Série 4 — avancé

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

שאלות בגרות קצרות: חקירה עם גורם שורש, ערכי קיצון בתחום סגור, משיק מנקודה חיצונית, x2\sqrt{x^2} וטעות שמסתתרת בשורה האחרונה.

בכל חקירה רשמו את הקצוות לצד הנקודות שבהן f′=0f'=0. ובכל תשובה של משוואה: האם השורה האחרונה כוללת את הבדיקה?

Exercices

Exercice 1

פתרו: x+5−x=1\sqrt{x+5}-\sqrt{x}=1

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

x+5=1+x\sqrt{x+5}=1+\sqrt{x}

מבודדים שורש אחד

x+5=1+2x+xx+5=1+2\sqrt{x}+x

מעלים בחזקת 2

x=2 ⇒ x=4\begin{aligned}\sqrt{x} &= 2 \ \Rightarrow \ x \\ &= 4\end{aligned}

מבודדים ומעלים שוב

9−4=1 ✓\sqrt{9}-\sqrt{4}=1 \ \checkmark

בדיקה

מי שמעלה בחזקת 2 את x+5−x\sqrt{x+5}-\sqrt{x} בלי לבודד מקבל x+5+x=1x+5+x=1, ושוכח את האיבר האמצעי −2x(x+5)-2\sqrt{x(x+5)}.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתונה f(x)=(x−3)xf(x)=(x-3)\sqrt{x}. השלימו.

מינימום: x=x= ____ , y=y= ____ ; חיתוך עם ציר xx שאינו בראשית: x=x= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : מינימום: x=x= 1 , y=y= -2 ; חיתוך עם ציר xx שאינו בראשית: x=x= 3

Corrigé :

f′(x)=x+x−32x=3x−32x\begin{aligned}f'(x) &= \sqrt{x}+\frac{x-3}{2\sqrt{x}} \\ &= \frac{3x-3}{2\sqrt{x}}\end{aligned}

כלל המכפלה ומכנה משותף

x=1 f(1)=−21=−2\begin{aligned}x &= 1 \\ \ f(1) &= -2\sqrt{1} \\ &= -2\end{aligned}

נקודה חשודה והגובה

(x−3)x=0 ⇒ x=0 x=3\begin{aligned}(x-3)\sqrt{x} &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ x &= 3\end{aligned}

חיתוך עם ציר xx

הנקודה (0,0)(0,0) היא מקסימום בקצה התחום: הפונקציה מתחילה שם ומיד יורדת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

מצאו את הערך המינימלי של f(x)=x2−4x+13f(x)=\sqrt{x^2-4x+13}.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

f′(x)=2x−42x2−4x+13=x−2x2−4x+13\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2x-4}{2\sqrt{x^2-4x+13}} \\ &= \frac{x-2}{\sqrt{x^2-4x+13}}\end{aligned}

הנגזרת

x=2x=2

מ-−- ל-++: מינימום

f(2)=4−8+13=3\begin{aligned}f(2) &= \sqrt{4-8+13} \\ &= 3\end{aligned}

La valeur

המכנה חיובי תמיד, ולכן הסימן של f′f' הוא הסימן של x−2x-2. מי שעונה 22 נתן את שיעור ה-xx, לא את הערך.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

נתונה f(x)=x+50−xf(x)=\sqrt{x}+\sqrt{50-x}. מה נכון לגבי ערכי הקיצון שלה?

  1. ערך מקסימלי 1010 ב-x=25x=25; ערך מינימלי 525\sqrt{2} בקצוות
  2. ערך מקסימלי 1010 ב-x=25x=25, ואין ערך מינימלי
  3. ערך מקסימלי 525\sqrt{2} ב-x=25x=25
  4. ערך מינימלי 1010 ב-x=25x=25; ערך מקסימלי בקצוות
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A ערך מקסימלי 1010 ב-x=25x=25; ערך מינימלי 525\sqrt{2} בקצוות

Corrigé :

0≤x≤500 \leq x \leq 50

Domaine de définition

12x=1250−x ⇒ x=25\begin{aligned}\frac{1}{2\sqrt{x}} &= \frac{1}{2\sqrt{50-x}} \ \Rightarrow \ x \\ &= 25\end{aligned}

נקודה חשודה

f(25)=10f(0)=f(50)=50=52≈7.07\begin{aligned}f(25) &= 10 \qquad f(0) \\ &= f(50) \\ &= \sqrt{50} \\ &= 5\sqrt{2} \approx 7.07\end{aligned}

משווים

הנכונה: מקסימום 1010, ומינימום 525\sqrt{2} בקצוות. «אין ערך מינימלי» שוכח שהתחום סגור.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

מהנקודה O(0,0)O(0,0) יוצא ישר שמשיק לגרף f(x)=x−3f(x)=\sqrt{x-3}. מצאו את שיעור ה-xx של נקודת ההשקה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6

Corrigé :

y=t−3+12t−3(x−t)y=\sqrt{t-3}+\frac{1}{2\sqrt{t-3}}(x-t)

המשיק בנקודה שבה x=tx=t

0=t−3−t2t−30=\sqrt{t-3}-\frac{t}{2\sqrt{t-3}}

המשיק עובר בראשית

2(t−3)=t ⇒ t=6\begin{aligned}2(t-3) &= t \ \Rightarrow \ t \\ &= 6\end{aligned}

כופלים ב-2t−32\sqrt{t-3}

את הראשית מציבים במשוואת המשיק. היא לא על הגרף, ולכן אסור להציב אותה ב-ff.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

הוכיחו או הפריכו: לכל x≠0x \neq 0 מתקיים (x2)′=1\left(\sqrt{x^2}\right)'=1.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

x2=∣x∣\sqrt{x^2}=|x|

שורש של ריבוע הוא ערך מוחלט

x<0: x2=−x ⇒ (x2)′=−1\begin{aligned}x<0: \ \sqrt{x^2} &= -x \ \Rightarrow \ \left(\sqrt{x^2}\right)' \\ &= -1\end{aligned}

דוגמה נגדית: x=−2x=-2

הטענה לא נכונה. x2≠x\sqrt{x^2} \neq x כש-xx שלילי. בדיקה: (−2)2=2\sqrt{(-2)^2}=2, ולא −2-2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

פתרו: 4x+1=2x−1\sqrt{4x+1}=2x-1

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

4x+1=4x2−4x+1 ⇒ 4x2−8x=0\begin{aligned}4x+1 &= 4x^2-4x+1 \ \Rightarrow \ 4x^2-8x \\ &= 0\end{aligned}

מעלים בחזקת 2

x=0 x=2\begin{aligned}x &= 0 \\ \ x &= 2\end{aligned}

מועמדים

x=2:3=3 ✓x=0:1≠−1 נפסל\begin{aligned}x &= 2: 3 \\ &= 3 \ \checkmark \qquad x \\ &= 0: 1 \neq -1 \ \text{נפסל}\end{aligned}

בדיקה

x=0x=0 נפסל: אגף ימין 2x−12x-1 שלילי שם. מי שמדלג על הבדיקה עונה שני פתרונות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

נתונה f(x)=x+axf(x)=\sqrt{x}+\dfrac{a}{\sqrt{x}}, כאשר a>0a>0. לפונקציה יש נקודת קיצון ב-x=4x=4. מצאו את aa.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

f(x)=x12+ax−12f(x)=x^{\frac{1}{2}}+a x^{-\frac{1}{2}}

כותבים כחזקות

f′(x)=12x−a2xx=x−a2xx\begin{aligned}f'(x) &= \frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{a}{2x\sqrt{x}} \\ &= \frac{x-a}{2x\sqrt{x}}\end{aligned}

כלל החזקה ומכנה משותף

x=a=4\begin{aligned}x &= a \\ &= 4\end{aligned}

הנגזרת מתאפסת

הכתיבה כחזקה חוסכת את כלל המנה. מי שגוזר את ax\frac{a}{\sqrt{x}} ל-a2x\frac{a}{2\sqrt{x}} שוכח שהחזקה שלילית.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

בפתרון שלפניכם שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

x+7=x+1\sqrt{x+7}=x+1
x+7=(x+1)2x+7=(x+1)^2
x2+x−6=0x^2+x-6=0
הפתרונות: x=2  x=−3\begin{aligned}\text{הפתרונות: } x &= 2 \ \\ \ x &= -3\end{aligned}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : הפתרונות: x=2 , x=−3\text{הפתרונות: } x=2 \ , \ x=-3 → הפתרון: x=2  (x=−3 נפסל)\text{הפתרון: } x=2 \ \ (x=-3 \ \text{נפסל})

Corrigé :

x=2:9=3=2+1 ✓\begin{aligned}x &= 2: \sqrt{9} \\ &= 3 \\ &= 2+1 \ \checkmark\end{aligned}

מתאים

x=−3:4=2≠−2 נפסל\begin{aligned}x &= -3: \sqrt{4} \\ &= 2 \neq -2 \ \text{נפסל}\end{aligned}

נפסל

כל החישובים נכונים. הטעות בשורה האחרונה: היא מדלגת על הבדיקה. הפתרון היחיד x=2x=2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

מצאו את kk שעבורו הישר y=x+ky=x+k משיק לגרף f(x)=xf(x)=\sqrt{x}.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.25

Corrigé :

f′(x)=12x=1 ⇒ x=14\begin{aligned}f'(x) &= \frac{1}{2\sqrt{x}} \\ &= 1 \ \Rightarrow \ x \\ &= \frac{1}{4}\end{aligned}

שיפוע המשיק 11

f(14)=12f\left(\tfrac{1}{4}\right)=\frac{1}{2}

נקודת ההשקה

12=14+k ⇒ k=14\begin{aligned}\frac{1}{2} &= \frac{1}{4}+k \ \Rightarrow \ k \\ &= \frac{1}{4}\end{aligned}

הישר עובר בנקודה

שני תנאים: אותו שיפוע ונקודה משותפת. שיפוע לבד לא קובע את kk.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe