Série 5 — vers le bagrout

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

עשר שאלות בנוסח הבגרות: חקירה מלאה עם משוואה, פרמטר, קריאת גרף הנגזרת, משיקים מאונכים, «הוכיחו או הפריכו», שטח בין משיקים ו«הביעו באמצעות».

כתבו כל תשובה כמו בבחינה: תחום קודם, נגזרת עם תחום הגדרתה, נקודות חשודות וקצוות, ובדיקה בכל משוואה.

Exercices

Exercice 1

נתונה f(x)=2x+8−xf(x)=\sqrt{2x+8}-x. השלימו.

תחום: x≥x \geq ____ ; מקסימום ב-x=x= ____ ; חיתוך עם ציר xx: x=x= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : תחום: x≥x \geq -4 ; מקסימום ב-x=x= -3.5 ; חיתוך עם ציר xx: x=x= 4

Corrigé :

2x+8≥0 ⇒ x≥−42x+8 \geq 0 \ \Rightarrow \ x \geq -4

Domaine de définition

f′(x)=12x+8−1=0 ⇒ 2x+8=1 ⇒ x=−3.5\begin{aligned}f'(x) &= \frac{1}{\sqrt{2x+8}}-1 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ 2x+8 \\ &= 1 \ \Rightarrow \ x \\ &= -3.5\end{aligned}

נקודה חשודה; מ-++ ל-−-

2x+8=x ⇒ x2−2x−8=0 ⇒ x=4 x=−2\begin{aligned}\sqrt{2x+8} &= x \ \Rightarrow \ x^2-2x-8 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 4 \\ \ x &= -2\end{aligned}

חיתוך עם ציר xx

x=4:4−4=0 ✓x=−2:2+2≠0 נפסל\begin{aligned}x &= 4: 4-4 \\ &= 0 \ \checkmark \qquad x \\ &= -2: 2+2 \neq 0 \ \text{נפסל}\end{aligned}

בדיקה

x=−2x=-2 נמצא בתחום, ובכל זאת נפסל. להיות בתחום לא מספיק: חייבים להציב.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתונה f(x)=ax−xf(x)=a\sqrt{x}-x, כאשר a>0a>0. לפונקציה יש נקודת מקסימום ב-x=4x=4. השלימו.

a=a= ____ , הערך המקסימלי: ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : a=a= 4 , הערך המקסימלי: 4

Corrigé :

f′(x)=a2x−1f'(x)=\frac{a}{2\sqrt{x}}-1

הנגזרת

a4−1=0 ⇒ a=4\begin{aligned}\frac{a}{4}-1 &= 0 \ \Rightarrow \ a \\ &= 4\end{aligned}

מציבים x=4x=4

f(4)=4⋅2−4=4\begin{aligned}f(4) &= 4 \cdot 2-4 \\ &= 4\end{aligned}

הערך המקסימלי

שני מספרים שווים כאן במקרה. aa נמצא מ-f′f', והערך המקסימלי מ-ff.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

איזה משפט מתאר נכון את גרף הנגזרת של f(x)=xf(x)=\sqrt{x}?

  1. חיובית, יורדת, ומוגדרת רק ל-x>0x>0
  2. חיובית, יורדת, ומוגדרת לכל x≥0x \geq 0
  3. חיובית ועולה
  4. שלילית ויורדת
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A חיובית, יורדת, ומוגדרת רק ל-x>0x>0

Corrigé :

f′(x)=12xf'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}

הנגזרת

x>0x>0

תחום הנגזרת

f′(1)=12>f′(4)=14\begin{aligned}f'(1) &= \tfrac{1}{2} > f'(4) \\ &= \tfrac{1}{4}\end{aligned}

יורדת

הנכונה: חיובית, יורדת, ומוגדרת רק ל-x>0x>0. ff עולה, אבל f′f' יורדת. והנגזרת אינה מוגדרת ב-00, אף ש-ff מוגדרת שם.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

המשיק לגרף f(x)=x+1f(x)=\sqrt{x+1} מאונך לישר y=−2x+3y=-2x+3. מצאו את שיעור ה-xx של נקודת החיתוך של המשיק עם ציר ה-xx.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -2

Corrigé :

m⋅(−2)=−1 ⇒ m=12\begin{aligned}m \cdot (-2) &= -1 \ \Rightarrow \ m \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

ישרים מאונכים

12x+1=12 ⇒ x=0 f(0)=1\begin{aligned}\frac{1}{2\sqrt{x+1}} &= \frac{1}{2} \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ f(0) &= 1\end{aligned}

נקודת ההשקה

y=12x+1 ⇒ x=−2\begin{aligned}y &= \frac{1}{2}x+1 \ \Rightarrow \ x \\ &= -2\end{aligned}

המשיק וחיתוכו עם ציר xx

שיפוע מאונך הוא ההופכי הנגדי: 12\frac{1}{2}, לא 22 ולא −2-2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

הוכיחו או הפריכו: קיימת פונקציה f(x)=ax+bf(x)=\sqrt{ax+b}, כאשר a≠0a \neq 0, שיש לה נקודה שבה f′(x)=0f'(x)=0.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

f′(x)=a2ax+bf'(x)=\frac{a}{2\sqrt{ax+b}}

הנגזרת

a≠0 ⇒ f′(x)≠0a \neq 0 \ \Rightarrow \ f'(x) \neq 0

המונה לעולם אינו אפס

הטענה לא נכונה. ל-ax+b\sqrt{ax+b} אין קיצון פנימי. הקיצון היחיד שלה נמצא בקצה התחום.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

(4,2)y = √xy = √(8−x)-5-4-3-2-1012345678910111213123xy

בשרטוט: הגרפים של f(x)=xf(x)=\sqrt{x} ושל g(x)=8−xg(x)=\sqrt{8-x} נחתכים בנקודה (4,2)(4,2). בנקודה זו מעבירים משיק לכל אחד מהגרפים. מצאו את שטח המשולש שיוצרים שני המשיקים עם ציר ה-xx.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 16

Corrigé :

f′(4)=14 ⇒ y=14x+1 ⇒ x=−4\begin{aligned}f'(4) &= \frac{1}{4} \ \Rightarrow \ y \\ &= \frac{1}{4}x+1 \ \Rightarrow \ x \\ &= -4\end{aligned}

המשיק ל-ff וחיתוכו עם ציר xx

g′(x)=−128−x ⇒ g′(4)=−14 ⇒ x=12\begin{aligned}g'(x) &= \frac{-1}{2\sqrt{8-x}} \ \Rightarrow \ g'(4) \\ &= -\frac{1}{4} \ \Rightarrow \ x \\ &= 12\end{aligned}

המשיק ל-gg: y=−14x+3y=-\frac{1}{4}x+3

(12−(−4))⋅22=16\frac{(12-(-4)) \cdot 2}{2}=16

בסיס 1616, גובה 22

הגובה הוא שיעור ה-yy של נקודת החיתוך, 22. מי ששוכח את המינוס בנגזרת של gg מקבל פעמיים את אותו משיק y=14x+1y=\frac{1}{4}x+1, ואין משולש.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

נתונות f(x)=x+4f(x)=\sqrt{x+4} ו-g(x)=x−2g(x)=x-2. מצאו את שיעור ה-xx של נקודת החיתוך של שני הגרפים.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5

Corrigé :

x+4=x−2 ⇒ x+4=x2−4x+4\begin{aligned}\sqrt{x+4} &= x-2 \ \Rightarrow \ x+4 \\ &= x^2-4x+4\end{aligned}

משווים ומעלים בחזקת 2

x2−5x=0 ⇒ x=0 x=5\begin{aligned}x^2-5x &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ x &= 5\end{aligned}

מועמדים

x=5:3=3 ✓x=0:2≠−2 נפסל\begin{aligned}x &= 5: 3 \\ &= 3 \ \checkmark \qquad x \\ &= 0: 2 \neq -2 \ \text{נפסל}\end{aligned}

בדיקה

נקודת חיתוך אחת בלבד, (5,3)(5,3). ב-x=0x=0 הגרף של ff בגובה 22 והישר בגובה −2-2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

נתונה f(x)=(x−4)x−1f(x)=(x-4)\sqrt{x-1}. מיינו את הטענות.

  • נכון
  • לא נכון
  • (2, −2)(2,\,-2) נקודת מינימום
  • ב-x=1x=1 המשיק אופקי
  • הגרף חותך את ציר ה-xx רק ב-x=4x=4
  • הפונקציה יורדת ב-1<x<21<x<2
  • תחום ההגדרה x≥1x \geq 1
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : תחום ההגדרה x≥1x \geq 1 — נכון · (2, −2)(2,\,-2) נקודת מינימום — נכון · הפונקציה יורדת ב-1<x<21<x<2 — נכון · ב-x=1x=1 המשיק אופקי — לא נכון · הגרף חותך את ציר ה-xx רק ב-x=4x=4 — לא נכון

Corrigé :

f′(x)=x−1+x−42x−1=3x−62x−1\begin{aligned}f'(x) &= \sqrt{x-1}+\frac{x-4}{2\sqrt{x-1}} \\ &= \frac{3x-6}{2\sqrt{x-1}}\end{aligned}

כלל המכפלה

x→1+: 3x−6→−3,  2x−1→0x \to 1^{+} : \ 3x-6 \to -3 ,\ \ 2\sqrt{x-1} \to 0

f′f' שלילית, וערכה המוחלט גדל ללא גבול: ב-x=1x=1 המשיק אנכי

f(1)=0f(1)=0

גם x=1x=1 נקודת חיתוך

ב-x=1x=1 המשיק אנכי, כי המכנה מתאפס והמונה לא. וקצה התחום (1,0)(1,0) הוא גם נקודת חיתוך עם ציר ה-xx.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

נתונה f(x)=axf(x)=\sqrt{ax}, כאשר a>0a>0. הביעו באמצעות aa את שיפוע המשיק לגרף בנקודה שבה x=ax=a.

  1. 12\dfrac{1}{2}
  2. a2\dfrac{\sqrt{a}}{2}
  3. 12a\dfrac{1}{2a}
  4. a2\dfrac{a}{2}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A 12\dfrac{1}{2}

Corrigé :

f′(x)=a2axf'(x)=\frac{a}{2\sqrt{ax}}

נגזרת הפנימית aa

f′(a)=a2a2=a2a=12\begin{aligned}f'(a) &= \frac{a}{2\sqrt{a^2}} \\ &= \frac{a}{2a} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

a2=a\sqrt{a^2}=a כי a>0a>0

הנכונה: 12\frac{1}{2}, והשיפוע לא תלוי ב-aa. 12a\frac{1}{2a} שוכחת את נגזרת הפנימית.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

נתונה f(x)=xx+3f(x)=x\sqrt{x+3}. השלימו.

מינימום: x=x= ____ , y=y= ____ ; מספר נקודות החיתוך עם ציר xx: ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : מינימום: x=x= -2 , y=y= -2 ; מספר נקודות החיתוך עם ציר xx: 2

Corrigé :

f′(x)=x+3+x2x+3=3x+62x+3\begin{aligned}f'(x) &= \sqrt{x+3}+\frac{x}{2\sqrt{x+3}} \\ &= \frac{3x+6}{2\sqrt{x+3}}\end{aligned}

כלל המכפלה ומכנה משותף

x=−2 f(−2)=−21=−2\begin{aligned}x &= -2 \\ \ f(-2) &= -2\sqrt{1} \\ &= -2\end{aligned}

נקודה חשודה והגובה

xx+3=0 ⇒ x=0 x=−3\begin{aligned}x\sqrt{x+3} &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ x &= -3\end{aligned}

שתי נקודות חיתוך

x=−3x=-3 הוא קצה התחום וגם נקודת חיתוך. מי שמחפש רק x=0x=0 מפספס אותו.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe