Intervalle fermé, intervalle ouvert

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

עד עכשיו חיפשנו נקודות שבהן הנגזרת מתאפסת. אבל כשהבעיה מוגבלת לקטע סגור — זמן מ-00 עד 55 שניות, נקודה שחייבת להישאר בין שני קצוות — הערך הגדול ביותר יכול לשבת בקצה, במקום שבו הנגזרת בכלל לא מתאפסת.

תמונה: מקסימום מקומי שמפסיד לקצה

זה הגרף של f(x)=x3−6x2+9x+1f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1 בקטע [0,5][0, 5]. ב-BB יש מקסימום מקומי: f(1)=5f(1) = 5. אבל בקצה הימני DD הגרף ממשיך לטפס עד f(5)=21f(5) = 21. הערך הגדול ביותר בקטע — המקסימום המוחלט — נמצא ב-DD.

לפי הגרף: היכן מתקבל הערך הקטן ביותר של ff בקטע?

Voir la réponse et le corrigé

בשתי נקודות: בקצה AA (f(0)=1f(0) = 1) ובמינימום המקומי CC (f(3)=1f(3) = 1). ערך קיצון מוחלט יכול להתקבל ביותר מנקודה אחת.

הכלל: רשימת מועמדים

[a,b][a, b]

קטע סגור. המועמדים: הנקודות שבהן f′(x)=0f'(x) = 0 בתוך הקטע, ושני הקצוות aa ו-bb. מציבים את כולם ב-ff ובוחרים את הגדול והקטן.

(a,b)(a, b)

קטע פתוח. הקצוות אינם שייכים לקטע. אם יש בו נקודת קיצון מקומית אחת בלבד — היא גם הקיצון המוחלט. אם אין — ייתכן שאין מקסימום בכלל.

ואם הקטע היה פתוח, (−1,3)(-1, 3) — האם היה ל-ff מקסימום?

Voir la réponse et le corrigé

לא. הערכים מתקרבים ל-1111 כש-xx מתקרב ל-−1-1, אבל −1-1 אינו בקטע, וכל ערך שנבחר קרוב ממנו נותן ערך קטן מ-1111. יש מינימום (−16-16), אין מקסימום.

פיזיקה: גובה ומהירות

בבעיות תנועה s(t)s(t) הוא המיקום, v(t)=s′(t)v(t) = s'(t) המהירות. מקום מקסימלי מחפשים ב-s′(t)=0s'(t) = 0. מהירות מקסימלית היא קיצון של vv עצמה — ולכן גוזרים את vv.

כדור שנזרק כלפי מעלה

גובה הכדור (במטרים) אחרי tt שניות הוא h(t)=20t−5t2h(t) = 20t - 5t^2, עבור 0≤t≤40 \le t \le 4. מהו הגובה המקסימלי?

h′(t)=20−10t=0 ⇒ t=2\begin{aligned}h'(t) &= 20 - 10t \\ &= 0 \ \Rightarrow \ t \\ &= 2\end{aligned}

נקודה חשודה, בתוך הקטע

h(0)=0h(2)=20h(4)=0\begin{aligned}h(0) &= 0 \\ \quad h(2) &= 20 \\ \quad h(4) &= 0\end{aligned}

המועמדים: t=2t = 2 ושני הקצוות

hmax=20h_{max} = 20

אחרי 22 שניות, בגובה 2020 מ׳

כתבו את רשימת המועמדים בטבלה קטנה — עמודה ל-xx ועמודה ל-f(x)f(x). הבודק רואה מיד שבדקתם את הקצוות, ואתם רואים מיד מי הגדול.

הטעויות שחוזרות בקטע סגור.

fmax=f(1)=5\begin{aligned}f_{max} &= f(1) \\ &= 5\end{aligned}
fmax=f(5)=21\begin{aligned}f_{max} &= f(5) \\ &= 21\end{aligned}

מקסימום מקומי אינו בהכרח הערך הגדול ביותר בקטע. בלי להציב את הקצוות — התשובה לא מלאה.

vmax: s′(t)=0v_{max} : \ s'(t) = 0
vmax: v′(t)=0v_{max} : \ v'(t) = 0

s′(t)=0s'(t) = 0 הוא רגע שבו הגוף עומד. כדי למקסם מהירות גוזרים את המהירות.

x=−2 ⇒ f(−2)=16\begin{aligned}x &= -2 \ \Rightarrow \ f(-2) \\ &= 16\end{aligned}
−2∉[−1,3]-2 \notin [-1, 3]

נקודה חשודה מחוץ לקטע אינה מועמדת, גם אם הערך בה גדול.

Exercices

Exercice 1

מצאו את הערך הגדול ביותר של f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x בקטע [0,2][0, 2].

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

f′(x)=3x2−3=0 ⇒ x=±1\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2 - 3 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm 1\end{aligned}

נקודות חשודות

x=1∈[0,2]x = 1 \in [0, 2]

−1-1 מחוץ לקטע

f(0)=0f(1)=−2f(2)=2\begin{aligned}f(0) &= 0 \\ \quad f(1) &= -2 \\ \quad f(2) &= 2\end{aligned}

המועמדים

fmax=2f_{max} = 2

בקצה x=2x = 2

הנקודה החשודה היחידה בקטע היא מינימום. המקסימום יושב בקצה — מי שבודק רק את f′(x)=0f'(x) = 0 עונה −2-2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

מצאו את הערך הקטן ביותר של f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x בקטע [0,2][0, 2].

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -2

Corrigé :

f(0)=0f(1)=−2f(2)=2\begin{aligned}f(0) &= 0 \\ \quad f(1) &= -2 \\ \quad f(2) &= 2\end{aligned}

אותם מועמדים

fmin=f(1)=−2\begin{aligned}f_{min} &= f(1) \\ &= -2\end{aligned}

את ערך המינימום מקבלים מהצבה ב-ff, לא מ-x=1x = 1. התשובה −2-2, לא 11.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

מהו הערך הקטן ביותר של f(x)=x2−4x+7f(x) = x^2 - 4x + 7 בקטע [3,6][3, 6]?

  1. 77
  2. 33
  3. 44
  4. 1919
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C 44

Corrigé :

f′(x)=2x−4=0 ⇒ x=2\begin{aligned}f'(x) &= 2x - 4 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}

הקודקוד

2∉[3,6]2 \notin [3, 6]

מחוץ לקטע

f(3)=4f(6)=19\begin{aligned}f(3) &= 4 \\ \quad f(6) &= 19\end{aligned}

נשארו רק הקצוות

fmin=4f_{min} = 4

הנכונה: 44. 33 הוא ערך הקודקוד f(2)f(2) — אבל x=2x = 2 מחוץ לקטע. 1919 הוא המקסימום, ו-77 הוא f(0)f(0).

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

כדור נזרק כלפי מעלה. גובהו (במטרים) אחרי tt שניות הוא h(t)=30t−5t2h(t) = 30t - 5t^2, עבור 0≤t≤60 \le t \le 6. מהו הגובה המקסימלי של הכדור?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 45

Corrigé :

h′(t)=30−10t=0 ⇒ t=3\begin{aligned}h'(t) &= 30 - 10t \\ &= 0 \ \Rightarrow \ t \\ &= 3\end{aligned}
h(0)=0h(3)=45h(6)=0\begin{aligned}h(0) &= 0 \\ \quad h(3) &= 45 \\ \quad h(6) &= 0\end{aligned}

המועמדים

hmax=45h_{max} = 45

נשאל הגובה, לא הזמן. t=3t = 3 הוא רק הדרך אל התשובה 4545 מ׳.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

גוף נע על ישר. מיקומו (במטרים) אחרי tt שניות הוא s(t)=−t3+9t2s(t) = -t^3 + 9t^2, עבור 0≤t≤60 \le t \le 6. מהי המהירות המקסימלית של הגוף (במ׳ לשנייה)?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 27

Corrigé :

v(t)=s′(t)=−3t2+18t\begin{aligned}v(t) &= s'(t) \\ &= -3t^2 + 18t\end{aligned}

המהירות

v′(t)=−6t+18=0 ⇒ t=3\begin{aligned}v'(t) &= -6t + 18 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ t \\ &= 3\end{aligned}

גוזרים את vv

v(0)=0v(3)=27v(6)=0\begin{aligned}v(0) &= 0 \\ \quad v(3) &= 27 \\ \quad v(6) &= 0\end{aligned}

המועמדים

vmax=27v_{max} = 27

המלכודת: לפתור s′(t)=0s'(t) = 0. זה נותן t=6t = 6 — הרגע שבו הגוף נעצר, והמהירות שם 00.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

בקטע סגור, הערך הגדול ביותר של פונקציה מתקבל תמיד בנקודה שבה הנגזרת שווה 00.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

f(x)=x[0,1]\begin{aligned}f(x) &= x \\ \quad [0, 1]\end{aligned}

דוגמה נגדית

f′(x)=1≠0f'(x) = 1 \ne 0

הנגזרת לא מתאפסת אף פעם

fmax=f(1)=1\begin{aligned}f_{max} &= f(1) \\ &= 1\end{aligned}

המקסימום בקצה

לא נכון. בקטע סגור המקסימום יכול להתקבל בקצה, שם הנגזרת אינה חייבת להתאפס. לכן מציבים תמיד גם את הקצוות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

הפונקציה f(x)=x3−12xf(x) = x^3 - 12x בקטע [−1,3][-1, 3]. אילו ערכי xx הם מועמדים לקיצון מוחלט?

  • מועמד
  • לא מועמד
  • x=−1x = -1
  • x=−2x = -2
  • x=0x = 0
  • x=2x = 2
  • x=3x = 3
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : x=−1x = -1 — מועמד · x=2x = 2 — מועמד · x=3x = 3 — מועמד · x=−2x = -2 — לא מועמד · x=0x = 0 — לא מועמד

Corrigé :

f′(x)=3x2−12=0 ⇒ x=±2\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2 - 12 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm 2\end{aligned}
x=2∈[−1,3]x=−2∉[−1,3]\begin{aligned}x &= 2 \in [-1, 3] \\ \quad x &= -2 \notin [-1, 3]\end{aligned}
−1, 2, 3-1, \ 2, \ 3

הנקודה מבפנים ושני הקצוות

x=−2x = -2 מאפס את הנגזרת אבל נמצא מחוץ לקטע. x=0x = 0 הוא סתם נקודה בקטע — הנגזרת בו −12-12.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

מצאו את הערך הגדול ביותר של f(x)=x3−12xf(x) = x^3 - 12x בקטע [−1,3][-1, 3].

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 11

Corrigé :

x=2x = 2

הנקודה החשודה היחידה בקטע

f(−1)=11f(2)=−16f(3)=−9\begin{aligned}f(-1) &= 11 \\ \quad f(2) &= -16 \\ \quad f(3) &= -9\end{aligned}

המועמדים

fmax=f(−1)=11\begin{aligned}f_{max} &= f(-1) \\ &= 11\end{aligned}

מי שמציב את x=−2x = -2 מקבל 1616 — אבל −2-2 מחוץ לקטע. ומי ששוכח את הקצוות לא מוצא מקסימום בכלל.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

הטמפרטורה בחממה (במעלות) tt שעות אחרי הזריחה היא T(t)=t3−9t2+24t+10T(t) = t^3 - 9t^2 + 24t + 10, עבור 0≤t≤50 \le t \le 5. באילו רגעים הטמפרטורה הגבוהה ביותר?

  1. ב-t=2t = 2 בלבד
  2. ב-t=2t = 2 וב-t=5t = 5
  3. ב-t=4t = 4
  4. ב-t=5t = 5 בלבד
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B ב-t=2t = 2 וב-t=5t = 5

Corrigé :

T′(t)=3t2−18t+24=3(t−2)(t−4)\begin{aligned}T'(t) &= 3t^2 - 18t + 24 \\ &= 3(t - 2)(t - 4)\end{aligned}
T(0)=10 T(2)=30 T(4)=26 T(5)=30\begin{aligned}T(0) &= 10 \\ \ T(2) &= 30 \\ \ T(4) &= 26 \\ \ T(5) &= 30\end{aligned}

ארבעה מועמדים

Tmax=30T_{max} = 30

בשני רגעים

הנכונה: ב-t=2t = 2 וב-t=5t = 5. המקסימום המקומי ב-t=2t = 2 והקצה t=5t = 5 נותנים אותו ערך בדיוק. t=4t = 4 הוא מינימום מקומי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

לפונקציה f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x יש ערך גדול ביותר בקטע הפתוח (0,2)(0, 2).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

x=1: f(1)=−2\begin{aligned}x &= 1: \ f(1) \\ &= -2\end{aligned}

הנקודה החשודה היחידה היא מינימום

x→2: f(x)→2x \to 2: \ f(x) \to 2

הערכים מתקרבים ל-22

2∉(0,2)2 \notin (0, 2)

אבל אף ערך בקטע אינו מגיע ל-22

לא נכון. בקטע הפתוח הקצה x=2x = 2 אינו שייך לקטע, ולכל ערך שנבחר תמיד יש ערך גדול ממנו קרוב יותר ל-22. בקטע פתוח ייתכן שאין מקסימום.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe