Domaine de définition et fonction racine

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

נסו להקיש במחשבון −4\sqrt{-4}: תופיע הודעת שגיאה. אין מספר ממשי שריבועו −4-4. לכן לגרף של y=xy=\sqrt{x} אין אף נקודה משמאל לציר ה-yy. הסתכלו על הגרף לפני כל כלל.

הגרף של y = √x
(0,0)(1,1)(4,2)(9,3)אין גרף-3-2-10123456789-1123xy
הגרף מתחיל בנקודה (0,0)(0,0) ופונה ימינה. הוא עולה, אבל לאט יותר ויותר: כדי לעלות מ-22 ל-33 צריך להתקדם מ-x=4x=4 עד x=9x=9.

לפי הגרף: למה הגרף לא ממשיך שמאלה מהנקודה (0,0)(0,0)? ומהו תחום הערכים של yy?

Voir la réponse et le corrigé

משמאל ל-00 הערכים של xx שליליים, ושורש של מספר שלילי אינו מוגדר. הערכים של yy הם y≥0y \geq 0: שורש אף פעם אינו שלילי.

תחום ההגדרה של g(x)\sqrt{g(x)}

y=g(x):g(x)≥0y = \sqrt{g(x)} \quad : \quad g(x) \geq 0

מה שמתחת לשורש חייב להיות אי-שלילי. לכן תחום ההגדרה הוא פתרון של אי-שוויון. אי-שוויון ממעלה ראשונה פותרים ישירות, ואי-שוויון ריבועי פותרים בשיטת הקטעים.

x−3 : x≥3\sqrt{x-3} \ : \ x \geq 3

אי-שוויון ממעלה ראשונה

6−2x : x≤3\sqrt{6-2x} \ : \ x \leq 3

מחלקים ב-−2-2, ולכן כיוון האי-שוויון מתהפך

x2−9 : x≤−3 או x≥3\sqrt{x^2-9} \ : \ x \leq -3 \ \text{או} \ x \geq 3

שיטת הקטעים: הפרבולה x2−9x^2-9 חיובית מחוץ לשורשים

x2+1 : כל x\sqrt{x^2+1} \ : \ \text{כל } x

x2+1≥1x^2+1 \geq 1 תמיד

1x−2 : x>2\frac{1}{\sqrt{x-2}} \ : \ x > 2

השורש במכנה, ולכן אסור שיהיה 00

מהו תחום ההגדרה של f(x)=x2−4xf(x)=\sqrt{x^2-4x}?

Voir la réponse et le corrigé

x2−4x=x(x−4)≥0x^2-4x=x(x-4) \geq 0. השורשים 00 ו-44, והפרבולה חיובית מחוץ להם: x≤0x \leq 0 או x≥4x \geq 4. בין 00 ל-44 הפונקציה אינה מוגדרת.

הזזות ושיקופים של x\sqrt{x}

ax+b\sqrt{ax+b} — מאיפה הגרף מתחיל ולאן הוא פונה

הגרף של y=ax+by=\sqrt{ax+b} מתחיל בנקודה שבה ax+b=0ax+b=0, כלומר ב-(−ba, 0)\left(-\frac{b}{a},\,0\right). אם a>0a>0 הגרף פונה ימינה (x≥−bax \geq -\frac{b}{a}). אם a<0a<0 הגרף פונה שמאלה (x≤−bax \leq -\frac{b}{a}).

תחום, נקודת התחלה וחיתוך עם הצירים

נתונה f(x)=8−2x−2f(x)=\sqrt{8-2x}-2. מצאו את תחום ההגדרה, את נקודת ההתחלה של הגרף ואת נקודות החיתוך עם הצירים.

8−2x≥0 ⇒ x≤48-2x \geq 0 \ \Rightarrow \ x \leq 4

תחום ההגדרה. a=−2<0a=-2<0, ולכן הגרף פונה שמאלה

f(4)=0−2=−2\begin{aligned}f(4) &= \sqrt{0}-2 \\ &= -2\end{aligned}

נקודת ההתחלה: (4, −2)(4,\,-2)

f(0)=8−2=22−2\begin{aligned}f(0) &= \sqrt{8}-2 \\ &= 2\sqrt{2}-2\end{aligned}

חיתוך עם ציר ה-yy: (0, 22−2)(0,\,2\sqrt{2}-2)

8−2x=2 ⇒ 8−2x=4 ⇒ x=2\begin{aligned}\sqrt{8-2x} &= 2 \ \Rightarrow \ 8-2x \\ &= 4 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}

חיתוך עם ציר ה-xx: (2, 0)(2,\,0). בדיקה: 4−2=0\sqrt{4}-2=0 ✓

מהו תחום ההגדרה של f(x)=x+1+3−xf(x)=\sqrt{x+1}+\sqrt{3-x}?

Voir la réponse et le corrigé

שני השורשים צריכים להיות מוגדרים: x≥−1x \geq -1 וגם x≤3x \leq 3. התחום הוא −1≤x≤3-1 \leq x \leq 3: החיתוך של שני התחומים, לא האיחוד.

תחום ההגדרה הוא הצעד הראשון בכל שאלה על פונקציית שורש: בחקירה, במשוואה ובמשיק. פתרון שנמצא מחוץ לתחום נפסל מיד.

שלוש הטעויות בתחום ההגדרה.

6−2x : x≥3\sqrt{6-2x} \ : \ x \geq 3
6−2x : x≤3\sqrt{6-2x} \ : \ x \leq 3

מחלקים את −2x≥−6-2x \geq -6 במספר שלילי, ולכן כיוון האי-שוויון מתהפך. בדיקה: x=0x=0 נותן 6\sqrt{6}, מוגדר.

x2−9 : x≥3\sqrt{x^2-9} \ : \ x \geq 3
x≤−3 או x≥3x \leq -3 \ \text{או} \ x \geq 3

שכחו את החצי השמאלי. בדיקה: x=−5x=-5 נותן 16=4\sqrt{16}=4, מוגדר.

1x−2 : x≥2\frac{1}{\sqrt{x-2}} \ : \ x \geq 2
1x−2 : x>2\frac{1}{\sqrt{x-2}} \ : \ x > 2

ב-x=2x=2 המכנה הוא 00. שורש במכנה דורש אי-שוויון חזק.

Exercices

Exercice 1

מהו תחום ההגדרה של f(x)=6−3xf(x)=\sqrt{6-3x}?

  1. x≤2x \leq 2
  2. x<2x < 2
  3. x≥2x \geq 2
  4. x≥−2x \geq -2
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A x≤2x \leq 2

Corrigé :

6−3x≥06-3x \geq 0

מה שמתחת לשורש אי-שלילי

−3x≥−6 ⇒ x≤2-3x \geq -6 \ \Rightarrow \ x \leq 2

מחלקים ב-−3-3 והופכים את הכיוון

הנכונה: x≤2x \leq 2. מי שבחר x≥2x \geq 2 לא הפך את כיוון האי-שוויון. מי שבחר x<2x<2 שכח שב-x=2x=2 מתקבל 0=0\sqrt{0}=0, מוגדר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתונה f(x)=2x+6f(x)=\sqrt{2x+6}. השלימו.

תחום ההגדרה: x≥x \geq ____ , f(5)=f(5)= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : תחום ההגדרה: x≥x \geq -3 , f(5)=f(5)= 4

Corrigé :

2x+6≥0 ⇒ x≥−32x+6 \geq 0 \ \Rightarrow \ x \geq -3

תחום ההגדרה

f(5)=16=4\begin{aligned}f(5) &= \sqrt{16} \\ &= 4\end{aligned}

On remplace (מציבים)

הגרף מתחיל ב-(−3, 0)(-3,\,0) ופונה ימינה. 16=4\sqrt{16}=4 ולא ±4\pm 4: השורש הוא תמיד הערך האי-שלילי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

מהו תחום ההגדרה של f(x)=x2−16f(x)=\sqrt{x^2-16}?

  1. x≥4x \geq 4
  2. x≤−4x \leq -4 או x≥4x \geq 4
  3. כל xx
  4. −4≤x≤4-4 \leq x \leq 4
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B x≤−4x \leq -4 או x≥4x \geq 4

Corrigé :

x2−16=(x−4)(x+4)≥0x^2-16=(x-4)(x+4) \geq 0

מפרקים

x≤−4 או x≥4x \leq -4 \ \text{או} \ x \geq 4

שיטת הקטעים: חיובי מחוץ לשורשים

הנכונה: x≤−4x \leq -4 או x≥4x \geq 4. −4≤x≤4-4 \leq x \leq 4 הוא בדיוק הקטע שבו הביטוי שלילי. x≥4x \geq 4 שוכח את החצי השמאלי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

נתונה f(x)=x+5−3f(x)=\sqrt{x+5}-3. מצאו את שיעור ה-xx של נקודת החיתוך של הגרף עם ציר ה-xx.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

x+5−3=0 ⇒ x+5=3\begin{aligned}\sqrt{x+5}-3 &= 0 \ \Rightarrow \ \sqrt{x+5} \\ &= 3\end{aligned}

מבודדים את השורש

x+5=9 ⇒ x=4\begin{aligned}x+5 &= 9 \ \Rightarrow \ x \\ &= 4\end{aligned}

מעלים בחזקת 2

9−3=0\sqrt{9}-3=0

בדיקה ✓

מי שכותב x+5=3x+5=3 שכח להעלות בחזקת 2. ומי שפותר x=3−5\sqrt{x}=3-5 הוציא את ה-55 מתוך השורש, וזה אסור.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

מיינו את הפונקציות: באילו מהן x=2x=2 נמצא בתחום ההגדרה?

  • מוגדרת ב-x=2x=2
  • לא מוגדרת ב-x=2x=2
  • 1x−2\dfrac{1}{\sqrt{x-2}}
  • 2x−4\sqrt{2x-4}
  • 5−x\sqrt{5-x}
  • x−3\sqrt{x-3}
  • x2−3x+2\sqrt{x^2-3x+2}
  • x2−5\sqrt{x^2-5}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5−x\sqrt{5-x} — מוגדרת ב-x=2x=2 · 2x−4\sqrt{2x-4} — מוגדרת ב-x=2x=2 · x2−3x+2\sqrt{x^2-3x+2} — מוגדרת ב-x=2x=2 · x−3\sqrt{x-3} — לא מוגדרת ב-x=2x=2 · x2−5\sqrt{x^2-5} — לא מוגדרת ב-x=2x=2 · 1x−2\dfrac{1}{\sqrt{x-2}} — לא מוגדרת ב-x=2x=2

Corrigé :

2⋅2−4=0=0\begin{aligned}\sqrt{2 \cdot 2-4} &= \sqrt{0} \\ &= 0\end{aligned}

מוגדר: אפס מותר מתחת לשורש

4−6+2=0\sqrt{4-6+2}=0

גם כאן אפס

10\frac{1}{\sqrt{0}}

חילוק באפס: לא מוגדר

אפס מותר מתחת לשורש, אבל אסור במכנה. לכן 2x−4\sqrt{2x-4} מוגדרת ב-x=2x=2 ו-1x−2\frac{1}{\sqrt{x-2}} לא.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

מהו תחום ההגדרה של f(x)=x+1+3−xf(x)=\sqrt{x+1}+\sqrt{3-x}?

  1. כל xx
  2. x≥−1x \geq -1
  3. x≤3x \leq 3
  4. −1≤x≤3-1 \leq x \leq 3
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D −1≤x≤3-1 \leq x \leq 3

Corrigé :

x+1≥0 ⇒ x≥−1x+1 \geq 0 \ \Rightarrow \ x \geq -1

השורש הראשון

3−x≥0 ⇒ x≤33-x \geq 0 \ \Rightarrow \ x \leq 3

השורש השני

−1≤x≤3-1 \leq x \leq 3

שניהם יחד: חיתוך

הנכונה: −1≤x≤3-1 \leq x \leq 3. «כל xx» מתקבל כשלוקחים איחוד של התחומים. אבל סכום מוגדר רק כששני המחוברים מוגדרים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

הוכיחו או הפריכו: תחום ההגדרה של f(x)=x2+4f(x)=\sqrt{x^2+4} הוא כל xx.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

x2≥0 ⇒ x2+4≥4>0x^2 \geq 0 \ \Rightarrow \ x^2+4 \geq 4 > 0

הביטוי חיובי תמיד

הטענה נכונה. לא כל שורש מגביל את התחום: כאן מה שמתחת לשורש לעולם אינו שלילי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

תחום ההגדרה של f(x)=12−x−x2f(x)=\sqrt{12-x-x^2} הוא קטע. מהו אורך הקטע?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 7

Corrigé :

12−x−x2≥0 ⇒ x2+x−12≤012-x-x^2 \geq 0 \ \Rightarrow \ x^2+x-12 \leq 0

כופלים ב-−1-1 והופכים את הכיוון

(x+4)(x−3)≤0 ⇒ −4≤x≤3(x+4)(x-3) \leq 0 \ \Rightarrow \ -4 \leq x \leq 3

בין השורשים

3−(−4)=73-(-4)=7

אורך הקטע

אחרי הכפל ב-−1-1 הכיוון מתהפך. מי ששוכח את זה מקבל x≤−4x \leq -4 או x≥3x \geq 3, ושם אין קטע סופי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

התאימו לכל פונקציה את תחום ההגדרה שלה.

  • x−4\sqrt{x-4}
  • 4−x\sqrt{4-x}
  • 1x−4\dfrac{1}{\sqrt{x-4}}
  • 14−x\dfrac{1}{\sqrt{4-x}}
  • x≥4x \geq 4
  • x≤4x \leq 4
  • x<4x < 4
  • x>4x > 4
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : x−4\sqrt{x-4} — x≥4x \geq 4 · 4−x\sqrt{4-x} — x≤4x \leq 4 · 1x−4\dfrac{1}{\sqrt{x-4}} — x>4x > 4 · 14−x\dfrac{1}{\sqrt{4-x}} — x<4x < 4

Corrigé :

4−x≥0 ⇒ x≤44-x \geq 0 \ \Rightarrow \ x \leq 4

מינוס לפני xx הופך את הכיוון

x−4≠0 ⇒ x≠4\sqrt{x-4} \neq 0 \ \Rightarrow \ x \neq 4

במכנה: אי-שוויון חזק

ארבעה תחומים שונים, וכולם סביב המספר 44. שני דברים מבדילים ביניהם: הסימן של xx (הכיוון), והמכנה (האם 44 עצמו נכלל).

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

נתונה f(x)=ax+bf(x)=\sqrt{ax+b}. ידוע שתחום ההגדרה של ff הוא x≤5x \leq 5, ושהגרף עובר בנקודה (1, 2)(1,\,2). מצאו את aa ואת bb.

a=a= ____ , b=b= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : a=a= -1 , b=b= 5

Corrigé :

−ba=5 ⇒ b=−5a\begin{aligned}-\frac{b}{a} &= 5 \ \Rightarrow \ b \\ &= -5a\end{aligned}

הגרף מתחיל ב-x=5x=5

a+b=2 ⇒ a+b=4\begin{aligned}\sqrt{a+b} &= 2 \ \Rightarrow \ a+b \\ &= 4\end{aligned}

הנקודה (1,2)(1,2) על הגרף

a−5a=4 ⇒ a=−1 b=5\begin{aligned}a-5a &= 4 \ \Rightarrow \ a \\ &= -1 \\ \ b &= 5\end{aligned}

On remplace (מציבים)

5−x : x≤5\sqrt{5-x} \ : \ x \leq 5

בדיקה ✓

התחום x≤5x \leq 5 אומר גם ש-a<0a<0: הגרף פונה שמאלה. a=−1a=-1 מתאים לזה. מי שמקבל a>0a>0 טעה בסימן.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe