Série 2 — moyen

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

עשר שאלות של שניים או שלושה צעדים: תחום בשיטת הקטעים, כלל השרשרת, משוואה עם פתרון שנפסל, משיק ותחומי עלייה.

רוב הטעויות כאן הן נגזרת הפנימית שנשכחה ובדיקה שלא נעשתה. חפשו אותן בכל שאלה.

Exercices

Exercice 1

מהו תחום ההגדרה של f(x)=x2−6xf(x)=\sqrt{x^2-6x}?

  1. 0≤x≤60 \leq x \leq 6
  2. x≥0x \geq 0
  3. x≥6x \geq 6
  4. x≤0x \leq 0 או x≥6x \geq 6
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D x≤0x \leq 0 או x≥6x \geq 6

Corrigé :

x(x−6)≥0x(x-6) \geq 0

מפרקים

x≤0 או x≥6x \leq 0 \ \text{או} \ x \geq 6

שיטת הקטעים: חיובי מחוץ לשורשים

הנכונה: x≤0x \leq 0 או x≥6x \geq 6. 0≤x≤60 \leq x \leq 6 הוא הקטע שבו הביטוי שלילי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתונה f(x)=x2+16f(x)=\sqrt{x^2+16}. חשבו את f′(3)f'(3).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.6

Corrigé :

f′(x)=2x2x2+16=xx2+16\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2x}{2\sqrt{x^2+16}} \\ &= \frac{x}{\sqrt{x^2+16}}\end{aligned}

הנגזרת

f′(3)=35=0.6\begin{aligned}f'(3) &= \frac{3}{5} \\ &= 0.6\end{aligned}

On remplace (מציבים)

בלי נגזרת הפנימית היה יוצא 110\frac{1}{10}. x2+16x^2+16 אינו xx: הנגזרת שלו 2x2x.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

פתרו: x+10=x−2\sqrt{x+10}=x-2

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6

Corrigé :

x+10=x2−4x+4 ⇒ x2−5x−6=0\begin{aligned}x+10 &= x^2-4x+4 \ \Rightarrow \ x^2-5x-6 \\ &= 0\end{aligned}

מעלים בחזקת 2

x=6 x=−1\begin{aligned}x &= 6 \\ \ x &= -1\end{aligned}

מועמדים

x=6:4=4 ✓x=−1:3≠−3 נפסל\begin{aligned}x &= 6: 4 \\ &= 4 \ \checkmark \qquad x \\ &= -1: 3 \neq -3 \ \text{נפסל}\end{aligned}

בדיקה

x=−1x=-1 נפסל: אגף ימין x−2x-2 שלילי שם, ושורש אינו שלילי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

מצאו את משוואת המשיק לגרף f(x)=5x−1f(x)=\sqrt{5x-1} בנקודה שבה x=1x=1. מהו שיעור ה-yy של נקודת החיתוך של המשיק עם ציר ה-yy?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.75

Corrigé :

f(1)=2f(1)=2

נקודת ההשקה (1,2)(1,2)

f′(x)=525x−1 ⇒ f′(1)=54\begin{aligned}f'(x) &= \frac{5}{2\sqrt{5x-1}} \ \Rightarrow \ f'(1) \\ &= \frac{5}{4}\end{aligned}

השיפוע

y=54(x−1)+2=54x+34\begin{aligned}y &= \frac{5}{4}(x-1)+2 \\ &= \frac{5}{4}x+\frac{3}{4}\end{aligned}

המשיק

שיעור ה-yy של החיתוך הוא 0.750.75. מי ששוכח את נגזרת הפנימית מקבל שיפוע 14\frac{1}{4} ומשיק שגוי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

נתונה f(x)=x−6xf(x)=x-6\sqrt{x}. באיזה תחום הפונקציה יורדת?

  1. x>9x>9
  2. 0<x<90<x<9
  3. x>0x>0
  4. x<9x<9
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B 0<x<90<x<9

Corrigé :

f′(x)=1−3xf'(x)=1-\frac{3}{\sqrt{x}}

הנגזרת

x=3 ⇒ x=9\begin{aligned}\sqrt{x} &= 3 \ \Rightarrow \ x \\ &= 9\end{aligned}

נקודה חשודה

f′(1)=−2<0f'(1)=-2<0

ב-0<x<90<x<9 יורדת

הנכונה: 0<x<90<x<9. x<9x<9 כולל ערכים שליליים שאינם בתחום ההגדרה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

בגזירה שלפניכם שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

f(x)=x(x−1)f(x)=\sqrt{x}(x-1)
f(x)=x32−x12f(x)=x^{\frac{3}{2}}-x^{\frac{1}{2}}
f′(x)=32x12−12x12f'(x)=\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : f′(x)=32x12−12x12f'(x)=\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}} → f′(x)=32x12−12x−12f'(x)=\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}

Corrigé :

(x12)′=12x−12\left(x^{\frac{1}{2}}\right)'=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}

החזקה קטנה באחד

f′(x)=32x−12xf'(x)=\frac{3}{2}\sqrt{x}-\frac{1}{2\sqrt{x}}

חוזרים לשורש

הטעות בשורה השלישית: 12−1=−12\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2}, ולא 12\frac{1}{2}. בגזירת x12x^{\frac{1}{2}} החזקה קטנה באחד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

הוכיחו או הפריכו: הפונקציה f(x)=9−x2f(x)=\sqrt{9-x^2} מוגדרת בנקודה x=3x=3.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

9−32=09-3^2=0

מה שמתחת לשורש

f(3)=0=0\begin{aligned}f(3) &= \sqrt{0} \\ &= 0\end{aligned}

מוגדר

הטענה נכונה. הפונקציה מוגדרת ב-x=3x=3, אבל הנגזרת −x9−x2\frac{-x}{\sqrt{9-x^2}} אינה מוגדרת שם.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

נתונה f(x)=3x−6f(x)=\sqrt{3x-6}. השלימו.

המשיק האנכי לגרף: x=x= ____ , f′(5)=f'(5)= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : המשיק האנכי לגרף: x=x= 2 , f′(5)=f'(5)= 0.5

Corrigé :

3x−6=0 ⇒ x=2\begin{aligned}3x-6 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}

נקודת ההתחלה: שם המשיק אנכי

f′(x)=323x−6 ⇒ f′(5)=36=0.5\begin{aligned}f'(x) &= \frac{3}{2\sqrt{3x-6}} \ \Rightarrow \ f'(5) \\ &= \frac{3}{6} \\ &= 0.5\end{aligned}

השיפוע ב-x=5x=5

המשיק האנכי אינו x=6x=6: פותרים 3x−6=03x-6=0 ומחלקים ב-33.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

פתרו: x2−5=2\sqrt{x^2-5}=2

  1. x=3x=3 או x=−3x=-3
  2. x=±7x=\pm \sqrt{7}
  3. x=3x=3 בלבד
  4. אין פתרון
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A x=3x=3 או x=−3x=-3

Corrigé :

x2−5=4 ⇒ x2=9\begin{aligned}x^2-5 &= 4 \ \Rightarrow \ x^2 \\ &= 9\end{aligned}

מעלים בחזקת 2

x=±3x=\pm 3

שני מועמדים

9−5=2 ✓\sqrt{9-5}=2 \ \checkmark

בדיקה: שניהם מתאימים

הנכונה: x=3x=3 או x=−3x=-3. xx עצמו יכול להיות שלילי; רק השורש אינו שלילי. x=±7x=\pm\sqrt{7} מתקבל כששוכחים להעלות את ה-22 בחזקה: x2−5=2x^2-5=2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

מצאו את הערך המינימלי של הפונקציה f(x)=x−6x+10f(x)=x-6\sqrt{x}+10.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1

Corrigé :

f′(x)=1−3x=0 ⇒ x=9\begin{aligned}f'(x) &= 1-\frac{3}{\sqrt{x}} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 9\end{aligned}

נקודה חשודה

f′(1)<0, f′(16)>0f'(1)<0 ,\ f'(16)>0

מינימום

f(9)=9−18+10=1\begin{aligned}f(9) &= 9-18+10 \\ &= 1\end{aligned}

La valeur

f(0)=10>1f(0)=10 > 1

הקצה אינו נמוך יותר

הערך המינימלי הוא ערך של ff: 11. מי שעונה 99 נתן את שיעור ה-xx.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe