Série 4 — avancé · Lieux géométriques et quatrième cas d'isométrie · Kita י

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

סדרה 4 מערבבת את כל הנושאים בשאלות של שני שלבים ויותר: שני מקומות גאומטריים שנחתכים, מרכז הכובד ומרכז המעגל החוסם על אותו תיכון, תנאי קיום של שני משולשים, ושתי הוכחות שבונות משפט מתוך מקום גאומטרי.

כאן כדאי לשרטט לבד לפני שמסתכלים בשרטוט: מה שנראה ברור בשרטוט הנתון לא תמיד כתוב בנתונים. שש נכונות ומעלה — עברו לסדרה 5.

Exercices

Exercice 1

הישרים $k$ ו- $m$ מקבילים, והמרחק ביניהם $10$ . הנקודה $A$ על הישר $k$ . מחפשים נקודות שמרחקן מ- $k$ שווה למרחקן מ- $m$ , ומרחקן מ- $A$ שווה ל- $13$ .

יש ____ נקודות כאלה, והמרחק ביניהן ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : יש 2 נקודות כאלה, והמרחק ביניהן 24

Corrigé :

\begin{aligned}d(P, k) &= d(P, m) \\ &= 5\end{aligned}

המקום הראשון: ישר האמצע, במרחק $5$ מ- $k$

PA = 13

המקום השני: מעגל שמרכזו $A$

\sqrt{13^2 - 5^2} = 12

כל נקודה נמצאת $12$ ימינה או שמאלה מהאנך מ- $A$

12 + 12 = 24

שתי נקודות, במרחק $24$ . המלכודת: למדוד $13$ לאורך ישר האמצע עצמו, במקום לחשב את ההיטל $12$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

במשולש $ABC$ , $I$ היא נקודת החיתוך של חוצה הזווית $A$ וחוצה הזווית $B$ . הוכיחו כי $I$ נמצאת על חוצה הזווית $C$ .

$AI$ חוצה את $\angle A$
$BI$ חוצה את $\angle B$

$I$ על חוצה הזווית $C$

Voir la réponse et le corrigé

$I$ במרחק שווה מ- $AB$ ומ- $AC$ — כל נקודה על חוצה זווית נמצאת במרחק שווה משוקי הזווית
$I$ במרחק שווה מ- $BA$ ומ- $BC$ — כל נקודה על חוצה זווית נמצאת במרחק שווה משוקי הזווית
$I$ במרחק שווה מ- $CA$ ומ- $CB$ — כלל המעבר
$I$ בתוך הזווית $C$ — חוצי הזוויות $A$ ו- $B$ עוברים בתוך המשולש, ולכן גם נקודת החיתוך שלהם
$I$ על חוצה הזווית $C$ — נקודה בתוך זווית שמרחקה משוקי הזווית שווה נמצאת על חוצה הזווית

Corrigé :

\Rightarrow

$I$ במרחק שווה מ- $AB$ ומ- $AC$ — כל נקודה על חוצה זווית נמצאת במרחק שווה משוקי הזווית

\Rightarrow

$I$ במרחק שווה מ- $BA$ ומ- $BC$ — כל נקודה על חוצה זווית נמצאת במרחק שווה משוקי הזווית

\Rightarrow

$I$ במרחק שווה מ- $CA$ ומ- $CB$ — כלל המעבר

\Rightarrow

$I$ בתוך הזווית $C$ — חוצי הזוויות $A$ ו- $B$ עוברים בתוך המשולש, ולכן גם נקודת החיתוך שלהם

\Rightarrow

$I$ על חוצה הזווית $C$ — נקודה בתוך זווית שמרחקה משוקי הזווית שווה נמצאת על חוצה הזווית

שני כיווני המקום הגאומטרי של חוצה הזווית, והנקודה היא מרכז המעגל החסום. המלכודת: לשכוח לציין ש- $I$ בתוך הזווית $C$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

משולש שווה שוקיים $ABC$ ( $AB = AC$ ) הוא חד זווית. $BC = 24$ ורדיוס המעגל החוסם $13$ . מצאו את $AB$ (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 21.63

Corrigé :

\begin{aligned}OD &= \sqrt{13^2 - 12^2} \\ &= 5\end{aligned}

פיתגורס במשולש $ODB$ ; $O$ על האנך האמצעי של $BC$

\begin{aligned}AD &= AO + OD \\ &= 13 + 5 \\ &= 18\end{aligned}

במשולש חד זווית $O$ בתוך המשולש, בין $A$ ל- $D$

\begin{aligned}AB &= \sqrt{12^2 + 18^2} \\ &= \sqrt{468} \approx 21.63\end{aligned}

$AB \approx 21.63$ . המלכודת: $AD = 13 - 5 = 8$ — זה המשולש הקהה, שבו $O$ מחוץ למשולש.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

במשולש $ABC$ הזווית $C$ ישרה, $AC = 9$ ו- $BC = 12$ . $O$ מרכז המעגל החוסם ו- $G$ מרכז הכובד. מצאו את $OG$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2.5

Corrigé :

\begin{aligned}AB &= 15 \\ \quad O \text{ אמצע } AB\end{aligned}

מרכז המעגל החוסם באמצע היתר

CO = 7.5

התיכון ליתר

\begin{aligned}G \in CO \\ \quad GO &= \frac{1}{3} \cdot 7.5 \\ &= 2.5\end{aligned}

מרכז הכובד על אותו תיכון, שליש ממנו ליד הצלע

$OG = 2.5$ . המלכודת: $\frac{2}{3} \cdot 7.5 = 5$ — זה $CG$ , מהקודקוד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

הוכיחו או הפריכו: אם מרכז הכובד של משולש $ABC$ נמצא על הגובה מ- $A$ , אז $AB = AC$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

G \in AD

הישר $AG$ הוא התיכון מ- $A$ , כי $G$ על כל תיכון

\begin{aligned}AD \perp BC \\ \quad BD &= DC\end{aligned}

אותו ישר הוא גם הגובה — אז הוא האנך האמצעי של $BC$

\Rightarrow AB = AC

$A$ על האנך האמצעי של $BC$ — כיוון (א)

נכון. המלכודת: לחשוב שכל ישר דרך $A$ ו- $G$ הוא רק גובה — הוא בו בזמן גם התיכון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

אורכי צלעות המשולש $7$ , $24$ ו- $25$ . מהם רדיוס המעגל החסום $r$ ורדיוס המעגל החוסם $R$ ?

$r = 6$ , $R = 25$
$r = 3$ , $R = 25$
$r = 12.5$ , $R = 3$
$r = 3$ , $R = 12.5$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $r = 3$ , $R = 12.5$

Corrigé :

7^2 + 24^2 = 25^2

ישר זווית, לפי פיתגורס ההפוך

\begin{aligned}R &= \frac{25}{2} \\ &= 12.5\end{aligned}

חצי היתר

\begin{aligned}r &= \frac{2 \cdot 84}{56} \\ &= 3\end{aligned}

$S = \frac{7 \cdot 24}{2} = 84$ , $P = 56$

התשובה: « $r = 3$ , $R = 12.5$ ». המלכודות: $R = 25$ שוכח את החצי, $r = 6$ שוכח את החלוקה ב-2 של השטח, והאחרונה מחליפה בין החסום לחוסם.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

נתון $\angle A = 30^\circ$ ו- $AB = 12$ . מה האורך השלם הקטן ביותר של $BC$ שעבורו יש שני משולשים $ABC$ שאינם חופפים?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 7

Corrigé :

\begin{aligned}BH &= \frac{12}{2} \\ &= 6\end{aligned}

המרחק מ- $B$ לשוק השנייה

BC = 6

משולש אחד — ישר זווית

6 < BC < 12

שני משולשים: הזווית מול הצלע הקטנה, והמעגל חותך את השוק פעמיים

BC = 7

השלם הקטן ביותר בתחום

$BC = 7$ . המלכודת: $BC = 6$ — שם המעגל רק נוגע בשוק ונותן משולש אחד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

קודקודי המשולש $A(2,5)$ , $B(8,1)$ , $C(-1,3)$ . תלמיד מצא את מרכז הכובד דרך התיכון $AD$ . שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

\begin{aligned}D &= \left( \frac{8 - 1}{2}, \frac{1 + 3}{2} \right) \\ &= (3.5, 2)\end{aligned}

G = A + \tfrac{2}{3}(D - A)

D - A = (1.5, -3)

\begin{aligned}G &= (2, 5) + (1, -2) \\ &= (3, 4)\end{aligned}

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $G = (2, 5) + (1, -2) = (3, 4)$ → $G = (2, 5) + (1, -2) = (3, 3)$

Corrigé :

\tfrac{2}{3}(1.5, -3) = (1, -2)

נכון

5 + (-2) = 3

השיעור השני

\begin{aligned}\frac{2 + 8 - 1}{3} &= 3 \\ \quad \frac{5 + 1 + 3}{3} &= 3\end{aligned}

בדיקה בנוסחת הממוצע

$G = (3,3)$ . השיטה נכונה, והטעות בחיבור האחרון. המלכודת: לא לבדוק — נוסחת הממוצע תופסת טעות כזאת בשנייה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

במרובע $ABCD$ נתון $AB = 36$ , $BC = 77$ , $CD = 40$ , $DA = 75$ והאלכסון $AC = 85$ . מצאו את שטח המרובע.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2886

Corrigé :

\begin{aligned}36^2 + 77^2 &= 1296 + 5929 \\ &= 7225 \\ &= 85^2\end{aligned}

$\angle B = 90^\circ$

\begin{aligned}40^2 + 75^2 &= 1600 + 5625 \\ &= 7225 \\ &= 85^2\end{aligned}

$\angle D = 90^\circ$

\begin{aligned}S &= \frac{36 \cdot 77}{2} + \frac{40 \cdot 75}{2} \\ &= 1386 + 1500 \\ &= 2886\end{aligned}

$S = 2886$ . המלכודת: לחבר את אורכי הצלעות בזוגות בלי לבדוק איזו זווית ישרה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

במשולש $ABC$ הזווית $C$ ישרה. $M$ אמצע היתר $AB$ , ו- $K$ אמצע הניצב $AC$ . הוכיחו כי $MA = MC$ .

$\angle ACB = 90^\circ$
$M$ אמצע $AB$ , $K$ אמצע $AC$

$MA = MC$

Voir la réponse et le corrigé

$MK \parallel BC$ — קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע השלישית
$BC \perp AC$ — נתון — הזווית $C$ ישרה
$MK \perp AC$ — ישר המאונך לאחד משני ישרים מקבילים מאונך גם לשני
$MK$ הוא האנך האמצעי של $AC$ — ישר שעובר באמצע קטע ומאונך לו
$MA = MC$ — כל נקודה על האנך האמצעי של קטע נמצאת במרחק שווה מקצותיו

Corrigé :

MK \parallel BC

קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע השלישית

BC \perp AC

נתון — הזווית $C$ ישרה

MK \perp AC

ישר המאונך לאחד משני ישרים מקבילים מאונך גם לשני

\Rightarrow

$MK$ הוא האנך האמצעי של $AC$ — ישר שעובר באמצע קטע ומאונך לו

MA = MC

כל נקודה על האנך האמצעי של קטע נמצאת במרחק שווה מקצותיו

כך מוכיחים שהתיכון ליתר שווה למחצית היתר — דרך מקום גאומטרי. המלכודת: לצטט את המשפט עצמו כנימוק, כשהוא מה שמוכיחים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercices

La suite se pratique sur elev