Série 1 — facile

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

עשר שאלות קצרות על כל הפרק: סימן הנגזרת ועלייה-ירידה, נקודות קיצון, קריאה מגרף הנגזרת, קטע סגור, פרמטר ופונקציה קדומה. כל שאלה דורשת צעד אחד או שניים.

לפני כל שאלה שאלו: מבקשים מקום (xx) או ערך (yy)? ומדובר ב-ff או ב-f′f'? רוב הטעויות בסדרה הזאת הן תשובה נכונה לשאלה אחרת.

Exercices

Exercice 1

נתונה f(x)=x2−6x+1f(x)=x^2-6x+1. באיזה ערך של xx יש ל-ff נקודת מינימום?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

f′(x)=2x−6f'(x)=2x-6

גוזרים

2x−6=0⇒x=3\begin{aligned}2x-6 &= 0 \Rightarrow x \\ &= 3\end{aligned}

משווים לאפס

f′(2)=−2<0 f′(4)=2>0\begin{aligned}f'(2) &= -2<0 \\ \ f'(4) &= 2>0\end{aligned}

מ-−- ל-++ — מינימום

השאלה מבקשת את מקום המינימום, x=3x=3. ערך המינימום הוא f(3)=−8f(3)=-8 — תשובה לשאלה אחרת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

לפונקציה ff נתונה הנגזרת f′(x)=2x−8f'(x)=2x-8. באיזה תחום ff יורדת?

  1. x<8x<8
  2. x>−4x>-4
  3. x<4x<4
  4. x>4x>4
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C x<4x<4

Corrigé :

2x−8<02x-8<0

ff יורדת כשהנגזרת שלילית

x<4x<4

On résout

התשובה: x<4x<4. «x>4x>4» הוא תחום העלייה; «x<8x<8» שכח לחלק ב-22.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

אם f′(x)>0f'(x)>0 לכל xx בקטע, אז f(x)>0f(x)>0 לכל xx בקטע.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

f(x)=x−10  0<x<5\begin{aligned}f(x) &= x-10 \\ \ \ 0<x<5\end{aligned}

דוגמה נגדית

f′(x)=1>0  f(1)=−9<0\begin{aligned}f'(x) &= 1>0 \\ \ \ f(1) &= -9<0\end{aligned}

עולה, ובכל זאת שלילית

לא נכון. סימן הנגזרת קובע את הכיוון — עלייה או ירידה — ולא את סימן הפונקציה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

נתונה f(x)=x3−3xf(x)=x^3-3x. מהו ערך המקסימום המקומי של ff?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

f′(x)=3x2−3=3(x−1)(x+1)\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2-3 \\ &= 3(x-1)(x+1)\end{aligned}

גוזרים

f′(−2)=9>0 f′(0)=−3<0\begin{aligned}f'(-2) &= 9>0 \\ \ f'(0) &= -3<0\end{aligned}

סביב x=−1x=-1: מ-++ ל-−-

f(−1)=−1+3=2\begin{aligned}f(-1) &= -1+3 \\ &= 2\end{aligned}

מציבים ב-ff

ערך המקסימום 22. מי שענה −1-1 נתן את המקום; מי שענה 00 הציב בנגזרת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

מהן כל הפונקציות הקדומות של f(x)=8x3f(x)=8x^3?

  1. 2x4+C2x^4+C
  2. 24x2+C24x^2+C
  3. 8x4+C8x^4+C
  4. 8x43+C\frac{8x^4}{3}+C
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A 2x4+C2x^4+C

Corrigé :

8⋅x44=2x48 \cdot \frac{x^4}{4} = 2x^4

מעלים חזקה ומחלקים בחזקה החדשה

(2x4)′=8x3(2x^4)'=8x^3

בדיקה

התשובה: 2x4+C2x^4+C. «24x224x^2» היא הנגזרת; «8x48x^4» לא חילקה; «8x43\frac{8x^4}{3}» חילקה בחזקה הישנה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

נתון f′(x)=2xf'(x)=2x ו-f(0)=5f(0)=5. חשבו את f(3)f(3).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 14

Corrigé :

f(x)=x2+Cf(x)=x^2+C

פונקציה קדומה

f(0)=C=5\begin{aligned}f(0) &= C \\ &= 5\end{aligned}

הנקודה

f(3)=9+5=14\begin{aligned}f(3) &= 9+5 \\ &= 14\end{aligned}

On remplace (מציבים)

בלי CC התשובה הייתה 99 — נכונה רק לגרף שעובר בראשית.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

גרף הנגזרת f′
-1012345-6-5-4-3-2-1123456xy

בציור גרף הנגזרת f′f' — ישר החותך את ציר xx ב-x=2x=2. מה יש ל-ff ב-x=2x=2?

  1. מינימום
  2. מקסימום
  3. נקודת חיתוך עם ציר xx
  4. אין קיצון
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B מקסימום

Corrigé :

x<2: f′>0x<2: \ f'>0

משמאל הישר מעל הציר

x>2: f′<0x>2: \ f'<0

מימין מתחת

+→−+ \to -

עלייה ואז ירידה

התשובה: מקסימום. הישר יורד, אבל זה לא אומר ש-ff יורדת: קובע רק הסימן. ו-f(2)f(2) כלל אינו ידוע.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

לפונקציה f(x)=x2+axf(x)=x^2+ax יש מינימום ב-x=3x=3. מצאו את aa.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -6

Corrigé :

f′(x)=2x+af'(x)=2x+a

גוזרים

f′(3)=6+a=0\begin{aligned}f'(3) &= 6+a \\ &= 0\end{aligned}

בקיצון הנגזרת מתאפסת

a=−6a=-6

On résout

הסימן: 6+a=06+a=0 נותן a=−6a=-6, לא 66.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

התאימו לכל נתון על הנגזרת את המסקנה על ff.

  • f′>0f'>0 בקטע
  • f′<0f'<0 בקטע
  • f′f' עוברת מ-++ ל-−-
  • f′f' עוברת מ-−- ל-++
  • ff יורדת בקטע
  • ff עולה בקטע
  • נקודת מינימום
  • נקודת מקסימום
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : f′>0f'>0 בקטע — ff עולה בקטע · f′<0f'<0 בקטע — ff יורדת בקטע · f′f' עוברת מ-++ ל-−- — נקודת מקסימום · f′f' עוברת מ-−- ל-++ — נקודת מינימום

Corrigé :

+→−: ↗↘+ \to - : \ \nearrow \searrow

עלייה ואז ירידה — פסגה

−→+: ↘↗- \to + : \ \searrow \nearrow

ירידה ואז עלייה — שפל

המלכודת היא להפוך את שני המעברים. דמיינו את הגרף: עלה ואז ירד — פסגה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

נתונה f(x)=x2−2xf(x)=x^2-2x. מהו הערך הגדול ביותר של ff בקטע 0≤x≤30 \le x \le 3?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

f′(x)=2x−2=0⇒x=1\begin{aligned}f'(x) &= 2x-2 \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 1\end{aligned}

החשודה — מינימום של הפרבולה

f(0)=0  f(1)=−1  f(3)=3\begin{aligned}f(0) &= 0 \\ \ \ f(1) &= -1 \\ \ \ f(3) &= 3\end{aligned}

הקצוות והחשודה

max⁡=f(3)=3\begin{aligned}\max &= f(3) \\ &= 3\end{aligned}

בקצה

לפרבולה הזאת אין מקסימום מקומי כלל, ובכל זאת בקטע סגור יש ערך גדול ביותר — בקצה.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe