Optimisation : fonctions racine

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

שורש נכנס לבעיית קיצון כמעט תמיד דרך פיתגורס: גובה של מלבן בתוך חצי מעגל, מרחק בין שני גופים שנעים, אורך של מסלול אלכסוני. חמשת השלבים לא משתנים — רק הביטוי כבד יותר.

תמונה: המלבן בחצי המעגל

נסמן ב-xx את חצי הבסיס. מהו הבסיס, מהו הגובה, ומהו התחום?

Voir la réponse et le corrigé

הבסיס 2x2x, הגובה 25−x2\sqrt{25 - x^2} (הרדיוס מהמרכז אל הקודקוד הוא היתר), והתחום 0<x<50 < x < 5. השטח: S(x)=2x25−x2S(x) = 2x\sqrt{25 - x^2}.

הטריק: ממקסמים את הריבוע

לגזור את S(x)=2x25−x2S(x) = 2x\sqrt{25 - x^2} פירושו כלל מכפלה וכלל שרשרת עם שורש. אבל S≥0S \ge 0, ועל מספרים אי-שליליים העלאה בריבוע שומרת על הסדר: אם S1>S2≥0S_1 > S_2 \ge 0 אז S12>S22S_1^2 > S_2^2. לכן SS ו-S2S^2 מקבלות מקסימום באותו xx.

S2=4x2(25−x2)=100x2−4x4\begin{aligned}S^2 &= 4x^2(25 - x^2) \\ &= 100x^2 - 4x^4\end{aligned}

פולינום — נגזרת בלי שורשים ובלי שברים

השטח המקסימלי בעזרת S2S^2

מחפשים את המקסימום של S2S^2 בתחום 0<x<50 < x < 5, ובסוף מוציאים שורש.

(S2)′=200x−16x3=8x(25−2x2)\begin{aligned}(S^2)' &= 200x - 16x^3 \\ &= 8x(25 - 2x^2)\end{aligned}

גוזרים ומפרקים

x2=12.5 ⇒ x=12.5≈3.54\begin{aligned}x^2 &= 12.5 \ \Rightarrow \ x \\ &= \sqrt{12.5} \approx 3.54\end{aligned}

x=0x = 0 אינו בתחום

S2=100⋅12.5−4⋅12.52=625\begin{aligned}S^2 &= 100 \cdot 12.5 - 4 \cdot 12.5^2 \\ &= 625\end{aligned}

משמאל הנגזרת חיובית, מימין שלילית: מקסימום

Smax=625=25\begin{aligned}S_{max} &= \sqrt{625} \\ &= 25\end{aligned}

לא לשכוח להוציא שורש — שאלו על SS

האם מותר להשתמש בטריק גם כשהגודל יכול להיות שלילי?

Voir la réponse et le corrigé

לא. (−5)2>32(-5)^2 > 3^2 אף ש-−5<3-5 < 3: על מספרים שליליים הריבוע הופך את הסדר. אורך, שטח ומרחק תמיד אי-שליליים — ולכן שם הטריק בטוח.

פיזיקה: מתי שני רכבים הכי קרובים?

מרחק, אורך אלכסון, יתר — כולם שורש של סכום ריבועים. ממזערים את מה שמתחת לשורש, ורק בסוף מוציאים שורש מהערך.

שלוש טעויות של בעיות שורש.

dmin=64d_{min} = 64
dmin2=64 ⇒ dmin=8\begin{aligned}d^2_{min} &= 64 \ \Rightarrow \ d_{min} \\ &= 8\end{aligned}

d2d^2 נותן את הרגע הנכון, אבל הערך שלו הוא ריבוע המרחק. חייבים להוציא שורש.

25−x2=5−x\sqrt{25 - x^2} = 5 - x
25−x2≠5−x\sqrt{25 - x^2} \ne 5 - x

שורש של הפרש אינו הפרש של שורשים. ב-x=3x = 3: 16=4\sqrt{16} = 4, אבל 5−3=25 - 3 = 2.

S=x25−x2S = x\sqrt{25 - x^2}
S=2x25−x2S = 2x\sqrt{25 - x^2}

כש-xx הוא חצי הבסיס, הבסיס הוא 2x2x.

Exercices

Exercice 1

מלבן בחצי מעגל שרדיוסו 5
Px-50505x

בחצי מעגל שרדיוסו 55 ס״מ חסום מלבן שבסיסו על הקוטר, כמו בשרטוט. נסמן ב-xx את חצי אורך הבסיס. מהו הביטוי לגובה המלבן?

  1. h=25−x2h = \sqrt{25 - x^2}
  2. h=5−x2h = \sqrt{5 - x^2}
  3. h=25+x2h = \sqrt{25 + x^2}
  4. h=5−xh = 5 - x
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A h=25−x2h = \sqrt{25 - x^2}

Corrigé :

x2+h2=52x^2 + h^2 = 5^2

הרדיוס מהמרכז אל הקודקוד PP הוא יתר

h=25−x2h = \sqrt{25 - x^2}

הנכונה: h=25−x2h = \sqrt{25 - x^2}. 5−x2\sqrt{5 - x^2} שוכח לרבע את הרדיוס, 25+x2\sqrt{25 + x^2} מחבר במקום לחסר (הגובה קטן מהרדיוס!), ו-5−x5 - x «מוציא שורש» מכל איבר לחוד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

מלבן בחצי מעגל שרדיוסו 5
Px-50505x

בחצי מעגל שרדיוסו 55 ס״מ חסום מלבן שבסיסו על הקוטר, כמו בשרטוט. חשבו את השטח המקסימלי של המלבן (בסמ״ר).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 25

Corrigé :

S(x)=2x25−x20<x<5\begin{aligned}S(x) &= 2x\sqrt{25 - x^2} \\ \quad 0 < x < 5\end{aligned}

השטח והתחום

S2=100x2−4x4S^2 = 100x^2 - 4x^4

ממקסמים את הריבוע

(S2)′=8x(25−2x2)=0 ⇒ x2=12.5\begin{aligned}(S^2)' &= 8x(25 - 2x^2) \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x^2 \\ &= 12.5\end{aligned}
S2=625 ⇒ S=25\begin{aligned}S^2 &= 625 \ \Rightarrow \ S \\ &= 25\end{aligned}

שתי מלכודות: הבסיס הוא 2x2x ולא xx, ובסוף מוציאים שורש מ-625625. התשובה 2525 — בדיוק ריבוע הרדיוס.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתונה הפונקציה f(x)=x16−x2f(x) = x\sqrt{16 - x^2} בתחום 0<x<40 < x < 4. מצאו את xx שבו היא מקסימלית (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2.83

Corrigé :

f′(x)=16−x2−x216−x2=16−2x216−x2\begin{aligned}f'(x) &= \sqrt{16 - x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{16 - x^2}} \\ &= \frac{16 - 2x^2}{\sqrt{16 - x^2}}\end{aligned}

כלל המכפלה, ומכנה משותף

16−2x2=0 ⇒ x=22≈2.83\begin{aligned}16 - 2x^2 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\sqrt{2} \approx 2.83\end{aligned}

המונה מתאפס; המכנה חיובי בתחום

f′(2)>0,f′(3)<0f'(2) > 0, \quad f'(3) < 0

מקסימום

המכנה חיובי בכל התחום, ולכן הסימן של f′f' הוא סימן המונה. x=−22x = -2\sqrt{2} נפסל — הוא לא בתחום.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

מחפשים את המקסימום של f(x)=x16−x2f(x) = x\sqrt{16 - x^2} בתחום 0<x<40 < x < 4. שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

f2=x2(16−x2)=16x2−x4\begin{aligned}f^2 &= x^2(16 - x^2) \\ &= 16x^2 - x^4\end{aligned}
(f2)′=32x−4x3=4x(8−x2)\begin{aligned}(f^2)' &= 32x - 4x^3 \\ &= 4x(8 - x^2)\end{aligned}
x=22x = 2\sqrt{2}
fmax=f2(22)=64\begin{aligned}f_{max} &= f^2(2\sqrt{2}) \\ &= 64\end{aligned}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : fmax=f2(22)=64f_{max} = f^2(2\sqrt{2}) = 64 → fmax=64=8f_{max} = \sqrt{64} = 8

Corrigé :

f2(22)=8⋅8=64\begin{aligned}f^2(2\sqrt{2}) &= 8 \cdot 8 \\ &= 64\end{aligned}

זה ערך הריבוע

fmax=64=8\begin{aligned}f_{max} &= \sqrt{64} \\ &= 8\end{aligned}

הטריק נותן את המקום של המקסימום. הערך 6464 הוא של f2f^2, ולכן המקסימום של ff הוא 88.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

מצאו את הערך הקטן ביותר של f(x)=x2−6x+13f(x) = \sqrt{x^2 - 6x + 13}.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

x2−6x+13=(x−3)2+4≥4x^2 - 6x + 13 = (x - 3)^2 + 4 \ge 4

הביטוי שמתחת לשורש

g(x)=x2−6x+13g′(x)=2x−6=0 ⇒ x=3\begin{aligned}g(x) &= x^2 - 6x + 13 \\ \quad g'(x) &= 2x - 6 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3\end{aligned}

המינימום של הביטוי הפנימי

f(3)=4=2\begin{aligned}f(3) &= \sqrt{4} \\ &= 2\end{aligned}

השורש הוא פונקציה עולה, ולכן המינימום שלו באותו xx כמו של הביטוי הפנימי. מי שעונה 44 שכח להוציא שורש.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

אם g(x)≥0g(x) \ge 0 בכל התחום, אז g(x)\sqrt{g(x)} מקבלת מקסימום באותו xx שבו gg מקבלת מקסימום.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

f(x)=g(x)f′(x)=g′(x)2g(x)\begin{aligned}f(x) &= \sqrt{g(x)} \\ \quad f'(x) &= \frac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}}\end{aligned}

כלל השרשרת

f′(x)>0  ⟺  g′(x)>0f'(x) > 0 \iff g'(x) > 0

המכנה חיובי כש-g>0g > 0

g1>g2≥0 ⇒ g1>g2g_1 > g_2 \ge 0 \ \Rightarrow \ \sqrt{g_1} > \sqrt{g_2}

או בלי גזירה: השורש שומר סדר

נכון — בתנאי ש-gg אי-שלילית. זה מה שמצדיק למזער d2d^2 במקום dd: חוסכים שורש בכל הנגזרת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

OAB
A נוסעת דרומה אל הצומת O, ו-B יוצאת מ-O מזרחה. הקטע המקווקו הוא המרחק ביניהן.

רכב AA נמצא 1010 ק״מ צפונית לצומת OO ונוסע דרומה אליו במהירות 6060 קמ״ש. באותו רגע רכב BB יוצא מהצומת מזרחה במהירות 8080 קמ״ש, כמו בשרטוט. מהו המרחק הקטן ביותר בין הרכבים (בק״מ)?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 8

Corrigé :

d2=(10−60t)2+(80t)2=10000t2−1200t+100\begin{aligned}d^2 &= (10 - 60t)^2 + (80t)^2 \\ &= 10000t^2 - 1200t + 100\end{aligned}

פיתגורס

(d2)′=20000t−1200=0 ⇒ t=0.06\begin{aligned}(d^2)' &= 20000t - 1200 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ t \\ &= 0.06\end{aligned}

מינימום: מ-−- ל-++

d2=64 ⇒ d=8\begin{aligned}d^2 &= 64 \ \Rightarrow \ d \\ &= 8\end{aligned}

מזערו את d2d^2, אבל ענו על dd: 64=8\sqrt{64} = 8. והמרחק ההתחלתי (1010) אינו המינימום — הרכבים מתקרבים לפני שהם מתרחקים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

OAB
A נוסעת דרומה אל הצומת O, ו-B יוצאת מ-O מזרחה. הקטע המקווקו הוא המרחק ביניהן.

באותה שאלה (רכב AA ב-1010 ק״מ צפונית לצומת, 6060 קמ״ש דרומה; רכב BB יוצא מהצומת מזרחה ב-8080 קמ״ש): אחרי כמה דקות המרחק ביניהם הקטן ביותר?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3.6

Corrigé :

(d2)′=20000t−1200=0\begin{aligned}(d^2)' &= 20000t - 1200 \\ &= 0\end{aligned}
t=0.06t = 0.06

בשעות, כי המהירות בקמ״ש

0.06⋅60=3.60.06 \cdot 60 = 3.6

בדקות

הזמן יוצא בשעות, כי המהירויות בקמ״ש. מי שעונה 0.060.06 לא המיר לדקות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

PQCB
PQ = 3, QB = 8, QC = x. חותרים מ-P אל C, והולכים מ-C אל B.

סירה נמצאת בנקודה PP בים, 33 ק״מ מהחוף הישר. QQ היא הנקודה על החוף הקרובה ל-PP, ועיירה BB נמצאת על החוף 88 ק״מ מ-QQ, כמו בשרטוט. חותרים ב-33 קמ״ש אל נקודה CC על החוף, והולכים ב-55 קמ״ש מ-CC אל BB. מצאו את QCQC (בק״מ) שנותן את זמן ההגעה הקצר ביותר.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2.25

Corrigé :

T(x)=x2+93+8−x50≤x≤8\begin{aligned}T(x) &= \frac{\sqrt{x^2 + 9}}{3} + \frac{8 - x}{5} \\ \quad 0 \le x \le 8\end{aligned}

זמן = דרך חלקי מהירות; x=QCx = QC

T′(x)=x3x2+9−15=0\begin{aligned}T'(x) &= \frac{x}{3\sqrt{x^2 + 9}} - \frac{1}{5} \\ &= 0\end{aligned}
5x=3x2+9 ⇒ 16x2=81 ⇒ x=2.25\begin{aligned}5x &= 3\sqrt{x^2 + 9} \ \Rightarrow \ 16x^2 \\ &= 81 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2.25\end{aligned}

מעלים בריבוע; x≥0x \ge 0

T(0)=2.6T(2.25)=2.4T(8)≈2.85\begin{aligned}T(0) &= 2.6 \\ \quad T(2.25) &= 2.4 \\ \quad T(8) \approx 2.85\end{aligned}

קטע סגור: משווים גם לקצוות

אחרי העלאה בריבוע חייבים לבדוק את הפתרון: x=−2.25x = -2.25 נפסל. והקטע סגור — חתירה ישר אל BB (x=8x = 8) היא אפשרות, ולכן משווים גם אליה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

PQCB
PQ = 3, QB = 8, QC = x. חותרים מ-P אל C, והולכים מ-C אל B.

באותו מצב (סירה 33 ק״מ מהחוף, עיירה 88 ק״מ לאורך החוף, חתירה ב-33 קמ״ש והליכה ב-55 קמ״ש): מהו זמן ההגעה הקצר ביותר (בשעות)?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2.4

Corrigé :

x=2.25x = 2.25

הנקודה מהשאלה הקודמת

2.252+9=14.0625=3.75\begin{aligned}\sqrt{2.25^2 + 9} &= \sqrt{14.0625} \\ &= 3.75\end{aligned}

אורך החתירה

T=3.753+5.755=1.25+1.15=2.4\begin{aligned}T &= \frac{3.75}{3} + \frac{5.75}{5} \\ &= 1.25 + 1.15 \\ &= 2.4\end{aligned}

את הזמן מחשבים ב-TT, לא ב-T′T'. ובדיקה מול הקצוות: 2.62.6 ו-2.852.85 — שניהם גדולים מ-2.42.4.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe