציבים ב-ff עם a=−5a=-5

קודם aa, אחר כך הגובה. מי שהציב x=1x=1 ב-ff לפני שמצא את aa נשאר עם 2+a2+a ביד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

תלמיד חיפש את ff כש-f′(x)=3x2−2xf'(x)=3x^2-2x ו-f(2)=4f(2)=4. שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

f(x)=x3−2x2+Cf(x) = x^3 - 2x^2 + C
f(2)=8−4+Cf(2) = 8 - 4 + C
4+C=44 + C = 4
C=0C = 0
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : f(x)=x3−2x2+Cf(x) = x^3 - 2x^2 + C → f(x)=x3−x2+Cf(x) = x^3 - x^2 + C

Corrigé :

−2x→−2x22=−x2-2x \to -\frac{2x^2}{2} = -x^2

מחלקים בחזקה החדשה

f(x)=x3−x2f(x)=x^3-x^2

התוצאה

בשורה הראשונה −2x-2x הפך ל-−2x2-2x^2 בלי חילוק ב-22. השורות שאחריה נכתבו כבר עם −x2-x^2 הנכון — לכן רק היא שגויה.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe