Série 2 — moyen

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

עשר שאלות שדורשות שלושה-ארבעה צעדים: טבלת סימנים מלאה, הצבה של נקודה בפונקציה קדומה, פרמטר אחד, ומספר הפתרונות של f(x)=kf(x)=k.

בכל שאלה של קיצון — טבלה, גם כשנראה שאין צורך. ובכל פונקציה קדומה — +C+C בשורה הראשונה, לפני שממשיכים.

Exercices

Exercice 1

נתונה f(x)=x3−12x+4f(x)=x^3-12x+4. מהו ערך המינימום המקומי של ff?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -12

Corrigé :

f′(x)=3x2−12=3(x−2)(x+2)\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2-12 \\ &= 3(x-2)(x+2)\end{aligned}

גוזרים ומפרקים

f′(0)=−12<0 f′(3)=15>0\begin{aligned}f'(0) &= -12<0 \\ \ f'(3) &= 15>0\end{aligned}

סביב x=2x=2: מ-−- ל-++

f(2)=8−24+4=−12\begin{aligned}f(2) &= 8-24+4 \\ &= -12\end{aligned}

מציבים ב-ff

המינימום ב-x=2x=2, וערכו −12-12. ב-x=−2x=-2 יש מקסימום (f(−2)=20f(-2)=20) — אל תבחרו לפי «השמאלית קטנה».

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתונה f(x)=x4−2x2f(x)=x^4-2x^2. באיזה תחום ff יורדת?

  1. x<−1x<-1 או 0<x<10<x<1
  2. x<0x<0
  3. −1<x<1-1<x<1
  4. −1<x<0-1<x<0 או x>1x>1
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A x<−1x<-1 או 0<x<10<x<1

Corrigé :

f′(x)=4x3−4x=4x(x−1)(x+1)\begin{aligned}f'(x) &= 4x^3-4x \\ &= 4x(x-1)(x+1)\end{aligned}

גוזרים ומפרקים

f′(−2)<0, f′(−0.5)>0, f′(0.5)<0, f′(2)>0f'(-2)<0,\ f'(-0.5)>0,\ f'(0.5)<0,\ f'(2)>0

מציבים מכל תחום

f′<0: x<−1 או 0<x<1f'<0: \ x<-1 \ \text{או} \ 0<x<1

תחומי הירידה

התשובה: x<−1x<-1 או 0<x<10<x<1. «−1<x<0-1<x<0 או x>1x>1» הם תחומי העלייה. «−1<x<1-1<x<1» מתעלם מהשורש x=0x=0 של הנגזרת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

גרף הנגזרת f′
-2-1012-5-4-3-2-112345xy

בציור גרף הנגזרת f′f', החותך את ציר xx ב-−2-2, ב-00 וב-22. כמה נקודות מינימום יש ל-ff?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

x<−2:−,  −2<x<0:+,  0<x<2:−,  x>2:+x<-2: -,\ \ -2<x<0: +,\ \ 0<x<2: -,\ \ x>2: +

קוראים סימנים מהגרף

x=−2:−→+x=2:−→+\begin{aligned}x &= -2: - \to + \\ \quad x &= 2: - \to +\end{aligned}

שני מעברים ממינוס לפלוס

x=0:+→−x=0: + \to -

שם מקסימום

שתי נקודות מינימום, ב-x=±2x=\pm2. מי שספר 33 ספר את כל נקודות הקיצון — אבל ב-x=0x=0 יש מקסימום.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

מיינו: אילו מהפונקציות הן פונקציה קדומה של f(x)=3x2+2f(x)=3x^2+2?

  • פונקציה קדומה
  • לא פונקציה קדומה
  • 3x3+2x3x^3+2x
  • 6x6x
  • x3+2x^3+2
  • x3+2x−5x^3+2x-5
  • x3+2x+7x^3+2x+7
  • x3+2xx^3+2x
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : x3+2xx^3+2x — פונקציה קדומה · x3+2x−5x^3+2x-5 — פונקציה קדומה · x3+2x+7x^3+2x+7 — פונקציה קדומה · x3+2x^3+2 — לא פונקציה קדומה · 6x6x — לא פונקציה קדומה · 3x3+2x3x^3+2x — לא פונקציה קדומה

Corrigé :

(x3+2x+C)′=3x2+2(x^3+2x+C)'=3x^2+2

כל CC מתאים

(x3+2)′=3x2(3x3+2x)′=9x2+2\begin{aligned}(x^3+2)' &= 3x^2 \\ \quad (3x^3+2x)' &= 9x^2+2\end{aligned}

גוזרים את הפסולות

הפונקציה הקדומה של המספר 22 היא 2x2x, לא 22. ו-6x6x היא הנגזרת של ff, כיוון הפוך.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

נתון f′(x)=4x−3f'(x)=4x-3, והגרף של ff עובר בנקודה (2, 1)(2,\,1). חשבו את f(−1)f(-1).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

f(x)=2x2−3x+Cf(x)=2x^2-3x+C

פונקציה קדומה

f(2)=8−6+C=1⇒C=−1\begin{aligned}f(2) &= 8-6+C \\ &= 1 \Rightarrow C \\ &= -1\end{aligned}

הנקודה

f(−1)=2+3−1=4\begin{aligned}f(-1) &= 2+3-1 \\ &= 4\end{aligned}

On remplace (מציבים)

בהצבת −1-1: 2(−1)2=22(-1)^2=2 ו-−3(−1)=+3-3(-1)=+3. טעות סימן אחת נותנת −2-2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

נתונה f(x)=x3+kxf(x)=x^3+kx. עבור אילו ערכי kk הפונקציה עולה לכל xx?

  1. k>0k>0
  2. לכל kk
  3. k≤0k \le 0
  4. k≥0k \ge 0
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D k≥0k \ge 0

Corrigé :

f′(x)=3x2+kf'(x)=3x^2+k

גוזרים

k≥0⇒f′(x)≥0k \ge 0 \Rightarrow f'(x) \ge 0

אפס רק לכל היותר בנקודה אחת

k<0⇒f′(0)=k<0k<0 \Rightarrow f'(0)=k<0

יש תחום ירידה

התשובה: k≥0k \ge 0. ב-k=0k=0 מתקבלת x3x^3, שעולה לכל xx אף ש-f′(0)=0f'(0)=0 — לכן «k>0k>0» מחמיצה ערך.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

נתונה f(x)=x3−3x2f(x)=x^3-3x^2. כמה פתרונות יש למשוואה f(x)=−2f(x)=-2?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

max⁡=f(0)=0  min⁡=f(2)=−4\begin{aligned}\max &= f(0) \\ &= 0 \\ \ \ \min &= f(2) \\ &= -4\end{aligned}

מהחקירה

−4<−2<0-4<-2<0

הישר y=−2y=-2 בין שני ערכי הקיצון

33

שלוש נקודות חיתוך

לא פותרים משוואה ממעלה שלישית: משווים את kk לערכי הקיצון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

תלמיד חיפש את נקודת המינימום של f(x)=x3−6x2f(x)=x^3-6x^2. שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

f′(x)=3x2−12xf'(x) = 3x^2 - 12x
3x(x−4)=03x(x - 4) = 0
x=0 x=4\begin{aligned}x &= 0 \\ \ x &= 4\end{aligned}
f(4)=64−48=16\begin{aligned}f(4) &= 64 - 48 \\ &= 16\end{aligned}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : f(4)=64−48=16f(4) = 64 - 48 = 16 → f(4)=64−96=−32f(4) = 64 - 96 = -32

Corrigé :

6⋅42=6⋅16=96\begin{aligned}6 \cdot 4^2 &= 6 \cdot 16 \\ &= 96\end{aligned}

החזקה לפני הכפל

min⁡(4, −32)\min(4,\,-32)

המינימום

הטעות: 6x26x^2 ב-x=4x=4 הוא 6⋅16=966 \cdot 16=96, ולא (6⋅4)2(6 \cdot 4)^2 או 12⋅412 \cdot 4. 4848 הוא ערך של 12x12x — איבר מהנגזרת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

נתונה f(x)=x3−3xf(x)=x^3-3x. מהו הערך הגדול ביותר של ff בקטע 0≤x≤20 \le x \le 2?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

f′(x)=3(x−1)(x+1)f'(x)=3(x-1)(x+1)

החשודות ±1\pm1

x=−1∉[0, 2]x=-1 \notin [0,\,2]

נפסלת

f(0)=0  f(1)=−2  f(2)=2\begin{aligned}f(0) &= 0 \\ \ \ f(1) &= -2 \\ \ \ f(2) &= 2\end{aligned}

המועמדים

max⁡=f(2)=2\begin{aligned}\max &= f(2) \\ &= 2\end{aligned}

בקצה

המקסימום המקומי f(−1)=2f(-1)=2 מחוץ לקטע. כאן הערך יוצא אותו מספר — אבל מגיעים אליו בקצה x=2x=2, ורק ההשוואה מראה זאת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

גרף הנגזרת f′f' חותך את ציר xx ב-x=−3x=-3 (ממינוס לפלוס) וב-x=1x=1 (מפלוס למינוס). השלימו.

ל-ff יש מינימום ב-x=x= ____ ומקסימום ב-x=x= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : ל-ff יש מינימום ב-x=x= -3 ומקסימום ב-x=x= 1

Corrigé :

x=−3:−→+⇒min⁡x=-3: - \to + \Rightarrow \min

ירידה ואז עלייה

x=1:+→−⇒max⁡x=1: + \to - \Rightarrow \max

עלייה ואז ירידה

המעבר ממינוס לפלוס הוא מינימום. להפוך את השניים זו הטעות הנפוצה.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe