Série 1 — facile

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

עשר שאלות קלות: פונקציה שכבר נתונה, בעיות מספרים, גדר ותיבה עם שלב הבעה אחד, גובה של כדור, וקטע סגור ראשון.

גם בשאלה קלה כתבו את התחום לפני הגזירה, וענו בסוף על מה שנשאל: ה-xx, או הערך.

Exercices

Exercice 1

מצאו את הערך הגדול ביותר של f(x)=−x2+10x+3f(x) = -x^2 + 10x + 3.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 28

Corrigé :

f′(x)=−2x+10=0 ⇒ x=5\begin{aligned}f'(x) &= -2x + 10 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 5\end{aligned}
f′(4)>0,f′(6)<0f'(4) > 0, \quad f'(6) < 0

מקסימום

f(5)=−25+50+3=28\begin{aligned}f(5) &= -25 + 50 + 3 \\ &= 28\end{aligned}

הערך המקסימלי הוא f(5)=28f(5) = 28, לא x=5x = 5. והאיבר החופשי 33 לא נעלם בהצבה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

סכום שני מספרים חיוביים הוא 1616. מהי המכפלה הגדולה ביותר שלהם?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 64

Corrigé :

P(x)=x(16−x)0<x<16\begin{aligned}P(x) &= x(16 - x) \\ \quad 0 < x < 16\end{aligned}
P′(x)=16−2x=0 ⇒ x=8\begin{aligned}P'(x) &= 16 - 2x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 8\end{aligned}
P(8)=8⋅8=64\begin{aligned}P(8) &= 8 \cdot 8 \\ &= 64\end{aligned}

המספר השני הוא 16−x16 - x, לא xx. במקסימום שני המספרים שווים — ונשאלה המכפלה, 6464.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

ABCD
גינה שמגודרת מכל ארבעת צדדיה. AB = x.

לגינה מלבנית, המגודרת מכל ארבעת צדדיה, יש 4040 מ׳ גדר, כמו בשרטוט. מהו השטח הגדול ביותר של הגינה (במ״ר)?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 100

Corrigé :

2x+2y=40 ⇒ y=20−x\begin{aligned}2x + 2y &= 40 \ \Rightarrow \ y \\ &= 20 - x\end{aligned}

ההיקף

S(x)=x(20−x)0<x<20\begin{aligned}S(x) &= x(20 - x) \\ \quad 0 < x < 20\end{aligned}
S′(x)=20−2x=0 ⇒ x=10\begin{aligned}S'(x) &= 20 - 2x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 10\end{aligned}

מקסימום

S(10)=100S(10) = 100

חצי היקף הוא 2020, לא 4040. מי שכותב y=40−xy = 40 - x שוכח שיש שתי צלעות מכל סוג.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

גיליון 20 על 20, ובכל פינה נגזר ריבוע שצלעו x
xxxx020020

מגיליון 20×2020 \times 20 גוזרים בכל פינה ריבוע שצלעו xx ומקפלים לתיבה פתוחה, כמו בשרטוט. מהו התחום של xx?

  1. 0<x<200 < x < 20
  2. 0<x<100 < x < 10
  3. 0≤x≤50 \le x \le 5
  4. x>0x > 0
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B 0<x<100 < x < 10

Corrigé :

20−2x>0 ⇒ x<1020 - 2x > 0 \ \Rightarrow \ x < 10

צלע הבסיס חיובית

x>0x > 0

יש גובה

הנכונה: 0<x<100 < x < 10. 0<x<200 < x < 20 שוכח שנגזרות שתי פינות מכל צלע, ו-x>0x > 0 שוכח את הגבול העליון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

כדור נזרק כלפי מעלה. גובהו (במטרים) אחרי tt שניות הוא h(t)=40t−5t2h(t) = 40t - 5t^2, עבור 0≤t≤80 \le t \le 8. מהו הגובה המקסימלי?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 80

Corrigé :

h′(t)=40−10t=0 ⇒ t=4\begin{aligned}h'(t) &= 40 - 10t \\ &= 0 \ \Rightarrow \ t \\ &= 4\end{aligned}
h(0)=0h(4)=80h(8)=0\begin{aligned}h(0) &= 0 \\ \quad h(4) &= 80 \\ \quad h(8) &= 0\end{aligned}

עם הקצוות

hmax=80h_{max} = 80

נשאל הגובה (8080 מ׳), לא הרגע (44 שניות).

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

ייתכן שלפונקציה בקטע פתוח אין ערך גדול ביותר.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

f(x)=x(0,1)\begin{aligned}f(x) &= x \\ \quad (0, 1)\end{aligned}

דוגמה

f(x)<1f(x) < 1

לכל xx בקטע

f(0.99)<f(0.999)<…f(0.99) < f(0.999) < \ldots

תמיד יש ערך גדול יותר

נכון. הערכים מתקרבים ל-11 ואינם מגיעים אליו, כי 11 אינו בקטע. בקטע פתוח לא מציבים קצוות — הם לא שייכים לו.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

מצאו את הערך הגדול ביותר של f(x)=x3−3x2f(x) = x^3 - 3x^2 בקטע [1,4][1, 4].

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 16

Corrigé :

f′(x)=3x2−6x=3x(x−2)\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2 - 6x \\ &= 3x(x - 2)\end{aligned}
x=2∈[1,4]x=0∉[1,4]\begin{aligned}x &= 2 \in [1, 4] \\ \quad x &= 0 \notin [1, 4]\end{aligned}
f(1)=−2f(2)=−4f(4)=16\begin{aligned}f(1) &= -2 \\ \quad f(2) &= -4 \\ \quad f(4) &= 16\end{aligned}

המועמדים

fmax=16f_{max} = 16

בקצה

הנקודה החשודה x=2x = 2 היא מינימום. המקסימום בקצה x=4x = 4 — ולכן מציבים תמיד את הקצוות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

מצאו את הערך הקטן ביותר של f(x)=x+25xf(x) = x + \frac{25}{x} בתחום x>0x > 0.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 10

Corrigé :

f′(x)=1−25x2=0 ⇒ x=5\begin{aligned}f'(x) &= 1 - \frac{25}{x^2} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 5\end{aligned}

x=−5x = -5 מחוץ לתחום

f(5)=5+5=10\begin{aligned}f(5) &= 5 + 5 \\ &= 10\end{aligned}

הערך 1010, והמקום x=5x = 5. בדיקה מהירה: במינימום שני המחוברים שווים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

בבעיית קיצון, איזה גודל יכול לקבל ערך שלילי ואיזה לא?

  • יכול להיות שלילי
  • אינו שלילי
  • אורך צלע
  • זמן מרגע היציאה
  • מהירות של גוף שנע הלוך וחזור
  • נפח של תיבה
  • שיעור ה-xx של נקודה על גרף
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : אורך צלע — אינו שלילי · נפח של תיבה — אינו שלילי · שיעור ה-xx של נקודה על גרף — יכול להיות שלילי · זמן מרגע היציאה — אינו שלילי · מהירות של גוף שנע הלוך וחזור — יכול להיות שלילי

Corrigé :

x>0x > 0

אורך, נפח

t≥0t \ge 0

זמן מרגע היציאה

v<0v < 0

תנועה בכיוון ההפוך

התחום בא מהמשמעות: אורך ונפח חיוביים, זמן מתחיל ב-00. שיעור של נקודה ומהירות יכולים להיות שליליים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

xx ו-yy מספרים חיוביים, ו-x+2y=12x + 2y = 12. מהו הערך הגדול ביותר של xyxy?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 18

Corrigé :

y=12−x2y = \frac{12 - x}{2}

מבטאים את yy

P(x)=x(12−x)20<x<12\begin{aligned}P(x) &= \frac{x(12 - x)}{2} \\ \quad 0 < x < 12\end{aligned}
P′(x)=12−2x2=0 ⇒ x=6\begin{aligned}P'(x) &= \frac{12 - 2x}{2} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 6\end{aligned}
P(6)=6⋅3=18\begin{aligned}P(6) &= 6 \cdot 3 \\ &= 18\end{aligned}

כאן xx ו-yy אינם שווים במקסימום (66 ו-33), כי yy מופיע עם מקדם 22.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe