Familles de fonctions à paramètre

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

בבגרות הפונקציה מגיעה לעתים קרובות עם אות: f(x)=x3+ax2−9x+1f(x)=x^3+ax^2-9x+1. האות aa היא פרמטר — מספר קבוע שעוד לא ידוע. כל ערך של aa נותן פונקציה אחרת, וכולן יחד הן משפחה. יש שני סוגי שאלות: «מצאו את aa לפי נתון», ו«עבור אילו aa קורה משהו».

הנגזרת של פולינום ממעלה שלישית היא פרבולה

אם ff ממעלה שלישית, אז f′(x)=Ax2+Bx+Cf'(x)=Ax^2+Bx+C — פרבולה. מספר נקודות הקיצון של ff תלוי רק בשאלה כמה פעמים הפרבולה הזאת חוצה את ציר ה-xx. בווידג'ט למטה, חשבו על הפרבולה כעל הגרף של f′f'.

בווידג'ט, כשהפרבולה f′f' נוגעת בציר בנקודה אחת בדיוק — כמה נקודות קיצון יש ל-ff?

Voir la réponse et le corrigé

אפס. בנקודת הנגיעה f′=0f'=0, אבל משני הצדדים הפרבולה באותו צד של הציר, והסימן לא מתחלף. לכן לפולינום ממעלה שלישית יש שתי נקודות קיצון או אף אחת — לעולם לא אחת בדיוק.

Δ>0\Delta > 0

לפרבולה f′f' שני שורשים — שתי נקודות קיצון ל-ff.

Δ=0\Delta = 0

נגיעה בציר — אין קיצון, ff מונוטונית.

Δ<0\Delta < 0

אין שורשים — אין קיצון, ff מונוטונית.

כאן Δ\Delta הוא הדיסקרימיננטה של הנגזרת f′f', לא של ff. «ff עולה לכל xx» פירושו f′≥0f' \ge 0 לכל xx: פרבולה פתוחה כלפי מעלה עם Δ≤0\Delta \le 0 — כולל השוויון.

מצאו את הפרמטר: שני נתונים, שתי משוואות

המשפט «ל-ff יש נקודת קיצון בנקודה (1, 5)(1,\,5)» מכיל שני נתונים: הנגזרת מתאפסת ב-x=1x=1, והגרף עובר בנקודה. כל נתון נותן משוואה.

f′(x0)=0f(x0)=y0\begin{aligned}f'(x_0) &= 0 \qquad f(x_0) \\ &= y_0\end{aligned}

למה צריך את שני הנתונים? מה היה קורה אם היה נתון רק «ל-ff יש קיצון ב-x=1x=1»?

Voir la réponse et le corrigé

היינו מקבלים משוואה אחת בשני נעלמים, 2a+b=−32a+b=-3, ואינסוף זוגות (a, b)(a,\,b). כל נעלם דורש משוואה משלו — ולכן הגובה 55 הכרחי.

עבור אילו aa הפונקציה עולה לכל xx?

נתונה f(x)=x3+ax2+3xf(x)=x^3+ax^2+3x. מצאו את כל ערכי aa שעבורם ff עולה לכל xx.

f′(x)=3x2+2ax+3f'(x)=3x^2+2ax+3

גוזרים — פרבולה פתוחה כלפי מעלה

f′(x)≥0 לכל x  ⟺  Δ≤0f'(x) \ge 0 \ \text{לכל} \ x \iff \Delta \le 0

הפרבולה לא יורדת מתחת לציר

Δ=(2a)2−4⋅3⋅3=4a2−36\begin{aligned}\Delta &= (2a)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 \\ &= 4a^2 - 36\end{aligned}

הדיסקרימיננטה של f′f'

4a2−36≤0 ⇒ a2≤94a^2 - 36 \le 0 \ \Rightarrow\ a^2 \le 9

On résout

−3≤a≤3-3 \le a \le 3

הקצוות נכללים: שם f′f' נוגעת בציר בלבד

שלוש הטעויות של שאלות הפרמטר.

f(1)=0f(1) = 0
f′(1)=0f'(1) = 0

«קיצון ב-x=1x=1» הוא נתון על הנגזרת. f(1)=0f(1)=0 פירושו שהגרף חותך את ציר xx — משהו אחר לגמרי.

Δf<0\Delta_f < 0
Δf′≤0\Delta_{f'} \le 0

הדיסקרימיננטה שקובעת את מספר הקיצונים היא של הנגזרת. ובשאלת «עולה לכל xx», גם Δ=0\Delta=0 מתקבל.

f′(1)=0 ⇒ קיצוןf'(1)=0 \ \Rightarrow\ \text{קיצון}
f′(1)=0 ⇒ ?f'(1)=0 \ \Rightarrow\ ?

מ-f′(1)=0f'(1)=0 ממשיכים לבדיקת סימנים: אחרי שמצאתם את הפרמטר, בודקים שבאמת יש החלפת סימן. לפעמים הערך שמתקבל נותן נגיעה בלבד.

Exercices

Exercice 1

נתונה f(x)=x3+ax2−9x+1f(x)=x^3+ax^2-9x+1. ל-ff יש נקודת קיצון ב-x=1x=1. מצאו את aa.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

f′(x)=3x2+2ax−9f'(x)=3x^2+2ax-9

גוזרים; aa הוא מספר קבוע

f′(1)=3+2a−9=0\begin{aligned}f'(1) &= 3+2a-9 \\ &= 0\end{aligned}

בקיצון הנגזרת מתאפסת

2a=6 ⇒ a=3\begin{aligned}2a &= 6 \ \Rightarrow\ a \\ &= 3\end{aligned}

On résout

מי שהציב f(1)=0f(1)=0 קיבל a=7a=7 — אבל הנתון הוא על הנגזרת. «קיצון» אומר משיק אופקי, לא חיתוך עם הציר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתונה f(x)=x3+3x2−9x+1f(x)=x^3+3x^2-9x+1 (הערך a=3a=3 מהשאלה הקודמת). מה סוג נקודת הקיצון ב-x=1x=1, והיכן נקודת הקיצון השנייה?

  1. מקסימום; השנייה ב-x=3x=3
  2. מקסימום; השנייה ב-x=−3x=-3
  3. מינימום; השנייה ב-x=3x=3
  4. מינימום; השנייה ב-x=−3x=-3
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D מינימום; השנייה ב-x=−3x=-3

Corrigé :

f′(x)=3x2+6x−9=3(x+3)(x−1)\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2+6x-9 \\ &= 3(x+3)(x-1)\end{aligned}

מפרקים

f′(0)=−9<0  f′(2)=15>0\begin{aligned}f'(0) &= -9<0 \\ \ \ f'(2) &= 15>0\end{aligned}

סביב x=1x=1: מ-−- ל-++

x=−3x=-3

השורש השני של הנגזרת — שם מקסימום

התשובה: מינימום; השנייה ב-x=−3x=-3. «השנייה ב-x=3x=3» נובעת מקריאת הגורם (x+3)(x+3) עם סימן הפוך.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתונה המשפחה f(x)=x3−3axf(x)=x^3-3ax. עבור אילו ערכי aa יש ל-ff שתי נקודות קיצון?

  1. a>0a>0
  2. לכל aa
  3. a≥0a \ge 0
  4. a<0a<0
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A a>0a>0

Corrigé :

f′(x)=3x2−3af'(x)=3x^2-3a

גוזרים

f′(x)=0  ⟺  x2=a\begin{aligned}f'(x) &= 0 \iff x^2 \\ &= a\end{aligned}

משווים לאפס

a>0⇒x=±aa>0 \Rightarrow x=\pm\sqrt{a}

שני שורשים פשוטים — שתי החלפות סימן

התשובה: a>0a>0. ב-a=0a=0 מתקבל f(x)=x3f(x)=x^3: הנגזרת 3x23x^2 נוגעת בציר ואינה מחליפה סימן — אין קיצון. לכן a≥0a \ge 0 שגוי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

קיים פולינום ממעלה שלישית שיש לו בדיוק נקודת קיצון אחת.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

f′(x)=Ax2+Bx+C A≠0\begin{aligned}f'(x) &= Ax^2+Bx+C \\ \ A \ne 0\end{aligned}

הנגזרת היא פרבולה

Δ>0: 2Δ≤0: 0\Delta>0: \ 2 \qquad \Delta \le 0: \ 0

שני שורשים פשוטים — שתי החלפות סימן; אחרת אין החלפה

לא נכון. לפולינום ממעלה שלישית יש שתי נקודות קיצון או אף אחת. שורש כפול של הנגזרת נותן משיק אופקי בלי קיצון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

נתונה f(x)=x3+ax2+3xf(x)=x^3+ax^2+3x. ff עולה לכל xx בדיוק כאשר aa נמצא בקטע סגור. השלימו את קצות הקטע.

הערך הקטן ביותר של aa הוא ____, והערך הגדול ביותר של aa הוא ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : הערך הקטן ביותר של aa הוא -3, והערך הגדול ביותר של aa הוא 3

Corrigé :

f′(x)=3x2+2ax+3f'(x)=3x^2+2ax+3

פרבולה פתוחה כלפי מעלה

Δ=4a2−36≤0\Delta=4a^2-36 \le 0

הפרבולה לא יורדת מתחת לציר

a2≤9  ⟺  −3≤a≤3a^2 \le 9 \iff -3 \le a \le 3

On résout

בשני הקצוות Δ=0\Delta=0: הנגזרת נוגעת בציר בנקודה אחת, ו-ff עדיין עולה. מי שכתב אי-שוויון חזק איבד את a=±3a=\pm 3.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

נתונה f(x)=ax3+bxf(x)=ax^3+bx. ל-ff יש נקודת קיצון ב-(1, −2)(1,\,-2). מצאו את bb.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -3

Corrigé :

f′(1)=3a+b=0\begin{aligned}f'(1) &= 3a+b \\ &= 0\end{aligned}

הקיצון: הנגזרת מתאפסת

f(1)=a+b=−2\begin{aligned}f(1) &= a+b \\ &= -2\end{aligned}

הנקודה על הגרף

2a=2⇒a=1  b=−3\begin{aligned}2a &= 2 \Rightarrow a \\ &= 1 \\ \ \ b &= -3\end{aligned}

מחסרים את המשוואות

השאלה מבקשת את bb, לא את a=1a=1. ובדיקה: f(x)=x3−3xf(x)=x^3-3x, ו-f(1)=−2f(1)=-2 ✓.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

תלמיד חיפש kk כך שלפונקציה f(x)=x3+kx2f(x)=x^3+kx^2 תהיה נקודת קיצון ב-x=2x=2. שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

f′(x)=3x2+2kxf'(x) = 3x^2 + 2kx
f′(2)=12+4kf'(2) = 12 + 4k
12+4k=012 + 4k = 0
k=3k = 3
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : k=3k = 3 → k=−3k = -3

Corrigé :

4k=−12⇒k=−3\begin{aligned}4k &= -12 \Rightarrow k \\ &= -3\end{aligned}

מעבירים אגף — הסימן מתהפך

f′(x)=3x2−6x=3x(x−2)\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2-6x \\ &= 3x(x-2)\end{aligned}

בדיקה: סביב x=2x=2 מ-−- ל-++, מינימום

הטעות בהעברת אגף: 4k=−124k=-12, ולכן k=−3k=-3. עם k=3k=3 הנגזרת 3x2+6x3x^2+6x מתאפסת ב-x=−2x=-2, לא ב-x=2x=2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

נתונה המשפחה f(x)=x3−3x+kf(x)=x^3-3x+k. מצאו את הערך החיובי של kk שעבורו גרף ff משיק לציר ה-xx.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

f′(x)=3x2−3=0⇒x=±1\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2-3 \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= \pm1\end{aligned}

הקיצונים לא תלויים ב-kk

f(1)=−2+k  f(−1)=2+k\begin{aligned}f(1) &= -2+k \\ \ \ f(-1) &= 2+k\end{aligned}

הגבהים של המינימום ושל המקסימום

f(1)=0⇒k=2\begin{aligned}f(1) &= 0 \Rightarrow k \\ &= 2\end{aligned}

המינימום על הציר — הגרף נוגע בו

f(−1)=0⇒k=−2\begin{aligned}f(-1) &= 0 \Rightarrow k \\ &= -2\end{aligned}

הערך השני, השלילי

kk מזיז את הגרף למעלה ולמטה בלי לשנות את מקום הקיצונים. גרף משיק לציר xx = נקודת קיצון בגובה 00.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

נתונה f(x)=x3−3x+kf(x)=x^3-3x+k. עבור אילו kk יש ל-ff שלושה שורשים?

  1. k<−2k<-2 או k>2k>2
  2. k>2k>2
  3. −2<k<2-2<k<2
  4. −2≤k≤2-2 \le k \le 2
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C −2<k<2-2<k<2

Corrigé :

max⁡=f(−1)=2+k  min⁡=f(1)=−2+k\begin{aligned}\max &= f(-1) \\ &= 2+k \\ \ \ \min &= f(1) \\ &= -2+k\end{aligned}

הגבהים של הקיצונים

2+k>0 וגם −2+k<02+k>0 \ \text{וגם} \ -2+k<0

המקסימום מעל הציר והמינימום מתחתיו

−2<k<2-2<k<2

שלוש נקודות חיתוך

התשובה: −2<k<2-2<k<2. בקצוות k=±2k=\pm2 אחד הקיצונים נוגע בציר, ונשארים שני שורשים — לכן אי-שוויון חזק.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

נתונה f(x)=x3+ax2−xf(x)=x^3+ax^2-x. הוכיחו כי לכל ערך של aa יש ל-ff שתי נקודות קיצון.

  • f(x)=x3+ax2−xf(x)=x^3+ax^2-x
  • aa מספר ממשי כלשהו

ל-ff שתי נקודות קיצון לכל aa

Voir la réponse et le corrigé
  1. f′(x)=3x2+2ax−1f'(x)=3x^2+2ax-1 — גזירה איבר-איבר
  2. Δ=4a2+12\Delta=4a^2+12 — הדיסקרימיננטה של הנגזרת
  3. Δ>0\Delta>0 לכל aa — 4a2≥04a^2 \ge 0, ולכן 4a2+12≥124a^2+12 \ge 12
  4. ל-f′f' שני שורשים שונים, ובכל אחד מהם היא מחליפה סימן — לפרבולה עם Δ>0\Delta>0 שני שורשים פשוטים
  5. ל-ff שתי נקודות קיצון לכל aa — החלפת סימן של הנגזרת — נקודת קיצון
Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe