Entraînement

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

עשרה תרגילים על כל הפרק: תחום הגדרה, גזירת שורש וכלל השרשרת, משוואות אי-רציונליות, משיקים, עלייה וירידה, וערכי קיצון. מתחילים בקל ומסיימים באתגר.

Exercices

Série A — Facile

Exercice 1

נתון f(x)=xf(x) = \sqrt{x}. חשבו את f′(16)f'(16). כתבו תשובה עשרונית.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.125

Corrigé :

f′(x)=12xf'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}
f′(16)=12⋅4=18\begin{aligned}f'(16) &= \frac{1}{2 \cdot 4} \\ &= \frac{1}{8}\end{aligned}

f′(16)=0.125f'(16) = 0.125.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

מהו תחום ההגדרה של f(x)=9−x2f(x)=\sqrt{9-x^2}?

  1. x≥−3x \geq -3
  2. −3≤x≤3-3 \leq x \leq 3
  3. x≤3x \leq 3
  4. x≤−3x \leq -3 או x≥3x \geq 3
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B −3≤x≤3-3 \leq x \leq 3

Corrigé :

9−x2≥09 - x^2 \geq 0

מה שמתחת לשורש — אי-שלילי

(3−x)(3+x)≥0⇒−3≤x≤3(3-x)(3+x) \geq 0 \Rightarrow -3 \leq x \leq 3

פרבולה פתוחה כלפי מטה — חיובית בין השורשים

התחום הוא הקטע הסגור −3≤x≤3-3 \leq x \leq 3.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

מטיילים בכרמל זורקים אבן מצוק. זמן הנפילה (בשניות) מגובה של hh מטרים הוא בקירוב t=h5t = \sqrt{\frac{h}{5}}. האבן נפלה 33 שניות. מהו גובה הצוק, במטרים?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 45

Corrigé :

h5=3\sqrt{\frac{h}{5}} = 3
h5=9⇒h=45\begin{aligned}\frac{h}{5} &= 9 \Rightarrow h \\ &= 45\end{aligned}

מעלים בחזקת 2

455=9=3 ✓\begin{aligned}\sqrt{\frac{45}{5}} &= \sqrt{9} \\ &= 3 \ \checkmark\end{aligned}

בדיקה בהצבה

גובה הצוק 4545 מטרים.

Vérifier la réponse sur elev

סדרה ב — בינוני

Exercice 4

נתונה f(x)=6x+4f(x)=\sqrt{6x+4}. חשבו את f′(2)f'(2). כתבו תשובה עשרונית.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.75

Corrigé :

f′(x)=126x+4⋅6=36x+4\begin{aligned}f'(x) &= \frac{1}{2\sqrt{6x+4}} \cdot 6 \\ &= \frac{3}{\sqrt{6x+4}}\end{aligned}

כופלים בנגזרת הפנימית 66

f′(2)=316=34\begin{aligned}f'(2) &= \frac{3}{\sqrt{16}} \\ &= \frac{3}{4}\end{aligned}

f′(2)=0.75f'(2) = 0.75. בלי הכפל בנגזרת הפנימית היה יוצא 0.1250.125.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

פתרו: 2x+7=x+2\sqrt{2x+7} = x+2

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1

Corrigé :

2x+7=x2+4x+42x + 7 = x^2 + 4x + 4

מעלים את שני האגפים בחזקת 2

x2+2x−3=0⇒x=1  x=−3\begin{aligned}x^2 + 2x - 3 &= 0 \Rightarrow x \\ &= 1 \ \\ \ x &= -3\end{aligned}
x=1: 9=3 ✓\begin{aligned}x &= 1 : \ \sqrt{9} \\ &= 3 \ \checkmark\end{aligned}

בדיקה

x=−3: 1=1≠−1\begin{aligned}x &= -3 : \ \sqrt{1} \\ &= 1 \neq -1\end{aligned}

נפסל

הפתרון היחיד הוא x=1x = 1. ההעלאה בחזקת 2 הוסיפה פתרון זר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

נתונה f(x)=2xf(x)=2\sqrt{x}. מצאו את משוואת המשיק לגרף בנקודה שבה x=4x=4. מהו המספר החופשי במשוואה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

y0=f(4)=2⋅2=4\begin{aligned}y_0 &= f(4) \\ &= 2 \cdot 2 \\ &= 4\end{aligned}

הנקודה

f′(x)=22x=1xm=f′(4)=12\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2}{2\sqrt{x}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{x}} \\ \quad m &= f'(4) \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

השיפוע

y−4=12(x−4)⇒y=12x+2\begin{aligned}y - 4 &= \frac{1}{2}(x - 4) \Rightarrow y \\ &= \frac{1}{2}x + 2\end{aligned}

המשיק הוא y=0.5x+2y = 0.5x + 2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

נתונה f(x)=x−6xf(x)=x-6\sqrt{x}. באיזה תחום הפונקציה עולה?

  1. x>3x>3
  2. x>0x>0
  3. x>9x>9
  4. 0<x<90<x<9
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C x>9x>9

Corrigé :

x≥0x \geq 0

תחום הגדרה

f′(x)=1−3xx>0\begin{aligned}f'(x) &= 1 - \frac{3}{\sqrt{x}} \\ \quad x > 0\end{aligned}

הנגזרת לא מוגדרת בקצה x=0x=0

1−3x>0  ⟺  x>3  ⟺  x>91 - \frac{3}{\sqrt{x}} > 0 \iff \sqrt{x} > 3 \iff x > 9

הפונקציה יורדת ב-0<x<90<x<9 ועולה ב-x>9x>9; המינימום (9, −9)(9,\,-9).

Vérifier la réponse sur elev

סדרה ג — מאתגר

Exercice 8

נתונה f(x)=x27−xf(x)=x\sqrt{27-x} בתחום 0≤x≤270 \leq x \leq 27. מהו הערך המקסימלי של הפונקציה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 54

Corrigé :

f′(x)=27−x−x227−x=54−3x227−x\begin{aligned}f'(x) &= \sqrt{27-x} - \frac{x}{2\sqrt{27-x}} \\ &= \frac{54 - 3x}{2\sqrt{27-x}}\end{aligned}

כלל המכפלה, ומכנה משותף

54−3x=0⇒x=18\begin{aligned}54 - 3x &= 0 \Rightarrow x \\ &= 18\end{aligned}
f(0)=0f(18)=18⋅3=54f(27)=0\begin{aligned}f(0) &= 0 \\ \quad f(18) &= 18 \cdot 3 \\ &= 54 \\ \quad f(27) &= 0\end{aligned}

משווים לקצוות

הערך המקסימלי הוא 5454, ב-x=18x = 18.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

רחפן של חברת משלוחים עף ליד תחנה. המרחק שלו מהתחנה (בק״מ) אחרי tt דקות הוא d(t)=t2−6t+25d(t)=\sqrt{t^2-6t+25}. מהו המרחק הקטן ביותר בין הרחפן לתחנה, בק״מ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

d′(t)=2t−62t2−6t+25=t−3t2−6t+25\begin{aligned}d'(t) &= \frac{2t - 6}{2\sqrt{t^2-6t+25}} \\ &= \frac{t-3}{\sqrt{t^2-6t+25}}\end{aligned}

כלל השרשרת; המכנה חיובי

t=3t = 3

d′d' עובר מ-−- ל-++: מינימום

d(3)=9−18+25=16=4\begin{aligned}d(3) &= \sqrt{9 - 18 + 25} \\ &= \sqrt{16} \\ &= 4\end{aligned}

המרחק הקטן ביותר הוא 44 ק״מ, אחרי 33 דקות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

פתרו: x+4+x−1=5\sqrt{x+4} + \sqrt{x-1} = 5

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5

Corrigé :

x+4=5−x−1\sqrt{x+4} = 5 - \sqrt{x-1}

מבודדים שורש אחד

x+4=25−10x−1+x−1x + 4 = 25 - 10\sqrt{x-1} + x - 1

מעלים בחזקת 2

10x−1=20⇒x−1=2⇒x=5\begin{aligned}10\sqrt{x-1} &= 20 \Rightarrow \sqrt{x-1} \\ &= 2 \Rightarrow x \\ &= 5\end{aligned}
9+4=3+2=5 ✓\begin{aligned}\sqrt{9} + \sqrt{4} &= 3 + 2 \\ &= 5 \ \checkmark\end{aligned}

בדיקה

x=5x = 5.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe