Série 5 — vers le bagrut · Lieux géométriques et quatrième cas d'isométrie · Kita י

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

סדרה 5 בנויה כמו שאלות הבגרות: הוכחות של כמה שורות, «הוכיחו או הפריכו», חישובים שדורשים שני משפטים ברצף, ושאלה אחת שמשלימה את ההוכחה שהגבהים נפגשים בנקודה אחת.

בכל «הוכיחו» כתבו טענה ונימוק לכל שורה, ובכל «הפריכו» — דוגמה נגדית עם מספרים. חמש נכונות ומעלה כאן זו כבר רמת בגרות.

Exercices

Exercice 1

דרך כל קודקוד של המשולש $ABC$ מעבירים ישר המקביל לצלע שמולו, ונוצר המשולש $PQR$ ( $A$ על $QR$ ). $AD$ הגובה לצלע $BC$ . הוכיחו כי $AD$ הוא האנך האמצעי של $QR$ .

$QR \parallel BC$ , $RP \parallel AC$ , $PQ \parallel AB$
$AD \perp BC$

$AD$ הוא האנך האמצעי של $QR$

Voir la réponse et le corrigé

$ABCQ$ מקבילית — מרובע ששני זוגות צלעותיו הנגדיות מקבילים
$ACBR$ מקבילית — מרובע ששני זוגות צלעותיו הנגדיות מקבילים
$AQ = BC$ — במקבילית צלעות נגדיות שוות
$AR = BC$ — במקבילית צלעות נגדיות שוות
$AQ = AR$ — כלל המעבר
$AD \perp BC$ — נתון — גובה
$AD \perp QR$ — ישר המאונך לאחד משני ישרים מקבילים מאונך גם לשני
$AD$ הוא האנך האמצעי של $QR$ — ישר שעובר באמצע קטע ומאונך לו

Corrigé :

\Rightarrow

$ABCQ$ מקבילית — מרובע ששני זוגות צלעותיו הנגדיות מקבילים

\Rightarrow

$ACBR$ מקבילית — מרובע ששני זוגות צלעותיו הנגדיות מקבילים

AQ = BC

במקבילית צלעות נגדיות שוות

AR = BC

במקבילית צלעות נגדיות שוות

AQ = AR

כלל המעבר

AD \perp BC

נתון — גובה

AD \perp QR

ישר המאונך לאחד משני ישרים מקבילים מאונך גם לשני

\Rightarrow

$AD$ הוא האנך האמצעי של $QR$ — ישר שעובר באמצע קטע ומאונך לו

כך כל גובה של $ABC$ הוא אנך אמצעי של $PQR$ , והאנכים האמצעיים נפגשים בנקודה אחת — לכן גם הגבהים. המלכודת: לסמן את הישר $QR$ כמקביל ל- $AC$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

קודקודי המשולש $A(0,0)$ , $B(8,0)$ ו- $C(2,6)$ . מצאו את מרכז המעגל החוסם $O$ .

$O =$ ( ____ , ____ )

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $O =$ ( 4 , 2 )

Corrigé :

x_O = 4

האנך האמצעי של $AB$ הוא הישר $x = 4$

\begin{aligned}OA^2 &= OC^2: \ 16 + y^2 \\ &= 4 + (y - 6)^2\end{aligned}

כיוון (א) — $O$ שווה מרחק מ- $A$ ומ- $C$

\begin{aligned}16 &= 40 - 12y \Rightarrow y \\ &= 2\end{aligned}

$O(4, 2)$ , ובדיקה: $OA^2 = OB^2 = OC^2 = 20$ . המלכודת: לקחת את מרכז הכובד $(\frac{10}{3}, 2)$ — שיעור ה- $y$ יוצא אותו דבר, אבל ה- $x$ לא.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

במשולש $ABC$ הזווית $C$ ישרה, $AC = 6$ ו- $BC = 8$ . $AD$ התיכון לצלע $BC$ ו- $G$ מרכז הכובד. מצאו את $AG$ (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4.81

Corrigé :

CD = 4

$D$ אמצע $BC$

\begin{aligned}AD &= \sqrt{6^2 + 4^2} \\ &= \sqrt{52}\end{aligned}

פיתגורס במשולש $ACD$

AG = \frac{2}{3}\sqrt{52} \approx 4.81

$AG \approx 4.81$ . המלכודת: לחשב את התיכון ליתר, $5$ — השאלה על התיכון לניצב $BC$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

הוכיחו או הפריכו: אם במשולש $ABC$ התיכון $AD$ שווה למחצית הצלע $BC$ , אז $\angle BAC = 90^\circ$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

\begin{aligned}DA &= DB \\ &= DC\end{aligned}

$D$ אמצע $BC$ ו- $AD = \frac{1}{2}BC$

\begin{aligned}\angle DAB &= \angle B \\ \quad \angle DAC &= \angle C\end{aligned}

שני משולשים שווי שוקיים

\begin{aligned}2(\angle B + \angle C) &= 180^\circ \Rightarrow \angle BAC \\ &= 90^\circ\end{aligned}

סכום הזוויות במשולש $ABC$

נכון — זה המשפט ההפוך לתיכון ליתר. המלכודת: לענות «לא» כי המשפט הישר כבר מוכר; משפט הפוך צריך הוכחה משלו, וכאן היא מצליחה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

במשולש $ABC$ נתון $AB = 16$ , $BC = 10$ ו- $\angle A = 30^\circ$ . יש שני משולשים כאלה. מצאו את האורך הגדול מבין שני האורכים האפשריים של $AC$ (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 19.86

Corrigé :

\begin{aligned}BH &= 8 \\ \quad AH &= 8\sqrt{3}\end{aligned}

$BH$ גובה לשוק $AC$ ; הניצב מול $30^\circ$ שווה למחצית היתר

\begin{aligned}HC &= \sqrt{100 - 64} \\ &= 6\end{aligned}

פיתגורס במשולש $BHC$

AC = 8\sqrt{3} + 6 \approx 19.86 \quad \text{או} \quad 8\sqrt{3} - 6 \approx 7.86

שני הפתרונות

$AC \approx 19.86$ . המלכודת: לחשוב שיש פתרון אחד — $10 < 16$ , הזווית מול הצלע הקטנה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

במשולש $ABC$ נתון $AB = AC = 20$ ו- $BC = 24$ . $O$ מרכז המעגל החוסם ו- $I$ מרכז המעגל החסום. מהו המרחק $OI$ ?

$3.5$
$9.5$
$6.5$
$2.5$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $2.5$

Corrigé :

\begin{aligned}AD &= \sqrt{400 - 144} \\ &= 16\end{aligned}

הגובה — שני המרכזים עליו

\begin{aligned}R^2 &= 144 + (16 - R)^2 \Rightarrow R \\ &= 12.5 \\ \quad OD &= 3.5\end{aligned}

מרכז המעגל החוסם

\begin{aligned}r &= \frac{2 \cdot 192}{64} \\ &= 6 \Rightarrow ID \\ &= 6\end{aligned}

מרכז המעגל החסום במרחק $r$ מהבסיס

\begin{aligned}OI &= 6 - 3.5 \\ &= 2.5\end{aligned}

שני המרכזים מעל הבסיס, $I$ גבוה יותר

התשובה: $2.5$ . המלכודות: $3.5$ הוא $OD$ בלבד, $6.5 = R - r$ מחסר רדיוסים במקום מרחקים מהבסיס, ו- $9.5 = OD + ID$ מניח שהם משני צדי הבסיס.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

במרובע $ABCD$ הזוויות $B$ ו- $D$ ישרות, ו- $AB = CD$ . הוכיחו כי $ABCD$ מלבן.

$\angle B = \angle D = 90^\circ$
$AB = CD$

$ABCD$ מלבן

Voir la réponse et le corrigé

$AC = CA$ — צלע משותפת
$AB = CD$ — נתון
$\angle B = \angle D = 90^\circ$ — נתון
$AC$ הצלע הגדולה במשולשים $ABC$ ו- $CDA$ — במשולש ישר זווית היתר הוא הצלע הגדולה
$\triangle ABC \cong \triangle CDA$ — צ.צ.ז — שתי צלעות והזווית שמול הגדולה מביניהן
$BC = DA$ — צלעות מתאימות במשולשים חופפים
$ABCD$ מקבילית — מרובע ששני זוגות צלעותיו הנגדיות שווים
$ABCD$ מלבן — מקבילית שיש בה זווית ישרה

Corrigé :

AC = CA

צלע משותפת

AB = CD

נתון

\begin{aligned}\angle B &= \angle D \\ &= 90^\circ\end{aligned}

נתון

\Rightarrow

$AC$ הצלע הגדולה במשולשים $ABC$ ו- $CDA$ — במשולש ישר זווית היתר הוא הצלע הגדולה

\triangle ABC \cong \triangle CDA

צ.צ.ז — שתי צלעות והזווית שמול הגדולה מביניהן

BC = DA

צלעות מתאימות במשולשים חופפים

\Rightarrow

$ABCD$ מקבילית — מרובע ששני זוגות צלעותיו הנגדיות שווים

\Rightarrow

$ABCD$ מלבן — מקבילית שיש בה זווית ישרה

המלכודת: להתאים את $AB$ ל- $AD$ — ההתאמה הנכונה $AB \leftrightarrow CD$ , ולכן המשולש השני נכתב $CDA$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

נתונות הנקודות $A(1,1)$ , $B(4,5)$ ו- $C(9,-5)$ . הוכיחו בעזרת משפט פיתגורס ההפוך שהמשולש $ABC$ ישר זווית, וחשבו את שטחו.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 25

Corrigé :

\begin{aligned}AB^2 &= 9 + 16 \\ &= 25 \\ \quad AC^2 &= 64 + 36 \\ &= 100\end{aligned}

נוסחת המרחק

\begin{aligned}BC^2 &= 25 + 100 \\ &= 125 \\ &= AB^2 + AC^2\end{aligned}

פיתגורס ההפוך: $\angle A = 90^\circ$

\begin{aligned}S &= \frac{5 \cdot 10}{2} \\ &= 25\end{aligned}

$S = 25$ . המלכודת: לחשב $\frac{AB \cdot BC}{2}$ — הזווית הישרה ב- $A$ , מול הצלע הגדולה $BC$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

במשולש $ABC$ , $G$ מרכז הכובד ו- $AD$ תיכון. נתון $AG = 3x - 2$ ו- $GD = x + 1$ .

$x =$ ____, ואורך התיכון $AD =$ ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $x =$ 4, ואורך התיכון $AD =$ 15

Corrigé :

3x - 2 = 2(x + 1)

$AG = 2 \cdot GD$

x = 4

\begin{aligned}AD &= 10 + 5 \\ &= 15\end{aligned}

$AG = 10$ , $GD = 5$

$x = 4$ , $AD = 15$ . המלכודת: $2(3x - 2) = x + 1$ — להכפיל את הקטע הלא נכון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

האם ייתכן שמרכז המעגל החוסם משולש נמצא על אחת מצלעותיו, אבל לא באמצעה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

\begin{aligned}O \in AB \\ \quad OA &= OB\end{aligned}

$O$ מרכז המעגל החוסם

\Rightarrow O \text{ אמצע } AB

נקודה על קטע שרחוקה באותה מידה משני קצותיו היא אמצעו

לא ייתכן. אם $O$ על צלע, הוא אמצעה — והמשולש ישר זווית, עם הצלע הזאת כיתר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercices

La suite se pratique sur elev