Série 3 — difficile · Fonctions racine · Kita י

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

שאלות שמשלבות שני רעיונות: משוואה עם שני שורשים, מקסימום עם כלל המכפלה, פרמטר בנגזרת, משיק שעובר בנקודה נתונה ושטח.

כששני שורשים במשוואה, מבודדים אחד לפני כל העלאה בחזקה. וכשנקודה אינה על הגרף, מציבים אותה במשוואת המשיק.

Exercices

Exercice 1

מהו תחום ההגדרה של $f(x)=\dfrac{\sqrt{x+2}}{x-3}$ ?

$x \neq 3$
$x \geq -2$
$x > 3$
$x \geq -2$ וגם $x \neq 3$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $x \geq -2$ וגם $x \neq 3$

Corrigé :

x+2 \geq 0 \ \Rightarrow \ x \geq -2

השורש במונה

x-3 \neq 0 \ \Rightarrow \ x \neq 3

המכנה

הנכונה: $x \geq -2$ וגם $x \neq 3$ . שני תנאים, משני מקורות. « $x \geq -2$ » שוכח את המכנה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

פתרו: $\sqrt{2x+3}-\sqrt{x+1}=1$ . למשוואה שני פתרונות.

הפתרון הקטן: ____ , הפתרון הגדול: ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : הפתרון הקטן: -1 , הפתרון הגדול: 3

Corrigé :

\sqrt{2x+3}=1+\sqrt{x+1}

מבודדים שורש אחד

2x+3=1+2\sqrt{x+1}+x+1

מעלים בחזקת 2: נשאר שורש אחד

x+1=2\sqrt{x+1}

מבודדים שוב

\begin{aligned}(x+1)^2 &= 4(x+1) \ \Rightarrow \ x \\ &= -1 \\ \ x &= 3\end{aligned}

מעלים שוב בחזקת 2

\begin{aligned}x &= -1: 1-0 \\ &= 1 \ \checkmark \qquad x \\ &= 3: 3-2 \\ &= 1 \ \checkmark\end{aligned}

בדיקה

מי שמחלק ב- $\sqrt{x+1}$ מאבד את $x=-1$ . לא מחלקים בביטוי שיכול להיות אפס.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתונה $f(x)=x\sqrt{12-x}$ . מהו הערך המקסימלי של הפונקציה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 16

Corrigé :

\begin{aligned}f'(x) &= \sqrt{12-x}-\frac{x}{2\sqrt{12-x}} \\ &= \frac{24-3x}{2\sqrt{12-x}}\end{aligned}

כלל המכפלה ומכנה משותף

x=8

המונה מתאפס; מ- $+$ ל- $-$

\begin{aligned}f(8) &= 8\sqrt{4} \\ &= 16\end{aligned}

La valeur

בלי כלל המכפלה אי אפשר: שני הגורמים תלויים ב- $x$ . מי שגוזר רק את השורש ומשאיר את $x$ בחוץ מקבל $\frac{-x}{2\sqrt{12-x}}$ . הנגזרת הזאת מתאפסת רק ב- $x=0$ , והמקסימום נעלם.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

מהי משוואת המשיק לגרף $f(x)=\sqrt{4x+1}$ שמקביל לישר $y=2x$ ?

$y=2x$
$y=2x+1$
אין משיק כזה
$y=2x-1$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $y=2x+1$

Corrigé :

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2}{\sqrt{4x+1}} \\ &= 2 \ \Rightarrow \ 4x+1 \\ &= 1 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0\end{aligned}

אותו שיפוע

f(0)=1

נקודת ההשקה $(0,1)$

\begin{aligned}y-1 &= 2(x-0) \ \Rightarrow \ y \\ &= 2x+1\end{aligned}

המשיק

הנכונה: $y=2x+1$ . $y=2x$ הוא הישר הנתון עצמו: מקביל, אבל לא עובר בנקודת ההשקה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

הוכיחו או הפריכו: לגרף $f(x)=\sqrt{x+4}$ יש משיק ששיפועו $-1$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x+4}}

הנגזרת

\frac{1}{2\sqrt{x+4}}>0 \ ,\quad x>-4

מונה ומכנה חיוביים

הטענה לא נכונה. השיפוע חיובי בכל נקודה, ולכן אין משיק בשיפוע שלילי. מספיק לראות את הסימן, בלי לפתור משוואה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

נתונה $f(x)=\sqrt{x^2+k}$ , כאשר $k>0$ . ידוע ש- $f'(2)=\frac{1}{2}$ . מצאו את $k$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 12

Corrigé :

f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+k}}

הנגזרת

\begin{aligned}\frac{2}{\sqrt{4+k}} &= \frac{1}{2} \ \Rightarrow \ \sqrt{4+k} \\ &= 4\end{aligned}

On remplace (מציבים)

\begin{aligned}4+k &= 16 \ \Rightarrow \ k \\ &= 12\end{aligned}

מעלים בחזקת 2

מי שכותב $f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x^2+k}}$ שוכח את $2x$ , ומקבל $k<0$ שאינו מתאים לנתון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

מיינו את המשוואות: באילו מהן אחד הפתרונות נפסל בבדיקה?

יש פתרון שנפסל
כל הפתרונות מתאימים

$\sqrt{3x-2}=x$
$\sqrt{5x-4}=x$
$\sqrt{x}=x$
$\sqrt{x+2}=x$
$\sqrt{x+6}=x$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $\sqrt{x+2}=x$ — יש פתרון שנפסל · $\sqrt{x+6}=x$ — יש פתרון שנפסל · $\sqrt{3x-2}=x$ — כל הפתרונות מתאימים · $\sqrt{x}=x$ — כל הפתרונות מתאימים · $\sqrt{5x-4}=x$ — כל הפתרונות מתאימים

Corrigé :

\begin{aligned}\sqrt{x+2} &= x \ : \ x \\ &= 2 \\ \ x &= -1 \ \text{נפסל}\end{aligned}

מועמד שלילי נפסל

\begin{aligned}\sqrt{5x-4} &= x \ : \ x \\ &= 1 \\ \ x &= 4\end{aligned}

שניהם חיוביים ומתאימים

באגף ימין עומד $x$ . לכן כל מועמד שלילי נפסל מיד, וכל מועמד אי-שלילי מתאים כאן.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

המשיק לגרף $f(x)=\sqrt{x}$ בנקודה שבה $x=a$ עובר בנקודה $(-4,\,0)$ . מצאו את $a$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

y=\sqrt{a}+\frac{1}{2\sqrt{a}}(x-a)

המשיק בנקודה $(a,\sqrt{a})$

0=\sqrt{a}+\frac{-4-a}{2\sqrt{a}}

מציבים $(-4,0)$

\begin{aligned}2a &= 4+a \ \Rightarrow \ a \\ &= 4\end{aligned}

כופלים ב- $2\sqrt{a}$

את הנקודה $(-4,0)$ מציבים במשוואת המשיק, לא ב- $f$ : היא לא על הגרף.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

מהו תחום הערכים של $f(x)=\sqrt{4-x^2}$ ?

$0 \leq y \leq 2$
$-2 \leq y \leq 2$
$y \leq 2$
$y \geq 0$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $0 \leq y \leq 2$

Corrigé :

0 \leq 4-x^2 \leq 4

בתחום $-2 \leq x \leq 2$

0 \leq \sqrt{4-x^2} \leq 2

מוציאים שורש

הנכונה: $0 \leq y \leq 2$ . $-2 \leq y \leq 2$ מבלבל בין תחום ההגדרה לתחום הערכים. שורש אינו שלילי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

בשרטוט: המשיק לגרף $f(x)=\sqrt{x}$ בנקודה $(4,2)$ חותך את הצירים בנקודות $A$ ו- $B$ . מצאו את שטח המשולש $AOB$ , כאשר $O$ ראשית הצירים.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

y=\frac{1}{4}x+1

המשיק: $f'(4)=\frac{1}{4}$

A(-4,\,0) ,\ B(0,\,1)

חיתוך עם הצירים

\frac{4 \cdot 1}{2}=2

משולש ישר זווית בראשית

האורך $OA$ הוא $4$ , ולא $-4$ : אורך אינו שלילי. שטח שלילי הוא סימן לטעות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercices

La suite se pratique sur elev