Étude complète d'un polynôme · Étude d'un polynôme et primitive · Kita י

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

חקירה מלאה היא שאלה שלמה בבגרות, והיא נפתרת בסדר קבוע. נעשה את כל הסעיפים על פונקציה אחת: $f(x) = x^3 - 3x^2$ .

1

תחום הגדרה

2

נקודות חיתוך עם הצירים

3

נגזרת ונקודות חשודות לקיצון

4

טבלת סימנים — עלייה, ירידה וסוג הקיצון

5

תחומי חיוביות ושליליות, ולפעמים זוגיות

6

שרטוט, ואחריו שאלות על הגרף: קטע סגור, $f(x)=k$

1. תחום הגדרה

$f$ היא פולינום: אין מכנה ואין שורש, ולכן התחום הוא כל $x$ . הסעיף הזה קצר כאן — אבל הוא הראשון תמיד, וברציונלית הוא זה שקובע את כל השאר.

2. נקודות חיתוך עם הצירים

\begin{aligned}x &= 0 \Rightarrow f(0) \\ &= 0\end{aligned}

חיתוך עם ציר $y$ בנקודה $(0,\, 0)$ .

x^3 - 3x^2 = 0

ולחיתוך עם ציר $x$ משווים לאפס.

פתרון המשוואה

מוצאים את נקודות החיתוך עם ציר ה- $x$ .

x^2(x - 3) = 0

מוציאים גורם משותף — תמיד לפני כל דבר אחר

\begin{aligned}x &= 0 \ \ \text{או} \ \ x \\ &= 3\end{aligned}

מכפלה מתאפסת

(0,\, 0) \ , \ (3,\, 0)

שתי נקודות החיתוך

3. נגזרת ונקודות קיצון

החשודות

גוזרים ומשווים לאפס.

f'(x) = 3x^2 - 6x

גוזרים איבר-איבר

3x(x - 2) = 0

מפרקים לגורמים

\begin{aligned}x &= 0 \ \ \text{או} \ \ x \\ &= 2\end{aligned}

שתי נקודות חשודות

הן חשודות בלבד. $f'(a) = 0$ הוא תנאי הכרחי לקיצון, לא מספיק — ב- $y = x^3$ הנגזרת מתאפסת ב- $0$ ואין שם קיצון כלל. הטבלה היא שמכריעה.

4. טבלת הסימנים

x < 0 \ , \ x > 2

תחומי עלייה — שם $f' > 0$ .

0 < x < 2

תחום ירידה — שם $f' < 0$ .

למה בטבלה בודקים את הסימן של $f'$ ולא את הערך שלה?

Voir la réponse et le corrigé

כי מה שקובע עלייה או ירידה הוא הסימן בלבד. $f'(1) = -3$ ו- $f'(1.5) = -2.25$ שונים בערכם, אבל שניהם שליליים — ובשני המקומות הפונקציה יורדת. חישוב הערך המדויק הוא בזבוז זמן במבחן.

5. תחומי חיוביות ושליליות

שימו לב להבדל: עד כאן בדקנו את הסימן של הנגזרת. עכשיו בודקים את הסימן של הפונקציה עצמה — שאלה אחרת לגמרי, עם שורשים אחרים.

סימן הפונקציה

מתי $f(x) > 0$ ומתי $f(x) < 0$ ?

f(x) = x^2(x - 3)

חוזרים לצורה המפורקת

x^2 \geq 0 \ \ \text{תמיד}

הגורם הראשון לעולם אינו שלילי

\Rightarrow (x-3)

ולכן הסימן נקבע על ידי $(x-3)$

f(x) > 0 \iff x > 3

חיובית

f(x) < 0 \iff x < 3 \ , \ x \neq 0

שלילית, פרט לשורש הכפול

ב- $x = 0$ הפונקציה מתאפסת ולא מחליפה סימן — זה מה שעושה שורש כפול. הגרף נוגע בציר ולא חוצה אותו.

זוגיות — חוסכת חצי מהעבודה

בפולינום שבו כל החזקות זוגיות, כמו $g(x)=x^4-2x^2$ , מתקיים $g(-x)=g(x)$ : הגרף סימטרי ביחס לציר ה- $y$ . לכן כל נקודת קיצון מימין לציר מופיעה גם משמאלו, באותו גובה.

ל- $g(x)=x^4-2x^2$ יש מינימום בנקודה $(1,\,-1)$ . בלי לגזור: איפה עוד יש מינימום, ומה אפשר לומר על $x=0$ ?

Voir la réponse et le corrigé

ב- $(-1,\,-1)$ , בגלל הסימטריה. ב- $x=0$ הגרף חייב להיות אופקי (שני הצדדים תמונת ראי), וכאן $g(0)=0>-1$ — זה מקסימום. בדיקה: $g'(x)=4x^3-4x=4x(x-1)(x+1)$ .

השרטוט

הגרף של f(x) = x³ − 3x², אחרי החקירה

רק עכשיו משרטטים: שתי נקודות החיתוך, שתי נקודות הקיצון, ובין כל שתיים — עלייה או ירידה לפי הטבלה.

6. וסעיף מיוחד: כמה פתרונות ל- $f(x) = k$

שאלה שחוזרת בבגרות: מצאו את ערכי $k$ שעבורם לישר $y = k$ יש 3 נקודות חיתוך עם הגרף. היא נראית חדשה, אבל כל הנתונים כבר בידינו.

$y = k$ הוא ישר אופקי. השאלה היא באיזה גובה להעביר אותו כדי שיפגוש את הגרף שלוש פעמים — והתשובה נקראת ישירות מהקיצון.

k > 0

הישר גבוה מהמקסימום — נקודה אחת.

k = 0

עובר דרך המקסימום — שתי נקודות.

-4 < k < 0

בין המינימום למקסימום — שלוש נקודות.

k = -4

עובר דרך המינימום — שתי נקודות.

k < -4

נמוך מהמינימום — נקודה אחת.

התשובה: $-4 < k < 0$ , ממש בין ערך המינימום לערך המקסימום. שני הקצוות אינם נכללים — שם הישר משיק לקיצון ומספר הנקודות יורד לשתיים.

עבור אילו ערכי $k$ יש לישר $y = k$ בדיוק שתי נקודות חיתוך?

Voir la réponse et le corrigé

$k = 0$ או $k = -4$ בלבד — בדיוק בגובה הקיצון. שם הישר נוגע בקצה ולא חוצה אותו, ושתי נקודות מתאחדות לאחת.

7. ערך גדול ביותר וקטן ביותר בקטע סגור

לפעמים השאלה מגבילה את $x$ לקטע, למשל $1 \le x \le 4$ . בקטע סגור הגרף הוא חתיכה עם שני קצוות — והערך הגדול ביותר יכול לשבת בקצה, לא בנקודת קיצון. לכן משווים בין כל המועמדים.

Activité interactive

הערך הגדול ביותר והקטן ביותר של $f(x)=x^3-3x^2$ בקטע $1 \le x \le 4$

\begin{aligned}f(x) &= x^3 - 3x^2 \\ \quad 1 \le x \le 4\end{aligned}

לחצו «להתחיל». לפני כל שלב, נסו לנחש: מי מהמועמדים ינצח?

חשודות

\begin{aligned}f'(x) &= 3x(x-2) \\ &= 0 \ \Rightarrow\ x \\ &= 0 \\ \ x &= 2\end{aligned}

את החשודות כבר מצאנו בחקירה.

בתוך הקטע?

\begin{aligned}x &= 2 \in [1,\,4] \\ \quad x &= 0 \notin [1,\,4]\end{aligned}

$x=0$ נפסל — הוא מחוץ לקטע, ולא מציבים אותו.

הקצוות

\begin{aligned}f(1) &= 1 - 3 \\ &= -2 \\ \quad f(4) &= 64 - 48 \\ &= 16\end{aligned}

שני הקצוות הם תמיד מועמדים.

החשודה

\begin{aligned}f(2) &= 8 - 12 \\ &= -4\end{aligned}

והנקודה החשודה שבתוך הקטע.

משווים

\begin{aligned}\max &= f(4) \\ &= 16 \\ \quad \min &= f(2) \\ &= -4\end{aligned}

הגדול ביותר נמצא בקצה $x=4$ , ולא בנקודת קיצון.

שלושה מועמדים בלבד: שני הקצוות, והחשודות שבתוך הקטע. ההשוואה היא בערכי $f$ , לא בערכי $x$ .

Faire l'activité sur elev

מה הערך הגדול ביותר של אותה $f$ בקטע $-1 \le x \le 1$ ?

Voir la réponse et le corrigé

$0$ , ב- $x=0$ . המועמדים: $f(-1)=-4$ , $f(0)=0$ , $f(1)=-2$ . הפעם החשודה $x=0$ בתוך הקטע, והיא שמנצחת.

שתי הטעויות של החקירה.

f'(a) = 0 \Rightarrow \text{קיצון}

צריך טבלת סימנים: בלי הטבלה אי אפשר לדעת. ב- $y = x^3$ הנגזרת מתאפסת ב- $0$ , הסימן אינו מתחלף, ואין שם קיצון.

\text{סימן } f' \ = \ \text{סימן } f

שתי שאלות נפרדות. תחומי עלייה באים מסימן הנגזרת; תחומי חיוביות מסימן הפונקציה. כאן $f$ שלילית ב- $x=1$ ובאותו מקום גם יורדת — אבל זה צירוף מקרים, לא כלל.

\begin{aligned}\max_{[1,4]} f &= f(0) \\ &= 0\end{aligned}

\begin{aligned}\max_{[1,4]} f &= f(4) \\ &= 16\end{aligned}

בקטע סגור מציבים רק חשודות שבתוך הקטע, ותמיד גם את שני הקצוות. מקסימום מקומי אינו בהכרח הערך הגדול ביותר.

Exercices

Exercice 1

נתון $f(x) = x^3 - 3x^2$ . מהו ערך המקסימום המקומי?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0

Corrigé :

\begin{aligned}f'(x) &= 3x(x-2) \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 0 \\ \ 2\end{aligned}

החשודות

+ \rightarrow - \ \text{ב-} x=0

הטבלה

f(0) = 0

La valeur

שימו לב: השאלה מבקשת את הערך $f(0)$ , לא את המיקום $x=0$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתון $f(x) = x^3 - 3x^2$ . מהו ערך המינימום המקומי?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -4

Corrigé :

x = 2

מהטבלה

\begin{aligned}f(2) &= 8 - 12 \\ &= -4\end{aligned}

מציבים ב- $f$

מציבים ב- $f$ , לא ב- $f'$ — ב- $f'$ התוצאה תמיד אפס.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתון $f(x) = x^3 - 3x^2$ . מהם תחומי העלייה?

$x>3$
כל $x$
$x<0$ או $x>2$
$0<x<2$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $x<0$ או $x>2$

Corrigé :

f'(x)=3x(x-2)

הנגזרת מפורקת

f'>0 \iff x<0 \ \text{או} \ x>2

פרבולה פתוחה כלפי מעלה — חיובית מחוץ לשורשים

התשובה: $x<0$ או $x>2$ . « $0<x<2$ » הוא תחום הירידה, ו-« $x>3$ » הוא תחום החיוביות של $f$ — שאלה אחרת, עם שורשים אחרים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

עבור אילו $k$ יש לישר $y = k$ שלוש נקודות חיתוך עם $f(x) = x^3 - 3x^2$ ?

$k > 0$
$k < -4$
$-4 \leq k \leq 0$
$-4 < k < 0$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $-4 < k < 0$

Corrigé :

\begin{aligned}\text{מקסימום} &= 0 \\ \ \text{מינימום} &= -4\end{aligned}

מהחקירה

-4 < k < 0

ממש בין השניים

הקצוות אינם נכללים: ב- $k=0$ וב- $k=-4$ הישר עובר דרך הקיצון עצמו, ואז יש רק שתי נקודות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

נתון $f(x) = x^3 - 3x^2$ . מתי $f(x) > 0$ ?

$0 < x < 3$
$x > 0$
$x > 3$
$x < 0$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $x > 3$

Corrigé :

f(x) = x^2(x-3)

מפרקים

x^2 \geq 0

הגורם הראשון אינו שלילי

x - 3 > 0

ולכן הסימן תלוי רק בו

אל תבלבלו עם תחומי העלייה — שאלה אחרת, שורשים אחרים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

נתון $g(x) = x^3 - 12x$ . מהו ערך המינימום המקומי?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -16

Corrigé :

\begin{aligned}g'(x) &= 3x^2 - 12 \\ &= 0\end{aligned}

גוזרים

x = \pm 2

שתי חשודות

\begin{aligned}g(2) &= 8 - 24 \\ &= -16\end{aligned}

והמינימום ב- $x=2$

ב- $x = -2$ יש מקסימום, וערכו $16$ . שני קיצונים, שני ערכים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

נתונה $f(x) = x^3 - 3x^2$ . הוכיחו שב- $x = 2$ יש נקודת מינימום.

$f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x-2)$
$f'(2) = 0$

ב- $x = 2$ יש מינימום

Voir la réponse et le corrigé

$f'(1) = 3 \cdot 1 \cdot (-1) = -3 < 0$ — הצבת נקודה מהתחום $0 < x < 2$
$f'(3) = 3 \cdot 3 \cdot 1 = 9 > 0$ — הצבת נקודה מהתחום $x > 2$
הנגזרת עוברת משלילית לחיובית סביב $x = 2$ — השוואת שני הסימנים משני צדי הנקודה
ב- $x = 2$ יש מינימום — מעבר של הנגזרת מ- $-$ ל- $+$ מעיד על מינימום

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

נתונה $g(x)=2x^3-9x^2+12x$ . מהו הערך הגדול ביותר של $g$ בקטע $0 \le x \le 3$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 9

Corrigé :

\begin{aligned}g'(x) &= 6x^2-18x+12 \\ &= 6(x-1)(x-2)\end{aligned}

גוזרים ומפרקים

\begin{aligned}x &= 1 \\ \ x &= 2 \in [0,\,3]\end{aligned}

שתי החשודות בתוך הקטע

\begin{aligned}g(0) &= 0 \\ \ \ g(1) &= 5 \\ \ \ g(2) &= 4 \\ \ \ g(3) &= 54-81+36 \\ &= 9\end{aligned}

ארבעה מועמדים

\begin{aligned}\max &= g(3) \\ &= 9\end{aligned}

הגדול ביותר — בקצה

המקסימום המקומי $g(1)=5$ אינו הערך הגדול ביותר בקטע: בקצה $x=3$ הפונקציה כבר עלתה ל- $9$ . בלי הצבת הקצוות מפספסים אותו.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

נתונה $h(x)=x^3-12x$ . מהו הערך הגדול ביותר של $h$ בקטע $-1 \le x \le 3$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 11

Corrigé :

\begin{aligned}h'(x) &= 3x^2-12 \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= \pm 2\end{aligned}

החשודות

x=-2 \notin [-1,\,3]

נפסלת — מחוץ לקטע

\begin{aligned}h(-1) &= 11 \\ \ \ h(2) &= -16 \\ \ \ h(3) &= -9\end{aligned}

הקצוות והחשודה שבפנים

\begin{aligned}\max &= h(-1) \\ &= 11\end{aligned}

בקצה השמאלי

המלכודת היא $h(-2)=16$ : זה אכן מקסימום מקומי, אבל $x=-2$ מחוץ לקטע. בודקים שייכות לקטע לפני שמציבים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

נתונה $f(x)=x^4-8x^2+3$ . מהן נקודות הקיצון של $f$ ?

מינימום $(0,\ 3)$ , מקסימום $(2,\ -13)$ ו- $(-2,\ -13)$
מקסימום $(0,\ 0)$ , מינימום $(2,\ 0)$ ו- $(-2,\ 0)$
מקסימום $(0,\ 3)$ , מינימום $(2,\ -13)$ ו- $(-2,\ -13)$
מקסימום $(0,\ 3)$ ומינימום $(2,\ -13)$ בלבד

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C מקסימום $(0,\ 3)$ , מינימום $(2,\ -13)$ ו- $(-2,\ -13)$

Corrigé :

\begin{aligned}f'(x) &= 4x^3-16x \\ &= 4x(x-2)(x+2)\end{aligned}

גוזרים ומפרקים

f'(-3)<0,\ f'(-1)>0,\ f'(1)<0,\ f'(3)>0

טבלת סימנים

\begin{aligned}f(\pm 2) &= 16-32+3 \\ &= -13 \\ \ \ f(0) &= 3\end{aligned}

מציבים ב- $f$ ; זוגית — אותו ערך ב- $\pm 2$

התשובה: מקסימום $(0,\ 3)$ , מינימום $(\pm 2,\ -13)$ . מי ששכח את $x=-2$ איבד את הסימטריה של פונקציה זוגית; מי שכתב $y=0$ הציב בנגזרת.

Vérifier la réponse sur elev

1. תחום הגדרה

2. נקודות חיתוך עם הצירים

3. נגזרת ונקודות קיצון

4. טבלת הסימנים

5. תחומי חיוביות ושליליות

זוגיות — חוסכת חצי מהעבודה

השרטוט

6. וסעיף מיוחד: כמה פתרונות ל-f(x)=kf(x) = kf(x)=k

7. ערך גדול ביותר וקטן ביותר בקטע סגור

Exercices

La suite se pratique sur elev

6. וסעיף מיוחד: כמה פתרונות ל- $f(x) = k$