On résout ensemble · Problèmes d'optimisation · Kita י

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

חמש שאלות בסגנון הבגרות, אחת לכל סוג של בעיית קיצון בפרק: פולינום מגאומטריה, קטע סגור בתנועה, מרחק עם שורש, אילוץ שיוצר שבר, וקטע בין שני גרפים. כל שאלה נפתרת יחד, ולמטה מחכה לה תאומה לפתור לבד.

לפני כל לחיצה, כתבו בטיוטה מה אתם הייתם עושים. בכל שאלה חפשו את חמשת השלבים: סימון, הבעה, תחום, גזירה, סיווג ותשובה.

1 — תיבה מגיליון מלבני

גיליון 24 על 9, ובכל פינה נגזר ריבוע שצלעו x

Activité interactive

מגיליון פח שממדיו $24$ ס״מ על $9$ ס״מ גוזרים בכל פינה ריבוע שצלעו $x$ , ומקפלים לתיבה פתוחה. א. הביעו את נפח התיבה באמצעות $x$ . ב. מצאו את $x$ שעבורו הנפח מקסימלי, ואת הנפח המקסימלי.

V(x) = x(24 - 2x)(9 - 2x)

לחצו «להתחיל». שימו לב: הגיליון אינו ריבועי — לכל כיוון גבול משלו.

הבעה

\begin{aligned}V(x) &= x(24 - 2x)(9 - 2x) \\ &= 4x^3 - 66x^2 + 216x\end{aligned}

בסיס $(24 - 2x)$ על $(9 - 2x)$ , גובה $x$ .

Domaine de définition

0 < x < 4.5

הצלע הקצרה קובעת: $9 - 2x > 0$ .

גזירה

\begin{aligned}V'(x) &= 12x^2 - 132x + 216 \\ &= 12(x - 2)(x - 9)\end{aligned}

מוציאים $12$ ומפרקים.

סינון

\begin{aligned}x &= 2 \in (0, 4.5) \\ \quad x &= 9 \notin (0, 4.5)\end{aligned}

נשארת נקודה אחת. משמאל ל- $2$ הנגזרת חיובית, מימין שלילית: מקסימום.

תשובה

\begin{aligned}V(2) &= 2 \cdot 20 \cdot 5 \\ &= 200\end{aligned}

נפח מקסימלי $200$ סמ״ק, ב- $x = 2$ .

מי שקובע את התחום לפי $24$ ( $x < 12$ ) משאיר את $x = 9$ — ומקבל תיבה עם «בסיס» של $-9$ ס״מ.

Faire l'activité sur elev

למה התחום נקבע לפי הצלע הקצרה של הגיליון?

Voir la réponse et le corrigé

כי שני תנאים חייבים להתקיים יחד: $24 - 2x > 0$ וגם $9 - 2x > 0$ . הראשון נותן $x < 12$ והשני $x < 4.5$ — והחיתוך הוא $x < 4.5$ .

השאלה התאומה: שאלה 1 ברשימה למטה. פתרו אותה לבד, באותם שלבים.

2 — תנועה בקטע סגור

Activité interactive

גוף שחוזר לנקודת המוצא

גוף נע על ישר. מרחקו מנקודת המוצא (במטרים) אחרי $t$ שניות הוא $s(t) = t^3 - 12t^2 + 36t$ , עבור $0 \le t \le 7$ . מהו המרחק הגדול ביותר של הגוף מנקודת המוצא?

$32$ מ׳

$7$ מ׳

$0$ מ׳

$36$ מ׳

מה מחפשים?

את המקסימום של $s(t)$ בקטע $[0, 7]$

Voir la réponse et le corrigé

כן. $s$ הוא המרחק, והקטע סגור.

את המקסימום של $s'(t)$

Voir la réponse et le corrigé

$s'$ היא המהירות. נשאל על מרחק, לא על מהירות.

את $t$ שבו $s(t) = 0$

Voir la réponse et le corrigé

שם הגוף בנקודת המוצא — המרחק הקטן ביותר, לא הגדול.

\begin{aligned}s'(t) &= 3t^2 - 24t + 36 \\ &= 3(t - 2)(t - 6)\end{aligned}

גוזרים ומפרקים.

אילו רגעים מציבים ב- $s$ ?

$t = 2$ ו- $t = 6$

Voir la réponse et le corrigé

בקטע סגור חסרים הקצוות $t = 0$ ו- $t = 7$ .

$t = 0$ , $t = 2$ , $t = 6$ , $t = 7$

Voir la réponse et le corrigé

כן: שתי הנקודות החשודות ושני הקצוות.

\begin{aligned}s(0) &= 0 \\ \quad s(2) &= 32 \\ \quad s(6) &= 0 \\ \quad s(7) &= 7\end{aligned}

ארבעה מועמדים.

Voir la réponse et le corrigé

המרחק הגדול ביותר $32$ מ׳, אחרי $2$ שניות. $7$ מ׳ הוא ערך הקצה — הוא נכון רק בשאלה על סוף התנועה.

Faire l'activité sur elev

באיזה רגע בין $0$ ל- $7$ הגוף עומד, ואיפה הוא אז?

Voir la réponse et le corrigé

הגוף עומד כש- $s'(t) = 0$ : ב- $t = 2$ (במרחק $32$ מ׳, שם הוא מסתובב וחוזר) וב- $t = 6$ (בנקודת המוצא, $s = 0$ , ומשם הוא מתרחק שוב).

השאלה התאומה: שאלה 2 ברשימה למטה. פתרו אותה לבד, באותם שלבים.

3 — המרחק בין שתי אוניות

ברגע היציאה A נמצאת 13 ק״מ מערבית לנמל O. A שטה מזרחה, ו-B יוצאת מ-O צפונה.

Activité interactive

אונייה $A$ נמצאת $13$ ק״מ מערבית לנמל $O$ ושטה מזרחה במהירות $12$ קמ״ש. באותו רגע אונייה $B$ יוצאת מהנמל צפונה במהירות $5$ קמ״ש. מתי המרחק ביניהן הקטן ביותר, ומהו?

\begin{aligned}OA &= 13 - 12t \\ \quad OB &= 5t\end{aligned}

לחצו «להתחיל». $t$ בשעות.

הבעה

\begin{aligned}d^2 &= (13 - 12t)^2 + (5t)^2 \\ &= 169t^2 - 312t + 169\end{aligned}

פיתגורס; ממזערים את $d^2$ .

Domaine de définition

t \ge 0

הזמן מרגע היציאה. גם אחרי ש- $A$ עוברת את הנמל הנוסחה נכונה, כי $(13 - 12t)^2$ הוא ריבוע.

גזירה

\begin{aligned}(d^2)' &= 338t - 312 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ t \\ &= \frac{12}{13}\end{aligned}

מ- $-$ ל- $+$ : מינימום.

ערך

\begin{aligned}d^2 &= 169 \cdot \frac{144}{169} - 312 \cdot \frac{12}{13} + 169 \\ &= 144 - 288 + 169 \\ &= 25\end{aligned}

מציבים בזהירות.

תשובה

d_{min} = 5

אחרי $\frac{12}{13}$ שעה (כ- $55$ דקות), במרחק $5$ ק״מ.

בקצה $t = 0$ המרחק $13$ — גדול יותר. המינימום באמת בפנים.

Faire l'activité sur elev

האם אונייה $A$ כבר עברה את הנמל ברגע המרחק הקטן ביותר?

Voir la réponse et le corrigé

לא. $OA = 13 - 12 \cdot \frac{12}{13} = \frac{25}{13} > 0$ — היא עדיין מערבית לנמל. הן הכי קרובות לפני ש- $A$ מגיעה.

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה. פתרו אותה לבד, באותם שלבים.

4 — גדר שמחלקת חלקה

AD = BC = EF = x. הגדר EF מחלקת את החלקה לשני חלקים שווים.

Activité interactive

כמה גדר צריך לכל הפחות?

חלקה מלבנית בשטח $150$ מ״ר מגודרת מכל צדדיה, וגדר נוספת המקבילה לאחת הצלעות מחלקת אותה לשני חלקים שווים. מה אורך הגדר הכולל הקטן ביותר?

נסמן ב- $x$ את אורך הצלע המקבילה לגדר האמצעית. כמה קטעים באורך $x$ יש?

שניים

Voir la réponse et le corrigé

שכחתם את הגדר האמצעית: היא מקבילה לצלעות האלה ובאותו אורך.

שלושה

Voir la réponse et le corrigé

כן: שתי צלעות והגדר האמצעית.

\begin{aligned}L &= 3x + 2y \\ \quad xy &= 150\end{aligned}

ושני קטעים באורך $y$ .

איך מבטאים את $L$ במשתנה אחד?

$L(x) = 3x + \frac{300}{x}$

Voir la réponse et le corrigé

כן: $y = \frac{150}{x}$ , ו- $2y = \frac{300}{x}$ .

$L(x) = 3x + \frac{150}{x}$

Voir la réponse et le corrigé

יש שני קטעים באורך $y$ .

$L(x) = 3x + 150 - x$

Voir la réponse et le corrigé

השטח הוא מכפלה, לא סכום: $y = \frac{150}{x}$ .

\begin{aligned}L(x) &= 3x + \frac{300}{x} \\ \quad x > 0\end{aligned}

איפה המינימום?

$x = 10$

Voir la réponse et le corrigé

כן: $3 - \frac{300}{x^2} = 0$ , ולכן $x^2 = 100$ .

$x = \sqrt{150}$

Voir la réponse et le corrigé

זה היה נכון לריבוע בלי גדר אמצעית. כאן המקדמים $3$ ו- $300$ .

\begin{aligned}x &= 10 \\ \quad y &= 15 \\ \quad L &= 30 + 30 \\ &= 60\end{aligned}

משמאל ל- $10$ הנגזרת שלילית, מימין חיובית.

Voir la réponse et le corrigé

$60$ מ׳ גדר: שלושה קטעים של $10$ מ׳ ושני קטעים של $15$ מ׳. ושוב שני המחוברים שווים במינימום: $3x = \frac{300}{x} = 30$ .

Faire l'activité sur elev

האם היה משתלם יותר לשים את הגדר האמצעית מקבילה לצלע האחרת?

Voir la réponse et le corrigé

לא. הבעיה סימטרית: מי שמסמן אחרת מקבל את אותה פונקציה ואת אותם $60$ מ׳. הצלע שמקבילה לגדר האמצעית תמיד תצא הקצרה ( $10$ ).

השאלה התאומה: שאלה 4 ברשימה למטה. פתרו אותה לבד, באותם שלבים.

5 — הקטע הארוך ביותר בין שני גרפים

הקטע האנכי AB בין y = √x לבין y = x/2

Activité interactive

נתונות $f(x) = \sqrt{x}$ ו- $g(x) = \frac{x}{2}$ . ישר המקביל לציר ה- $y$ חותך את $f$ ב- $A$ ואת $g$ ב- $B$ , בין נקודות החיתוך של הגרפים. מהו האורך המקסימלי של $AB$ ?

\begin{aligned}f(x) &= \sqrt{x} \\ \quad g(x) &= \frac{x}{2}\end{aligned}

לחצו «להתחיל».

חיתוך

\begin{aligned}\sqrt{x} &= \frac{x}{2} \ \Rightarrow \ x \\ &= \frac{x^2}{4} \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ x &= 4\end{aligned}

מעלים בריבוע. בודקים את שני הפתרונות במשוואה המקורית — שניהם מתאימים.

הבעה

\begin{aligned}L(x) &= \sqrt{x} - \frac{x}{2} \\ \quad 0 \le x \le 4\end{aligned}

בתחום הזה $\sqrt{x}$ מעל $\frac{x}{2}$ : ב- $x = 1$ , $1 > 0.5$ .

גזירה

\begin{aligned}L'(x) &= \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{2} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1\end{aligned}

משמאל ל- $1$ חיובית, מימין שלילית.

תשובה

\begin{aligned}L(1) &= 1 - \frac{1}{2} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

בקצוות $L(0) = L(4) = 0$ .

ובנקודה $x = 1$ השיפועים שווים: $f'(1) = \frac{1}{2}$ — בדיוק השיפוע של $g$ .

Faire l'activité sur elev

למה צריך לבדוק את נקודות החיתוך אחרי העלאה בריבוע?

Voir la réponse et le corrigé

העלאה בריבוע יכולה להוסיף פתרון זר. כאן שניהם טובים: $\sqrt{0} = 0$ ו- $\sqrt{4} = 2 = \frac{4}{2}$ ✓. אבל במשוואה אחרת פתרון זר היה משנה את התחום.

השאלה התאומה: שאלה 5 ברשימה למטה. פתרו אותה לבד, באותם שלבים.

Exercices

Exercice 1

גיליון 16 על 10, ובכל פינה נגזר ריבוע שצלעו x

מגיליון פח שממדיו $16$ ס״מ על $10$ ס״מ גוזרים בכל פינה ריבוע שצלעו $x$ ומקפלים לתיבה פתוחה, כמו בשרטוט. מהו הנפח המקסימלי של התיבה (בסמ״ק)?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 144

Corrigé :

\begin{aligned}V(x) &= x(16 - 2x)(10 - 2x) \\ &= 4x^3 - 52x^2 + 160x \\ \quad 0 < x < 5\end{aligned}

התחום לפי הצלע הקצרה

\begin{aligned}V'(x) &= 12x^2 - 104x + 160 \\ &= 4(3x - 20)(x - 2)\end{aligned}

x = 2 \quad \left(x = \frac{20}{3} \notin (0, 5)\right)

מקסימום: מ- $+$ ל- $-$

\begin{aligned}V(2) &= 2 \cdot 12 \cdot 6 \\ &= 144\end{aligned}

$x = \frac{20}{3}$ פותר את המשוואה, אבל $10 - 2 \cdot \frac{20}{3} < 0$ . התחום נקבע לפי הצלע הקצרה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

גוף נע על ישר. מרחקו מנקודת המוצא (במטרים) אחרי $t$ שניות הוא $s(t) = t^3 - 9t^2 + 24t$ , עבור $0 \le t \le 5$ . מהו המרחק הגדול ביותר של הגוף מנקודת המוצא?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 20

Corrigé :

\begin{aligned}s'(t) &= 3t^2 - 18t + 24 \\ &= 3(t - 2)(t - 4)\end{aligned}

\begin{aligned}s(0) &= 0 \\ \ s(2) &= 20 \\ \ s(4) &= 16 \\ \ s(5) &= 20\end{aligned}

שתי נקודות חשודות ושני קצוות

s_{max} = 20

ב- $t = 2$ וגם ב- $t = 5$

הקצה $t = 5$ נותן בדיוק את אותו ערך כמו המקסימום המקומי. בלי להציב את הקצוות, לא יודעים שהגוף חוזר ל- $20$ מ׳.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

A נוסעת אל הצומת O, ו-B יוצאת מ-O בכביש המאונך.

רכב $A$ נמצא $25$ ק״מ מצומת $O$ ונוסע אליו במהירות $7$ קמ״ש. באותו רגע רכב $B$ יוצא מהצומת בכביש המאונך במהירות $24$ קמ״ש, כמו בשרטוט. מהו המרחק הקטן ביותר בין הרכבים (בק״מ)?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 24

Corrigé :

\begin{aligned}d^2 &= (25 - 7t)^2 + (24t)^2 \\ &= 625t^2 - 350t + 625\end{aligned}

פיתגורס

\begin{aligned}(d^2)' &= 1250t - 350 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ t \\ &= 0.28\end{aligned}

מינימום

\begin{aligned}d^2 &= 625 \cdot 0.0784 - 98 + 625 \\ &= 49 - 98 + 625 \\ &= 576\end{aligned}

d = 24

ממזערים את $d^2$ — אבל עונים $\sqrt{576} = 24$ , לא $576$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

AD = EF = GH = BC = x. שתי גדרות מחלקות את החלקה לשלושה חלקים.

חלקה מלבנית בשטח $200$ מ״ר מגודרת מכל צדדיה, ושתי גדרות נוספות, המקבילות לאחת הצלעות, מחלקות אותה לשלושה חלקים, כמו בשרטוט. מה אורך הגדר הכולל הקטן ביותר (במ׳)?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 80

Corrigé :

\begin{aligned}L &= 4x + 2y \\ \quad xy &= 200\end{aligned}

ארבעה קטעים באורך $x$

\begin{aligned}L(x) &= 4x + \frac{400}{x} \\ \quad x > 0\end{aligned}

\begin{aligned}L'(x) &= 4 - \frac{400}{x^2} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 10\end{aligned}

מינימום

\begin{aligned}L(10) &= 40 + 40 \\ &= 80\end{aligned}

ספרו את הקטעים בשרטוט: ארבעה באורך $x$ (שתי צלעות ושתי גדרות) ושניים באורך $y$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

הקטע האנכי AB בין y = 2√x לבין y = x/3

נתונות $f(x) = 2\sqrt{x}$ ו- $g(x) = \frac{x}{3}$ . ישר המקביל לציר ה- $y$ חותך את $f$ ב- $A$ ואת $g$ ב- $B$ , בין נקודות החיתוך של הגרפים, כמו בשרטוט. מהו האורך המקסימלי של $AB$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

\begin{aligned}2\sqrt{x} &= \frac{x}{3} \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ x &= 36\end{aligned}

בודקים במשוואה המקורית

\begin{aligned}L(x) &= 2\sqrt{x} - \frac{x}{3} \\ \quad 0 \le x \le 36\end{aligned}

\begin{aligned}L'(x) &= \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{3} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 9\end{aligned}

\begin{aligned}L(9) &= 6 - 3 \\ &= 3\end{aligned}

הנגזרת של $2\sqrt{x}$ היא $\frac{1}{\sqrt{x}}$ — ה- $2$ מתבטל עם ה- $2$ שבמכנה. מי ששוכח אותו מקבל $x = \frac{9}{4}$ .

Vérifier la réponse sur elev

1 — תיבה מגיליון מלבני

2 — תנועה בקטע סגור

3 — המרחק בין שתי אוניות

4 — גדר שמחלקת חלקה

5 — הקטע הארוך ביותר בין שני גרפים

Exercices

La suite se pratique sur elev