Primitive d'un polynôme

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

עד עכשיו הלכנו בכיוון אחד: נתונה פונקציה — מוצאים את הנגזרת. עכשיו הפוך: יודעים את השיפוע בכל נקודה, f′(x)=2xf'(x)=2x, ורוצים לדעת מי הפונקציה.

מצאו פונקציה אחת שהנגזרת שלה היא 2x2x. יש עוד אחת?

Voir la réponse et le corrigé

x2x^2, כי (x2)′=2x(x^2)'=2x. ויש עוד — אינסוף: x2+5x^2+5, x2−1x^2-1, x2+12x^2+\frac{1}{2}. הנגזרת של מספר קבוע היא אפס, ולכן הוא «נעלם» בגזירה.

שלוש פונקציות קדומות של 2x
-2-1012-3-2-11234567xy
הגרפים הם x²−2, x² ו־x²+2. ב־x=1 המשיקים (מקווקווים) מקבילים זה לזה: לשלושתם אותו שיפוע, 2.

הזזה אנכית לא משנה שום שיפוע. לכן גרף הנגזרת קובע את צורת הפונקציה, אבל לא את הגובה שלה — בדיוק מה שראינו כשקראנו את ff מתוך גרף של f′f'.

ההגדרה והכלל

FF היא פונקציה קדומה של ff אם F′(x)=f(x)F'(x)=f(x). אם FF היא פונקציה קדומה אחת, אז כל הפונקציות הקדומות הן F(x)+CF(x)+C, כאשר CC מספר קבוע כלשהו.

איך מוצאים אותה? הופכים את כלל החזקה: בגזירה מורידים את החזקה וכופלים בה; בפונקציה קדומה מעלים את החזקה באחד ומחלקים בחזקה החדשה.

f(x)=xn⇒F(x)=xn+1n+1+C\begin{aligned}f(x) &= x^n \quad \Rightarrow \quad F(x) \\ &= \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\end{aligned}
5 → 5x+C5 \ \to \ 5x + C

מספר קבוע — כי (5x)′=5(5x)'=5

x → x22+Cx \ \to \ \frac{x^2}{2} + C

החזקה 11 עולה ל-22, ומחלקים ב-22

3x2 → x3+C3x^2 \ \to \ x^3 + C

מעלים ל-33 ומחלקים ב-33: 3x33=x3\frac{3x^3}{3}=x^3

4x3−6x+1 → x4−3x2+x+C4x^3 - 6x + 1 \ \to \ x^4 - 3x^2 + x + C

איבר-איבר, ו-CC אחד בסוף

תמיד אפשר לבדוק: גוזרים את התשובה, וצריך לחזור בדיוק לפונקציה הנתונה. (x4−3x2+x)′=4x3−6x+1(x^4-3x^2+x)'=4x^3-6x+1 ✓. שתי שניות בטיוטה חוסכות טעות בכל השאלה.

מצאו את כל הפונקציות הקדומות של f(x)=6x2−4x+5f(x)=6x^2-4x+5.

Voir la réponse et le corrigé

F(x)=2x3−2x2+5x+CF(x)=2x^3-2x^2+5x+C. בדיקה: (2x3)′=6x2(2x^3)'=6x^2, (−2x2)′=−4x(-2x^2)'=-4x, (5x)′=5(5x)'=5 ✓.

נקודה אחת קובעת את CC

מכל המשפחה F(x)+CF(x)+C רק גרף אחד עובר בנקודה נתונה — הזזה אנכית אחת בדיוק מביאה אותו לשם. לכן שאלה מהסוג «נתון f′f' ונקודה על הגרף» תמיד נפתרת בשני צעדים: פונקציה קדומה, ואז הצבה.

מוצאים את ff מתוך f′f' ונקודה

נתון f′(x)=6x2−4x+1f'(x)=6x^2-4x+1, והגרף של ff עובר בנקודה (1, 5)(1,\,5). מצאו את ff.

f(x)=2x3−2x2+x+Cf(x) = 2x^3 - 2x^2 + x + C

פונקציה קדומה, איבר-איבר

f(1)=2−2+1+C=1+C\begin{aligned}f(1) &= 2 - 2 + 1 + C \\ &= 1 + C\end{aligned}

מציבים את xx של הנקודה

1+C=5 ⇒ C=4\begin{aligned}1 + C &= 5 \ \Rightarrow\ C \\ &= 4\end{aligned}

משווים ל-yy של הנקודה

f(x)=2x3−2x2+x+4f(x) = 2x^3 - 2x^2 + x + 4

הפונקציה היחידה במשפחה שעוברת ב-(1, 5)(1,\,5)

נתון f′(x)=3x2−6xf'(x)=3x^2-6x, והגרף של ff עובר בראשית. מהי ff, ומהן נקודות הקיצון שלה?

Voir la réponse et le corrigé

f(x)=x3−3x2+Cf(x)=x^3-3x^2+C, ו-f(0)=0f(0)=0 נותן C=0C=0. זו f(x)=x3−3x2f(x)=x^3-3x^2 — הפונקציה של החקירה המלאה: מקסימום ב-(0, 0)(0,\,0) ומינימום ב-(2, −4)(2,\,-4). את מקום הקיצונים ידענו כבר מ-f′f'; את הגובה נתנה הנקודה.

שלוש הטעויות של הפונקציה הקדומה.

f(x)=x2 ⇒ F(x)=2x\begin{aligned}f(x) &= x^2 \ \Rightarrow\ F(x) \\ &= 2x\end{aligned}
F(x)=x33+CF(x)=\frac{x^3}{3}+C

זו גזירה, לא פונקציה קדומה. בדיקה: (2x)′=2≠x2(2x)'=2 \ne x^2.

f(x)=5 ⇒ F(x)=0\begin{aligned}f(x) &= 5 \ \Rightarrow\ F(x) \\ &= 0\end{aligned}
F(x)=5x+CF(x)=5x+C

הנגזרת של 55 היא 00; הפונקציה הקדומה של 55 היא 5x5x.

f′(x)=4x f(0)=3 ⇒ f(x)=2x2\begin{aligned}f'(x) &= 4x \\ \ f(0) &= 3 \ \Rightarrow\ f(x) \\ &= 2x^2\end{aligned}
f(x)=2x2+3f(x)=2x^2+3

שכחו את CC — ולכן גם את הנקודה. f(0)=0≠3f(0)=0 \ne 3.

Exercices

Exercice 1

מהן כל הפונקציות הקדומות של f(x)=3x2−4xf(x)=3x^2-4x?

  1. x3−2x2+Cx^3-2x^2+C
  2. 6x−4+C6x-4+C
  3. x3−4x2+Cx^3-4x^2+C
  4. 3x3−4x2+C3x^3-4x^2+C
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A x3−2x2+Cx^3-2x^2+C

Corrigé :

3x2→3x33=x33x^2 \to \frac{3x^3}{3} = x^3

מעלים חזקה ומחלקים

−4x→−4x22=−2x2-4x \to -\frac{4x^2}{2} = -2x^2

אותו כלל על האיבר השני

(x3−2x2)′=3x2−4x(x^3-2x^2)' = 3x^2-4x

בדיקה בגזירה

התשובה: x3−2x2+Cx^3-2x^2+C. «6x−46x-4» היא הנגזרת; «x3−4x2x^3-4x^2» לא חילקה ב-22; «3x3−4x23x^3-4x^2» העלתה חזקה בלי לחלק.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתון f′(x)=2x+3f'(x)=2x+3, והגרף של ff עובר בנקודה (1, 6)(1,\,6). חשבו את f(2)f(2).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 12

Corrigé :

f(x)=x2+3x+Cf(x)=x^2+3x+C

פונקציה קדומה

f(1)=4+C=6⇒C=2\begin{aligned}f(1) &= 4+C \\ &= 6 \Rightarrow C \\ &= 2\end{aligned}

הנקודה קובעת את CC

f(2)=4+6+2=12\begin{aligned}f(2) &= 4+6+2 \\ &= 12\end{aligned}

On remplace (מציבים)

מי שדילג על CC קיבל f(2)=10f(2)=10. בלי הנקודה אין תשובה אחת — ולכן היא נתונה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתון f′(x)=6x2−2f'(x)=6x^2-2, והגרף של ff עובר בנקודה (2, 5)(2,\,5). מהי נקודת החיתוך של הגרף עם ציר ה-yy? כתבו את שיעור ה-yy.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -7

Corrigé :

f(x)=2x3−2x+Cf(x)=2x^3-2x+C

פונקציה קדומה

f(2)=16−4+C=12+C=5\begin{aligned}f(2) &= 16-4+C \\ &= 12+C \\ &= 5\end{aligned}

מציבים את הנקודה

C=−7⇒f(0)=−7\begin{aligned}C &= -7 \Rightarrow f(0) \\ &= -7\end{aligned}

חיתוך עם ציר yy: x=0x=0

שימו לב: f(0)=Cf(0)=C תמיד בפולינום, אבל CC אינו 55 — הנקודה הנתונה איננה על ציר ה-yy.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

לפונקציה f(x)=4x3f(x)=4x^3 יש פונקציה קדומה אחת בלבד, והיא x4x^4.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

(x4)′=4x3(x^4)'=4x^3

x4x^4 אכן פונקציה קדומה

(x4+7)′=4x3(x^4+7)'=4x^3

גם x4+7x^4+7 — וכך לכל מספר קבוע

לא נכון. יש אינסוף פונקציות קדומות, x4+Cx^4+C. הן נבדלות בהזזה אנכית, ונקודה נתונה בוחרת אחת מהן.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

התאימו לכל פונקציה את משפחת הפונקציות הקדומות שלה.

  • 2x2x
  • x2x^2
  • 55
  • 4x3−14x^3-1
  • x33+C\frac{x^3}{3}+C
  • 5x+C5x+C
  • x2+Cx^2+C
  • x4−x+Cx^4-x+C
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2x2x — x2+Cx^2+C · x2x^2 — x33+C\frac{x^3}{3}+C · 55 — 5x+C5x+C · 4x3−14x^3-1 — x4−x+Cx^4-x+C

Corrigé :

(x33)′=x2\left(\frac{x^3}{3}\right)' = x^2

בודקים כל זוג בגזירה

(5x)′=5(x4−x)′=4x3−1\begin{aligned}(5x)' &= 5 \\ \quad (x^4-x)' &= 4x^3-1\end{aligned}

גם שני הזוגות האחרים חוזרים בגזירה לפונקציה הנתונה

המלכודת: לזווג את x2x^2 עם 2x2x — זה כיוון הגזירה, ההפוך ממה שנשאל.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

השיפוע של המשיק לגרף ff בכל נקודה הוא 3x2−6x3x^2-6x. הגרף של ff חותך את ציר ה-xx בנקודה (1, 0)(1,\,0). מהו f(0)f(0)?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

f′(x)=3x2−6xf'(x)=3x^2-6x

«שיפוע המשיק בכל נקודה» הוא הנגזרת

f(x)=x3−3x2+Cf(x)=x^3-3x^2+C

פונקציה קדומה

f(1)=1−3+C=0⇒C=2\begin{aligned}f(1) &= 1-3+C \\ &= 0 \Rightarrow C \\ &= 2\end{aligned}

הנקודה (1, 0)(1,\,0)

f(0)=2f(0)=2

מציבים x=0x=0

הניסוח «שיפוע המשיק» הוא דרך אחרת לומר f′f'. מי שהציב את הנקודה בביטוי 3x2−6x3x^2-6x עצמו קיבל −3≠0-3 \ne 0 ונתקע.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

נתון f′(x)=x2−4f'(x)=x^2-4 ו-f(0)=1f(0)=1. מהו ערך המקסימום המקומי של ff?

  1. 11
  2. −2-2
  3. 193\frac{19}{3}
  4. −133-\frac{13}{3}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C 193\frac{19}{3}

Corrigé :

f′(x)=(x−2)(x+2)f'(x)=(x-2)(x+2)

החשודות: x=±2x=\pm 2

x=−2: +→−x=-2: \ + \to -

מקסימום ב-x=−2x=-2

f(x)=x33−4x+1f(x)=\frac{x^3}{3}-4x+1

פונקציה קדומה, ו-f(0)=1f(0)=1 נותן C=1C=1

f(−2)=−83+8+1=193\begin{aligned}f(-2) &= -\frac{8}{3}+8+1 \\ &= \frac{19}{3}\end{aligned}

On remplace (מציבים)

התשובה: 193\frac{19}{3}. «−133-\frac{13}{3}» הוא ערך המינימום (x=2x=2); «−2-2» הוא מקום המקסימום ולא ערכו; «11» הוא f(0)f(0).

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

הפונקציה FF היא פונקציה קדומה של f(x)=6x2f(x)=6x^2, והגרף שלה עובר בנקודה (1, 5)(1,\,5). השלימו.

F(x)=2x3+F(x)=2x^3+ ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : F(x)=2x3+F(x)=2x^3+ 3

Corrigé :

F(x)=2x3+CF(x)=2x^3+C

פונקציה קדומה של 6x26x^2

F(1)=2+C=5⇒C=3\begin{aligned}F(1) &= 2+C \\ &= 5 \Rightarrow C \\ &= 3\end{aligned}

On remplace (מציבים)

מי שכתב 55 הניח ש-CC הוא ה-yy של הנקודה. זה נכון רק לנקודה על ציר ה-yy, שבה x=0x=0.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

הוכיחו כי F(x)=(x+1)3F(x)=(x+1)^3 היא פונקציה קדומה של f(x)=3x2+6x+3f(x)=3x^2+6x+3.

  • F(x)=(x+1)3F(x)=(x+1)^3
  • f(x)=3x2+6x+3f(x)=3x^2+6x+3

FF היא פונקציה קדומה של ff

Voir la réponse et le corrigé
  1. F′(x)=3(x+1)2F'(x)=3(x+1)^2 — נגזרת של פונקציה מורכבת: הנגזרת הפנימית היא 11
  2. 3(x+1)2=3x2+6x+33(x+1)^2=3x^2+6x+3 — פתיחת ריבוע של סכום
  3. F′(x)=f(x)F'(x)=f(x) לכל xx — שני הביטויים שווים לאותו ביטוי
  4. FF היא פונקציה קדומה של ff — הגדרת פונקציה קדומה: F′=fF'=f
Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

גוף נע לאורך ישר. מקומו אחרי tt שניות הוא s(t)s(t) מטרים, ומהירותו היא s′(t)=4t+1s'(t)=4t+1 מטרים לשנייה. ברגע t=0t=0 הגוף נמצא ב-s=2s=2. היכן הגוף אחרי 33 שניות?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 23

Corrigé :

s(t)=2t2+t+Cs(t)=2t^2+t+C

המקום הוא פונקציה קדומה של המהירות

s(0)=C=2\begin{aligned}s(0) &= C \\ &= 2\end{aligned}

המקום ההתחלתי

s(3)=18+3+2=23\begin{aligned}s(3) &= 18+3+2 \\ &= 23\end{aligned}

מציבים t=3t=3

הגוף ב-2323 מטרים. מי שהציב t=3t=3 במהירות קיבל 1313 — אבל זו מהירות ברגע, לא מקום.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe