Optimisation : fonctions rationnelles · Problèmes d'optimisation · Kita י

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

בבעיות האלה יש שני משתנים — צלע וגובה, אורך ורוחב — ונתון קבוע שקושר ביניהם: נפח, שטח. הנתון הקבוע הוא המפתח: ממנו מבטאים משתנה אחד באמצעות השני, ומשם נולד השבר $\frac{k}{x}$ .

קודם נזכרים: ענף, אסימפטוטה, והתנהגות בקצוות

בתיבה שנפחה $32$ סמ״ק ובסיסה ריבוע שצלעו $x$ : מה קורה לגובה כש- $x$ קטן מאוד, ומה קורה לשטח הדפנות?

Voir la réponse et le corrigé

הגובה $h = \frac{32}{x^2}$ מתפוצץ: תיבה צרה וגבוהה מאוד, עם דפנות עצומות. וכש- $x$ גדול מאוד — בסיס עצום. בשני הקצוות צריך הרבה פח, ולכן יש מינימום באמצע.

האילוץ מסלק משתנה

\begin{aligned}x^2 h &= 32 \ \Longrightarrow \ h \\ &= \frac{32}{x^2}\end{aligned}

משתנה אחד במקום שניים — זה כל התפקיד של הנתון הקבוע

תיבה פתוחה בנפח 32, בשטח פח מינימלי

תיבה פתוחה מלמעלה, בסיס ריבועי שצלעו $x$ , גובה $h$ , נפח $32$ סמ״ק. כמה פח דרוש לכל הפחות?

h = \frac{32}{x^2}

האילוץ

S = x^2 + 4xh

בסיס אחד וארבע דפנות — אין מכסה

\begin{aligned}S(x) &= x^2 + \frac{128}{x} \\ \quad x > 0\end{aligned}

מציבים — ונשאר משתנה אחד. התחום פתוח

\begin{aligned}S'(x) &= 2x - \frac{128}{x^2} \\ &= \frac{2(x^3 - 64)}{x^2}\end{aligned}

מכנה משותף

\begin{aligned}x^3 &= 64 \ \Rightarrow \ x \\ &= 4 \\ \quad S(4) &= 16 + 32 \\ &= 48\end{aligned}

שטח פח מינימלי: $48$ סמ״ר

מדוע בתיבה פתוחה השטח הוא $x^2 + 4xh$ ולא $2x^2 + 4xh$ ?

Voir la réponse et le corrigé

כי אין מכסה: בסיס אחד בלבד. בתיבה סגורה היו שני בסיסים — $2x^2$ . סמנו בשרטוט מה פתוח ומה סגור לפני שכותבים את השטח.

פותרים יחד: הכרזה עם שוליים

Activité interactive

כרזה בשטח הדפסה קבוע

על כרזה מלבנית מדפיסים אזור מלבני בשטח $96$ סמ״ר. משמאל ומימין לאזור נשארים שוליים של $2$ ס״מ, ולמעלה ולמטה $3$ ס״מ. מהו השטח הקטן ביותר של הכרזה כולה?

נסמן ב- $x$ את רוחב אזור ההדפסה. מהו גובהו?

$96 - x$

Voir la réponse et le corrigé

זה היה נכון אילו ההיקף היה נתון. נתון השטח — ולכן מחלקים.

$\frac{96}{x}$

Voir la réponse et le corrigé

כן. רוחב כפול גובה שווה $96$ .

$\frac{x}{96}$

Voir la réponse et le corrigé

הפוך: $x \cdot \frac{x}{96}$ אינו $96$ .

y = \frac{96}{x}

האילוץ.

מהם ממדי הכרזה כולה?

$(x + 2)$ על $(y + 3)$

Voir la réponse et le corrigé

יש שוליים משני הצדדים: $2 + 2$ ברוחב ו- $3 + 3$ בגובה.

$(x + 4)$ על $(y + 6)$

Voir la réponse et le corrigé

כן. שוליים משני הצדדים.

\begin{aligned}A(x) &= (x + 4)\left(\frac{96}{x} + 6\right) \\ &= 120 + 6x + \frac{384}{x}\end{aligned}

פותחים סוגריים. התחום: $x > 0$ .

איפה $A'(x) = 0$ ?

$6 + \frac{384}{x^2} = 0$

Voir la réponse et le corrigé

הנגזרת של $\frac{384}{x}$ היא $-\frac{384}{x^2}$ — עם מינוס.

$6 - \frac{384}{x^2} = 0$

Voir la réponse et le corrigé

כן. ומכאן $x^2 = 64$ .

\begin{aligned}x^2 &= 64 \ \Rightarrow \ x \\ &= 8 \\ \quad y &= 12\end{aligned}

משמאל ל- $8$ הנגזרת שלילית, מימין חיובית: מינימום.

Voir la réponse et le corrigé

הכרזה $12$ על $18$ , ושטחה $216$ סמ״ר. בדיקה: $A(8) = 120 + 48 + 48 = 216$ ✓.

Faire l'activité sur elev

הפתרון של $x^2 = 64$ הוא גם $x = -8$ . למה לא כותבים אותו?

Voir la réponse et le corrigé

בגלל התחום: $x$ הוא רוחב, ולכן $x > 0$ . הפתרון השלילי נפסל בגלל משמעות הבעיה, לא בגלל החשבון.

שבר כמו $\frac{128}{x}$ נגזר הכי בקלות אחרי שכותבים אותו $128x^{-1}$ : הנגזרת $-128x^{-2}$ . בלי כלל המנה, ובלי לאבד את המינוס. ובמינימום של $ax + \frac{b}{x}$ שני המחוברים שווים — בדיקה מהירה לתשובה.

שלוש טעויות של בעיות עם אילוץ.

S = 2x^2 + 4xh

S = x^2 + 4xh

תיבה פתוחה: בסיס אחד. קראו את השאלה פעמיים.

\left(\frac{128}{x}\right)' = \frac{128}{x^2}

\left(\frac{128}{x}\right)' = -\frac{128}{x^2}

בלי המינוס המשוואה $2x + \frac{128}{x^2} = 0$ אין לה פתרון חיובי — וזה סימן שטעיתם.

\begin{aligned}x^2 &= 64 \Rightarrow x \\ &= \pm 8\end{aligned}

x > 0 \Rightarrow x = 8

אורך חיובי. התחום פוסל את $-8$ .

Exercices

Exercice 1

תיבה פתוחה, בסיס ריבועי

בונים תיבה פתוחה מלמעלה שבסיסה ריבוע שצלעו $x$ , כמו בשרטוט. נפח התיבה $32$ סמ״ק. מהו הביטוי לגובה התיבה?

$h = 32 - x^2$
$h = \frac{x^2}{32}$
$h = \frac{32}{x}$
$h = \frac{32}{x^2}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $h = \frac{32}{x^2}$

Corrigé :

x^2 \cdot h = 32

נפח = שטח בסיס כפול גובה

h = \frac{32}{x^2}

הנכונה: $h = \frac{32}{x^2}$ . $\frac{32}{x}$ שוכח שהבסיס הוא $x^2$ , ו- $32 - x^2$ מחסר במקום לחלק.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

תיבה פתוחה, בסיס ריבועי

בונים תיבה פתוחה מלמעלה שבסיסה ריבוע שצלעו $x$ , כמו בשרטוט. נפח התיבה $32$ סמ״ק. מהו הביטוי לשטח הפח הדרוש?

$S(x) = x^2 + \frac{32}{x}$
$S(x) = x^2 + \frac{128}{x^2}$
$S(x) = x^2 + \frac{128}{x}$
$S(x) = 2x^2 + \frac{128}{x}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $S(x) = x^2 + \frac{128}{x}$

Corrigé :

S = x^2 + 4xh

בסיס אחד וארבע דפנות

\begin{aligned}S &= x^2 + 4x \cdot \frac{32}{x^2} \\ &= x^2 + \frac{128}{x}\end{aligned}

הנכונה: $S(x) = x^2 + \frac{128}{x}$ . $2x^2$ מוסיף מכסה שאין, $\frac{32}{x}$ סופר דופן אחת במקום ארבע.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

תיבה פתוחה, בסיס ריבועי

בונים תיבה פתוחה מלמעלה שבסיסה ריבוע שצלעו $x$ , כמו בשרטוט. נפח התיבה $32$ סמ״ק. מצאו את $x$ שעבורו שטח הפח מינימלי.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

\begin{aligned}S(x) &= x^2 + \frac{128}{x} \\ \quad x > 0\end{aligned}

\begin{aligned}S'(x) &= 2x - \frac{128}{x^2} \\ &= 0\end{aligned}

$\frac{128}{x} = 128x^{-1}$

\begin{aligned}2x^3 &= 128 \ \Rightarrow \ x^3 \\ &= 64 \ \Rightarrow \ x \\ &= 4\end{aligned}

מכפילים ב- $x^2 > 0$

S'(2) < 0, \quad S'(5) > 0

מינימום

מי ששוכח את המינוס בנגזרת של $\frac{128}{x}$ מקבל $2x^3 = -128$ — ואין פתרון חיובי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

תיבה פתוחה, בסיס ריבועי

בונים תיבה פתוחה מלמעלה שבסיסה ריבוע שצלעו $x$ , כמו בשרטוט. נפח התיבה $32$ סמ״ק. חשבו את שטח הפח המינימלי (בסמ״ר).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 48

Corrigé :

x = 4

נקודת המינימום

\begin{aligned}S(4) &= 16 + \frac{128}{4} \\ &= 16 + 32 \\ &= 48\end{aligned}

מציבים ב- $S$

\begin{aligned}h &= \frac{32}{16} \\ &= 2\end{aligned}

בדיקה: הגובה חצי מהצלע

נשאל השטח, לא $x$ . ובסיס $4 \times 4$ עם גובה $2$ נותן באמת נפח $32$ ✓.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

נתונה $f(x) = x + \frac{9}{x}$ בתחום $x > 0$ . מצאו את $x$ שבו $f$ מינימלית.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

\begin{aligned}f'(x) &= 1 - \frac{9}{x^2} \\ &= 0\end{aligned}

\begin{aligned}x^2 &= 9 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3\end{aligned}

רק החיובי בתחום

f'(1) < 0, \quad f'(4) > 0

מינימום

$x = -3$ נפסל בגלל התחום. ובמינימום שני המחוברים שווים: $3 = \frac{9}{3}$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

מהו הערך הקטן ביותר של $f(x) = x + \frac{16}{x}$ בתחום $x > 0$ ?

$17$
$-8$
$8$
$4$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $8$

Corrigé :

\begin{aligned}f'(x) &= 1 - \frac{16}{x^2} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 4\end{aligned}

\begin{aligned}f(4) &= 4 + 4 \\ &= 8\end{aligned}

הנכונה: $8$ . $4$ הוא המקום ( $x$ ), לא הערך. $17$ הוא $f(1)$ — סתם נקודה. $-8$ מתקבל ב- $x = -4$ , מחוץ לתחום.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

הקטע המודגש AD הוא הקיר. שטח החלקה 200 מ״ר.

חלקה מלבנית בשטח $200$ מ״ר צמודה לקיר, כמו בשרטוט. גודרים את שלושת הצדדים שאינם על הקיר. מהו אורך הגדר הקצר ביותר (במ׳)?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 40

Corrigé :

\begin{aligned}AB &= CD \\ &= x \\ \quad BC &= \frac{200}{x}\end{aligned}

האילוץ: השטח

\begin{aligned}L(x) &= 2x + \frac{200}{x} \\ \quad x > 0\end{aligned}

אורך הגדר

\begin{aligned}L'(x) &= 2 - \frac{200}{x^2} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 10\end{aligned}

מינימום: מ- $-$ ל- $+$

\begin{aligned}L(10) &= 20 + 20 \\ &= 40\end{aligned}

הגדר אינה היקף מלא: הקיר חוסך צד אחד. מי שכותב $2x + \frac{400}{x}$ גודר גם את הקיר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

EFGH — אזור ההדפסה. שוליים של 2 ס״מ מימין ומשמאל, ו-3 ס״מ למעלה ולמטה.

על כרזה מלבנית מדפיסים אזור מלבני בשטח $96$ סמ״ר. משמאל ומימין נשארים שוליים של $2$ ס״מ, ולמעלה ולמטה $3$ ס״מ, כמו בשרטוט. מהו השטח הקטן ביותר של הכרזה (בסמ״ר)?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 216

Corrigé :

\begin{aligned}EF &= x \\ \quad FG &= \frac{96}{x}\end{aligned}

אזור ההדפסה

\begin{aligned}A(x) &= (x + 4)\left(\frac{96}{x} + 6\right) \\ &= 120 + 6x + \frac{384}{x}\end{aligned}

הכרזה כולה

\begin{aligned}A'(x) &= 6 - \frac{384}{x^2} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 8\end{aligned}

\begin{aligned}A(8) &= 12 \cdot 18 \\ &= 216\end{aligned}

השוליים נמצאים משני צדי האזור: $x + 4$ ולא $x + 2$ . ובתשובה — שטח הכרזה, לא שטח ההדפסה ( $96$ ).

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

התאימו לכל פונקציה (בתחום $x > 0$ ) את הנקודה שבה היא מינימלית

$x + \frac{4}{x}$
$x + \frac{25}{x}$
$4x + \frac{1}{x}$
$x^2 + \frac{54}{x}$

$x = \frac{1}{2}$
$x = 2$
$x = 3$
$x = 5$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $x + \frac{4}{x}$ — $x = 2$ · $x + \frac{25}{x}$ — $x = 5$ · $4x + \frac{1}{x}$ — $x = \frac{1}{2}$ · $x^2 + \frac{54}{x}$ — $x = 3$

Corrigé :

\begin{aligned}\left(x + \frac{k}{x}\right)' &= 1 - \frac{k}{x^2} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= \sqrt{k}\end{aligned}

\begin{aligned}4 - \frac{1}{x^2} &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

\begin{aligned}2x - \frac{54}{x^2} &= 0 \ \Rightarrow \ x^3 \\ &= 27 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3\end{aligned}

הכלל $x = \sqrt{k}$ נכון רק ל- $x + \frac{k}{x}$ . כשיש מקדם ( $4x$ ) או חזקה ( $x^2$ ) — גוזרים מחדש.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

בבעיית קיצון עם פונקציה רציונלית אין צורך לקבוע תחום, כי מספיק לדעת איפה המכנה מתאפס.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

S(x) = x^2 + \frac{128}{x}

המכנה מתאפס רק ב- $x = 0$

x > 0

אבל $x$ הוא אורך צלע

\begin{aligned}x &= -4 \ \Rightarrow \ S(-4) \\ &= -16\end{aligned}

ערך «שטח» שלילי — חסר משמעות

לא נכון. בפונקציה רציונלית יש שני מקורות לתחום: איסור ההצבה, וגם משמעות הגודל בבעיה. אורך חייב להיות חיובי גם כשהמכנה מוגדר.

Vérifier la réponse sur elev

קודם נזכרים: ענף, אסימפטוטה, והתנהגות בקצוות

האילוץ מסלק משתנה

פותרים יחד: הכרזה עם שוליים

Exercices

La suite se pratique sur elev