Série 3 — difficile

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

עשר שאלות שבהן הדרך הקצרה מטעה: שורש כפול של הנגזרת, קצה של קטע שמנצח את הקיצון, פרמטר שנמצא דרך ערך הקיצון, והוכחה.

כאן כדאי לעצור לפני כל תשובה ולשאול: האם בדקתי החלפת סימן? האם בדקתי את הקצוות? שתי השאלות האלה שוות את רוב הנקודות.

Exercices

Exercice 1

כמה נקודות קיצון יש לפונקציה f(x)=3x4−4x3f(x)=3x^4-4x^3?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1

Corrigé :

f′(x)=12x3−12x2=12x2(x−1)\begin{aligned}f'(x) &= 12x^3-12x^2 \\ &= 12x^2(x-1)\end{aligned}

גוזרים ומוציאים גורם משותף

f′(−1)=−24<0 f′(0.5)=−1.5<0\begin{aligned}f'(-1) &= -24<0 \\ \ f'(0.5) &= -1.5<0\end{aligned}

סביב x=0x=0 אין החלפת סימן

f′(0.5)<0 f′(2)=48>0\begin{aligned}f'(0.5)<0 \\ \ f'(2) &= 48>0\end{aligned}

סביב x=1x=1: מינימום

יש אחת — מינימום ב-x=1x=1. הגורם x2x^2 מתאפס ב-00 בלי להחליף סימן, ולכן x=0x=0 אינו קיצון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

גרף הפונקציה f
-101-112xy

בציור גרף הפונקציה ff. יש לה מינימום ב-x=−1x=-1 וב-x=1x=1 ומקסימום ב-x=0x=0. באיזה תחום f′(x)>0f'(x)>0?

  1. x>0x>0
  2. x<−1x<-1 או 0<x<10<x<1
  3. x<−1.4x<-1.4 או x>1.4x>1.4
  4. −1<x<0-1<x<0 או x>1x>1
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D −1<x<0-1<x<0 או x>1x>1

Corrigé :

f′>0  ⟺  f עולהf'>0 \iff f \ \text{עולה}

מחפשים בגרף את תחומי העלייה

−1<x<0,x>1-1<x<0 ,\quad x>1

מהשפל לפסגה, ומהשפל הימני והלאה

התשובה: −1<x<0-1<x<0 או x>1x>1. «x<−1.4x<-1.4 או x>1.4x>1.4» הם בערך התחומים שבהם ff חיובית — סימן הפונקציה, לא סימן הנגזרת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתונה f(x)=x3−3ax2+4f(x)=x^3-3ax^2+4, כאשר a>0a>0. ערך המינימום המקומי של ff הוא 00. מצאו את aa.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1

Corrigé :

f′(x)=3x2−6ax=3x(x−2a)\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2-6ax \\ &= 3x(x-2a)\end{aligned}

גוזרים ומפרקים

a>0:  min⁡ ב-x=2aa>0:\ \ \min \ \text{ב-} x=2a

מ-−- ל-++ סביב 2a2a

f(2a)=8a3−12a3+4=4−4a3\begin{aligned}f(2a) &= 8a^3-12a^3+4 \\ &= 4-4a^3\end{aligned}

On remplace (מציבים)

4−4a3=0⇒a=1\begin{aligned}4-4a^3 &= 0 \Rightarrow a \\ &= 1\end{aligned}

On résout

המינימום ב-x=2ax=2a, לא ב-x=ax=a. ב-x=0x=0 יש מקסימום, וערכו 44 — הוא לא תלוי ב-aa ולא יכול להתאפס.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

נתון f′(x)=3x2−12f'(x)=3x^2-12. ערך המקסימום המקומי של ff הוא 2020. מהו ערך המינימום המקומי של ff?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -12

Corrigé :

f(x)=x3−12x+Cf(x)=x^3-12x+C

פונקציה קדומה

x=−2: +→−x=-2: \ + \to -

המקסימום ב-x=−2x=-2

f(−2)=16+C=20⇒C=4\begin{aligned}f(-2) &= 16+C \\ &= 20 \Rightarrow C \\ &= 4\end{aligned}

ערך המקסימום נותן את CC

f(2)=8−24+4=−12\begin{aligned}f(2) &= 8-24+4 \\ &= -12\end{aligned}

המינימום

הקיצונים במקומם עוד לפני ש-CC ידוע. CC מזיז את שניהם באותה מידה: ההפרש ביניהם תמיד 3232.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

אם ב-x0x_0 יש לפונקציה ff נקודת מקסימום מקומי, אז f(x0)f(x_0) הוא הערך הגדול ביותר של ff בכל קטע סגור שמכיל את x0x_0.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

f(x)=x3−3x  [−2, 3]\begin{aligned}f(x) &= x^3-3x \\ \ \ [-2,\,3]\end{aligned}

דוגמה נגדית

f(−1)=2f(3)=18\begin{aligned}f(-1) &= 2 \\ \quad f(3) &= 18\end{aligned}

בקצה הערך גדול יותר

לא נכון. מקסימום מקומי גדול רק מהערכים הקרובים אליו. בקטע סגור צריך להשוות גם לקצוות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

נתונה f(x)=x3−6x2+9xf(x)=x^3-6x^2+9x. מהו הערך הגדול ביותר של ff בקטע 0≤x≤50 \le x \le 5?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 20

Corrigé :

f′(x)=3x2−12x+9=3(x−1)(x−3)\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2-12x+9 \\ &= 3(x-1)(x-3)\end{aligned}

החשודות בתוך הקטע

f(0)=0 f(1)=4 f(3)=0 f(5)=20\begin{aligned}f(0) &= 0 \\ \ f(1) &= 4 \\ \ f(3) &= 0 \\ \ f(5) &= 20\end{aligned}

ארבעה מועמדים

max⁡=f(5)=20\begin{aligned}\max &= f(5) \\ &= 20\end{aligned}

בקצה

המקסימום המקומי f(1)=4f(1)=4 קטן בהרבה מהערך בקצה. f(5)=125−150+45=20f(5)=125-150+45=20.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

נתונה f(x)=x3−3x2+kf(x)=x^3-3x^2+k. עבור אילו ערכי kk יש ל-ff בדיוק שני שורשים?

  1. k=0k=0 או k=4k=4
  2. k<0k<0 או k>4k>4
  3. k=4k=4 בלבד
  4. 0<k<40<k<4
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A k=0k=0 או k=4k=4

Corrigé :

max⁡=f(0)=kmin⁡=f(2)=k−4\begin{aligned}\max &= f(0) \\ &= k \\ \quad \min &= f(2) \\ &= k-4\end{aligned}

הקיצונים

k=0 או k−4=0\begin{aligned}k &= 0 \ \text{או} \ k-4 \\ &= 0\end{aligned}

שני שורשים: אחד הקיצונים נוגע בציר

התשובה: k=0k=0 או k=4k=4. «0<k<40<k<4» נותן שלושה שורשים; «k<0k<0 או k>4k>4» — שורש אחד. ומי שבחר «k=4k=4 בלבד» שכח את המקסימום.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

סדרו את שלבי מציאת הערך הגדול ביותר והקטן ביותר של פולינום בקטע סגור.

  • בודקים אילו נקודות חשודות נמצאות בתוך הקטע
  • גוזרים ומשווים את הנגזרת לאפס
  • מציבים ב-ff את החשודות שבתוך הקטע
  • מציבים ב-ff את שני קצוות הקטע
  • משווים את כל הערכים שהתקבלו
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : גוזרים ומשווים את הנגזרת לאפס · בודקים אילו נקודות חשודות נמצאות בתוך הקטע · מציבים ב-ff את החשודות שבתוך הקטע · מציבים ב-ff את שני קצוות הקטע · משווים את כל הערכים שהתקבלו

Corrigé :

f′=0→[a, b]→f(xi)→f(a) f(b)→השוואה\begin{aligned}f' &= 0 \to [a,\,b] \to f(x_i) \to f(a) \\ \ f(b) \to \text{השוואה}\end{aligned}

חמשת השלבים

בדיקת השייכות לקטע באה לפני ההצבה — חשודה מחוץ לקטע עלולה לתת ערך «מנצח» שאינו חלק מהשאלה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

גרף הנגזרת f′
-101234-4-3-2-1123456xy

בציור גרף הנגזרת f′f' — ישר העובר בנקודות (0, −2)(0,\,-2) ו-(1, 0)(1,\,0). ידוע ש-f(1)=−3f(1)=-3. חשבו את f(3)f(3).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1

Corrigé :

f′(x)=2x−2f'(x)=2x-2

שיפוע 22, חותך את ציר yy ב-−2-2

f(x)=x2−2x+Cf(x)=x^2-2x+C

פונקציה קדומה

f(1)=−1+C=−3⇒C=−2\begin{aligned}f(1) &= -1+C \\ &= -3 \Rightarrow C \\ &= -2\end{aligned}

הנקודה

f(3)=9−6−2=1\begin{aligned}f(3) &= 9-6-2 \\ &= 1\end{aligned}

On remplace (מציבים)

קודם כותבים את משוואת הישר של הנגזרת, ורק אז פונקציה קדומה. מי שקרא מהגרף «f(3)=4f(3)=4» קרא את f′(3)f'(3).

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

נתונה f(x)=−x3−3x+2f(x)=-x^3-3x+2. הוכיחו כי ff יורדת לכל xx.

  • f(x)=−x3−3x+2f(x)=-x^3-3x+2

ff יורדת לכל xx

Voir la réponse et le corrigé
  1. f′(x)=−3x2−3f'(x)=-3x^2-3 — גזירה איבר-איבר
  2. −3x2≤0-3x^2 \le 0 לכל xx — ריבוע אינו שלילי, והכפל ב-−3-3 הופך את הסימן
  3. f′(x)≤−3<0f'(x) \le -3 < 0 לכל xx — מחסרים 33 משני האגפים
  4. ff יורדת לכל xx — נגזרת שלילית בכל תחום — הפונקציה יורדת בו
Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe