On résout ensemble · Étude d'un polynôme et primitive · Kita י

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

חמש שאלות בסגנון הבגרות, אחת לכל רעיון של הפרק: חקירה מלאה עם קטע סגור, קריאה מגרף הנגזרת, פרמטרים, «האם ייתכן», ומציאת פונקציה מתוך הנגזרת שלה. כל שאלה נפתרת יחד, שלב אחרי שלב, ומחכה לכם למטה בגרסה תאומה לפתור לבד.

לפני כל לחיצה, אמרו לעצמכם מה אתם הייתם כותבים בשורה הבאה. הפער בין התוכנית שלכם לשלב שמופיע — שם הלמידה.

1 — חקירה, קטע סגור ומספר פתרונות

Activité interactive

נתונה $f(x)=x^3-3x^2-9x+5$ . א. מצאו את נקודות הקיצון ואת סוגן. ב. מצאו את תחומי העלייה והירידה. ג. מצאו את הערך הגדול ביותר והקטן ביותר של $f$ בקטע $-2 \le x \le 4$ . ד. עבור אילו ערכי $k$ למשוואה $f(x)=k$ שלושה פתרונות?

f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5

לחצו «להתחיל». סעיף א הוא הבסיס של כל השאר — שאר הסעיפים רק קוראים ממנו.

נגזרת

\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2 - 6x - 9 \\ &= 3(x - 3)(x + 1)\end{aligned}

מוציאים $3$ ומפרקים את הטרינום.

חשודות

\begin{aligned}x &= -1 \\ \quad x &= 3\end{aligned}

השורשים של הנגזרת.

טבלה

\begin{aligned}f'(-2) &= 15 > 0 \\ \ \ f'(0) &= -9 < 0 \\ \ \ f'(4) &= 15 > 0\end{aligned}

נקודה אחת מכל תחום.

\max (-1,\,10) ,\quad \min (3,\,-22)

$f(-1)=-1-3+9+5=10$ ו- $f(3)=27-27-27+5=-22$ .

\nearrow: \ x < -1 \ \text{או} \ x > 3 \qquad \searrow: \ -1 < x < 3

נקרא ישר מהטבלה.

\begin{aligned}f(-2) &= 3 \\ \ f(-1) &= 10 \\ \ f(3) &= -22 \\ \ f(4) &= -15\end{aligned}

שתי החשודות בתוך הקטע, ושני הקצוות.

\begin{aligned}\max &= 10 \\ \quad \min &= -22\end{aligned}

כאן שני הערכים הקיצוניים יושבים בנקודות הקיצון, לא בקצוות.

-22 < k < 10

ישר אופקי ממש בין ערך המינימום לערך המקסימום חותך את הגרף שלוש פעמים.

סעיף ד אינו מוגבל לקטע: $f(x)=k$ נשאל על כל $x$ . ובקצוות $k=10$ ו- $k=-22$ יש רק שני פתרונות.

Faire l'activité sur elev

ובקטע $0 \le x \le 4$ — מהו הערך הגדול ביותר של אותה $f$ ?

Voir la réponse et le corrigé

$5$ , ב- $x=0$ . המועמדים: $f(0)=5$ , $f(3)=-22$ , $f(4)=-15$ . החשודה $x=-1$ מחוץ לקטע ונפסלת — והפעם הקצה מנצח.

השאלה התאומה: שאלה 1 ברשימה למטה.

2 — מגרף הנגזרת אל הפונקציה

גרף הנגזרת f′ — שאלה 2

Activité interactive

קוראים את $f$ מתוך גרף $f'$

בציור גרף הנגזרת $f'$ של פולינום $f$ : פרבולה החותכת את ציר $x$ ב- $-1$ וב- $3$ ואת ציר $y$ ב- $-3$ . א. מצאו את שיעורי ה- $x$ של נקודות הקיצון של $f$ וקבעו את סוגן. ב. ידוע ש- $f(0)=1$ . מצאו את $f$ ואת ערך המקסימום.

מקסימום ב- $x=-1$ , וערכו $\frac{8}{3}$

מקסימום ב- $x=3$ , וערכו $-8$

מקסימום ב- $x=1$ , וערכו $-4$

מינימום ב- $x=-1$ , וערכו $\frac{8}{3}$

איפה בגרף מחפשים את נקודות הקיצון של $f$ ?

בקדקוד של הפרבולה

Voir la réponse et le corrigé

הקדקוד הוא הערך הקטן ביותר של הנגזרת — שם $f$ יורדת הכי מהר, אבל אין לה קיצון.

בנקודות שבהן הפרבולה חוצה את ציר $x$

Voir la réponse et le corrigé

כן: שם $f'=0$ והסימן מתחלף.

בנקודה שבה הפרבולה חותכת את ציר $y$

Voir la réponse et le corrigé

$f'(0)=-3$ הוא שיפוע, לא קיצון.

\begin{aligned}f'(x) &= 0 \iff x \\ &= -1 \\ \ x &= 3\end{aligned}

שתי נקודות חשודות.

מה הסוג של $x=-1$ ?

מקסימום — משמאל הגרף מעל הציר, מימין מתחת

Voir la réponse et le corrigé

מעבר מ- $+$ ל- $-$ : $f$ עלתה ואז ירדה.

מינימום — כי הפרבולה יורדת שם

Voir la réponse et le corrigé

ירידה של $f'$ לא אומרת ש- $f$ יורדת. קובע רק הסימן של $f'$ .

\begin{aligned}x &= -1: \ + \to - \ (\max) \\ \qquad x &= 3: \ - \to + \ (\min)\end{aligned}

סעיף א.

איך מוצאים את $f$ עצמה?

כותבים את $f'$ מהגרף, ומוצאים פונקציה קדומה

Voir la réponse et le corrigé

הפרבולה ידועה משורשיה ומהחיתוך עם ציר $y$ .

אי אפשר — מגרף הנגזרת לא יודעים את $f$

Voir la réponse et le corrigé

את הגובה לא יודעים מהגרף לבדו — ובשביל זה נתון $f(0)=1$ .

\begin{aligned}f'(x) &= (x+1)(x-3) \\ &= x^2-2x-3 \ \Rightarrow\ f(x) \\ &= \frac{x^3}{3}-x^2-3x+C\end{aligned}

המקדם של $x^2$ הוא $1$ , כי $f'(0)=-3$ .

מה עושים עם $f(0)=1$ ?

מציבים $x=0$ ב- $f$ : $C=1$

Voir la réponse et le corrigé

כל האיברים עם $x$ מתאפסים.

מציבים $x=0$ ב- $f'$

Voir la réponse et le corrigé

הנתון הוא על $f$ , לא על הנגזרת.

\begin{aligned}f(x) &= \frac{x^3}{3}-x^2-3x+1 \\ \quad f(-1) &= -\frac{1}{3}-1+3+1 \\ &= \frac{8}{3}\end{aligned}

ערך המקסימום.

Voir la réponse et le corrigé

מקסימום ב- $x=-1$ וערכו $\frac{8}{3}$ ; מינימום ב- $x=3$ וערכו $f(3)=9-9-9+1=-8$ .

Faire l'activité sur elev

השאלה התאומה: שאלה 2 ברשימה למטה.

3 — שני פרמטרים ונקודת קיצון

Activité interactive

נתונה $f(x)=x^3+ax^2+bx$ . ל- $f$ יש נקודת קיצון ב- $(1,\,-4)$ . א. מצאו את $a$ ואת $b$ . ב. קבעו את סוג הנקודה. ג. מצאו את נקודת הקיצון השנייה.

\begin{aligned}f(x) &= x^3 + ax^2 + bx \\ \quad f'(1) &= 0 \\ \quad f(1) &= -4\end{aligned}

לחצו «להתחיל». הנתון «קיצון ב- $(1,\,-4)$ » הוא שתי משוואות.

משוואה 1

\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2 + 2ax + b \ \Rightarrow\ 3 + 2a + b \\ &= 0\end{aligned}

בקיצון הנגזרת מתאפסת.

משוואה 2

\begin{aligned}f(1) &= 1 + a + b \\ &= -4 \ \Rightarrow\ a + b \\ &= -5\end{aligned}

הנקודה על הגרף.

\begin{aligned}(2a + b) - (a + b) &= -3 - (-5) \ \Rightarrow\ a \\ &= 2 \\ \ b &= -7\end{aligned}

מחסרים — $b$ נעלם.

\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2 + 4x - 7 \\ &= (3x + 7)(x - 1)\end{aligned}

מפרקים את הנגזרת החדשה.

\begin{aligned}f'(0) &= -7 < 0 \\ \quad f'(2) &= 13 > 0\end{aligned}

מ- $-$ ל- $+$ : ב- $(1,\,-4)$ יש מינימום.

\begin{aligned}x &= -\frac{7}{3} \\ \quad f\left(-\frac{7}{3}\right) &= \frac{392}{27}\end{aligned}

השורש השני של הנגזרת; לפני $-\frac{7}{3}$ היא חיובית ואחריו שלילית — מקסימום.

הבדיקה בסעיף ב אינה קישוט: $f'(1)=0$ ו- $f(1)=-4$ קבעו את $a$ ואת $b$ , אבל אף אחת מהן לא מבטיחה החלפת סימן. רק הטבלה מבטיחה שיש שם קיצון.

Faire l'activité sur elev

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה.

4 — «האם ייתכן?»

Activité interactive

האם ייתכן קיצון?

נתונה $f(x)=x^3+3x^2+3x+c$ , כאשר $c$ פרמטר. האם ייתכן שעבור ערך מסוים של $c$ יש ל- $f$ נקודת קיצון? נמקו.

לא — לכל $c$ הנגזרת אינה מחליפה סימן

כן — ב- $x=-1$ , כי שם $f'=0$

כן — עבור $c=0$

תלוי בערך של $c$

במה תלויה הנגזרת?

היא אינה תלויה ב- $c$

Voir la réponse et le corrigé

הנגזרת של מספר קבוע היא אפס. $c$ רק מזיז את הגרף למעלה ולמטה.

היא תלויה ב- $c$

Voir la réponse et le corrigé

$c$ הוא איבר חופשי — בגזירה הוא נעלם.

f'(x) = 3x^2 + 6x + 3

אותה נגזרת לכל $c$ .

איך בודקים את סימן הנגזרת?

מפרקים: $3(x+1)^2$

Voir la réponse et le corrigé

גורם משותף $3$ , ובפנים ריבוע של סכום.

פותרים $f'(x)=0$ ומסיקים שיש קיצון

Voir la réponse et le corrigé

שורש של הנגזרת הוא רק חשוד. צריך לבדוק החלפת סימן.

f'(x) = 3(x + 1)^2 \ge 0

הנגזרת אינה שלילית לעולם.

מה המסקנה?

אין החלפת סימן — אין קיצון, לכל $c$

Voir la réponse et le corrigé

ב- $x=-1$ משיק אופקי בלבד; $f$ עולה לכל $x$ .

יש קיצון ב- $x=-1$

Voir la réponse et le corrigé

משני צדי $-1$ הנגזרת חיובית: $f'(-2)=3$ , $f'(0)=3$ .

\begin{aligned}f'(-2) &= 3 > 0 \\ \quad f'(0) &= 3 > 0\end{aligned}

אותו סימן משני הצדדים.

Voir la réponse et le corrigé

לא ייתכן. $f'(x)=3(x+1)^2 \ge 0$ לכל $x$ ולכל $c$ , והסימן אינו מתחלף. ל- $f$ יש משיק אופקי ב- $x=-1$ , אבל היא עולה לכל $x$ .

Faire l'activité sur elev

הביאו דוגמה לערך של $m$ שעבורו ל- $g(x)=x^3+3x^2+mx$ יש שתי נקודות קיצון.

Voir la réponse et le corrigé

למשל $m=0$ : $g'(x)=3x^2+6x=3x(x+2)$ , שני שורשים פשוטים — מקסימום ב- $x=-2$ ומינימום ב- $x=0$ . באופן כללי $\Delta=36-12m>0$ , כלומר כל $m<3$ .

השאלה התאומה: שאלה 4 ברשימה למטה.

5 — מהנגזרת והמשיק אל הפונקציה

Activité interactive

לפונקציה $f$ נתונה הנגזרת $f'(x)=3x^2-4x+1$ . המשיק לגרף $f$ בנקודה שבה $x=2$ הוא $y=5x-7$ . א. מצאו את $f$ . ב. מצאו את נקודות הקיצון של $f$ וקבעו את סוגן.

\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2 - 4x + 1 \\ \quad y &= 5x - 7 \\ \quad x &= 2\end{aligned}

לחצו «להתחיל». הישר $y = 5x - 7$ משיק לגרף ב- $x = 2$ . מה המשיק נותן לנו — השיפוע, הנקודה, או שניהם?

בדיקה

\begin{aligned}f'(2) &= 12 - 8 + 1 \\ &= 5\end{aligned}

השיפוע של המשיק מתאים לנגזרת — טוב.

הנקודה

\begin{aligned}y(2) &= 5 \cdot 2 - 7 \\ &= 3 \ \Rightarrow\ f(2) \\ &= 3\end{aligned}

נקודת ההשקה נמצאת גם על המשיק וגם על הגרף.

קדומה

f(x) = x^3 - 2x^2 + x + C

איבר-איבר.

\begin{aligned}f(2) &= 8 - 8 + 2 + C \\ &= 3 \ \Rightarrow\ C \\ &= 1\end{aligned}

$f(x)=x^3-2x^2+x+1$ .

\begin{aligned}f'(x) &= (3x - 1)(x - 1) \\ &= 0 \ \Rightarrow\ x \\ &= \frac{1}{3} \\ \ x &= 1\end{aligned}

פרבולה פתוחה כלפי מעלה — שלילית בין השורשים.

\max\left(\frac{1}{3},\,\frac{31}{27}\right) ,\quad \min(1,\,1)

$f(1)=1-2+1+1=1$ .

הטעות הנפוצה: להציב $x=2$ ב- $f'$ ולקבל $5$ , ואז לכתוב $f(2)=5$ . $5$ הוא שיפוע; את הגובה נותנת משוואת המשיק.

Faire l'activité sur elev

השאלה התאומה: שאלה 5 ברשימה למטה.

Exercices

Exercice 1

נתונה $f(x)=x^3+3x^2-9x-2$ . מהו הערך הקטן ביותר של $f$ בקטע $-4 \le x \le 2$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -7

Corrigé :

\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2+6x-9 \\ &= 3(x+3)(x-1)\end{aligned}

גוזרים ומפרקים

\begin{aligned}x &= -3 \\ \ x &= 1 \in [-4,\,2]\end{aligned}

שתי החשודות בתוך הקטע

\begin{aligned}f(-4) &= 18 \\ \ \ f(-3) &= 25 \\ \ \ f(1) &= -7 \\ \ \ f(2) &= 0\end{aligned}

ארבעה מועמדים

\begin{aligned}\min &= f(1) \\ &= -7\end{aligned}

הקטן ביותר

הקטן ביותר הוא $-7$ , במינימום המקומי. מי שבדק רק את הקצוות קיבל $0$ ; מי שלקח את הקטן מבין ערכי $x$ ענה $-4$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

גרף הנגזרת f′

בציור גרף הנגזרת $f'$ של פולינום $f$ : פרבולה פתוחה כלפי מטה, החותכת את ציר $x$ ב- $-2$ וב- $2$ ואת ציר $y$ ב- $4$ . ידוע ש- $f(0)=0$ . מהו ערך המקסימום המקומי של $f$ ?

$4$
$-\frac{16}{3}$
$2$
$\frac{16}{3}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $\frac{16}{3}$

Corrigé :

x=2: \ + \to -

מהגרף: המקסימום של $f$ ב- $x=2$

\begin{aligned}f'(x) &= -(x-2)(x+2) \\ &= -x^2+4\end{aligned}

המקדם $-1$ , כי $f'(0)=4$

\begin{aligned}f(x) &= -\frac{x^3}{3}+4x+C \\ \ \ f(0) &= 0 \Rightarrow C \\ &= 0\end{aligned}

פונקציה קדומה ונקודה

\begin{aligned}f(2) &= -\frac{8}{3}+8 \\ &= \frac{16}{3}\end{aligned}

ערך המקסימום

התשובה: $\frac{16}{3}$ . « $-\frac{16}{3}$ » הוא המינימום ב- $x=-2$ ; « $4$ » הוא הגובה של הנגזרת בקדקוד; « $2$ » הוא מקום המקסימום.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתונה $f(x)=x^3+ax^2+bx+1$ . ל- $f$ יש נקודת קיצון ב- $(-1,\,6)$ . מצאו את $a$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -3

Corrigé :

\begin{aligned}f'(-1) &= 3-2a+b \\ &= 0\end{aligned}

הנגזרת מתאפסת

\begin{aligned}f(-1) &= -1+a-b+1 \\ &= 6 \Rightarrow a-b \\ &= 6\end{aligned}

הנקודה על הגרף

\begin{aligned}b &= a-6 \Rightarrow 3-2a+a-6 \\ &= 0 \Rightarrow a \\ &= -3\end{aligned}

הצבה

\begin{aligned}b &= -9 \\ \ \ f'(x) &= 3(x-3)(x+1)\end{aligned}

בדיקה: סביב $-1$ מ- $+$ ל- $-$ , מקסימום

הזהירו מ- $(-1)^2=1$ ומ- $(-1)^3=-1$ : טעות סימן אחת ב- $f(-1)$ נותנת זוג $(a,\,b)$ שגוי שעדיין «נראה» פתיר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

לפונקציה $f(x)=x^3-6x^2+12x$ יש נקודת קיצון.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2-12x+12 \\ &= 3(x-2)^2\end{aligned}

מפרקים

\begin{aligned}f'(1) &= 3>0 \\ \ \ f'(3) &= 3>0\end{aligned}

אותו סימן משני צדי $x=2$

לא נכון. $f'(2)=0$ , אבל הנגזרת אינה מחליפה סימן: $f$ עולה לכל $x$ , ובנקודה $(2,\,8)$ יש רק משיק אופקי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

לפונקציה $f$ נתונה הנגזרת $f'(x)=3x^2-6x$ . המשיק לגרף $f$ בנקודה שבה $x=1$ הוא $y=-3x+5$ . מהו ערך המינימום המקומי של $f$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0

Corrigé :

\begin{aligned}f(1) &= -3+5 \\ &= 2\end{aligned}

נקודת ההשקה מהמשיק

\begin{aligned}f(x) &= x^3-3x^2+C \\ \ \ f(1) &= -2+C \\ &= 2 \Rightarrow C \\ &= 4\end{aligned}

פונקציה קדומה

\begin{aligned}f'(x) &= 3x(x-2):\ \min \ \text{ב-} x \\ &= 2\end{aligned}

מ- $-$ ל- $+$

\begin{aligned}f(2) &= 8-12+4 \\ &= 0\end{aligned}

ערך המינימום

המינימום בגובה $0$ — הגרף משיק לציר $x$ . מי שהציב $f(1)=-3$ לקח את השיפוע של המשיק במקום את הגובה שלו.

Vérifier la réponse sur elev

1 — חקירה, קטע סגור ומספר פתרונות

2 — מגרף הנגזרת אל הפונקציה

3 — שני פרמטרים ונקודת קיצון

4 — «האם ייתכן?»

5 — מהנגזרת והמשיק אל הפונקציה

Exercices

La suite se pratique sur elev