Dérivée d'une racine

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

לפני כל כלל, נסתכל על הגרף של y=xy=\sqrt{x} ועל שני משיקים שלו. אחר כך נראה שאין צורך בכלל חדש: השורש הוא חזקה, וכלל החזקה שכבר יש לנו מספיק.

שני משיקים לגרף y = √x
(1,1)(4,2)-10123456789123xy
בנקודה (1,1)(1,1) המשיק עולה חצי יחידה על כל יחידה ימינה: שיפועו 12\frac{1}{2}. בנקודה (4,2)(4,2) המשיק שטוח יותר: שיפועו 14\frac{1}{4}. ככל ש-xx גדל, השיפוע קטן.

לפי שני השיפועים 12\frac{1}{2} ב-x=1x=1 ו-14\frac{1}{4} ב-x=4x=4: איזו נוסחה מתאימה לשניהם — 1x\frac{1}{\sqrt{x}} או 12x\frac{1}{2\sqrt{x}}?

Voir la réponse et le corrigé

121=12\frac{1}{2\sqrt{1}}=\frac{1}{2} ו-124=14\frac{1}{2\sqrt{4}}=\frac{1}{4}. 12x\frac{1}{2\sqrt{x}} מתאימה. 1x\frac{1}{\sqrt{x}} נותנת 11 ו-12\frac{1}{2}: פי שניים מהשיפוע שרואים בגרף.

לכתוב את השורש כחזקה

x=x12\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}

מאיפה בא ה-2 במכנה

נגזור x\sqrt{x} בעזרת כלל החזקה בלבד.

x=x12\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}

כותבים כחזקה

12x−12\frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}}

כלל החזקה: החזקה יורדת וקטנה באחד

12⋅1x\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{x}}

חזקה שלילית היא מנה

12x\frac{1}{2\sqrt{x}}

וזו התוצאה

ה-22 אינו שרירותי — הוא החזקה 12\frac{1}{2} שירדה למטה. מי שזוכר מאיפה הוא בא לא ישכח אותו.

תחום ההגדרה — ופער שכדאי לשים לב אליו

f(x)=x : x≥0f(x) = \sqrt{x} \ : \ x \geq 0

הפונקציה מוגדרת גם באפס.

f′(x)=12x : x>0f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \ : \ x > 0

הנגזרת אינה מוגדרת באפס — שם המכנה מתאפס.

זהו המקרה הראשון שבו תחום הנגזרת צר מתחום הפונקציה. ב-x=0x=0 המשיק אנכי: אין לו שיפוע.

מה קורה ל-f′(x)=12xf'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} כאשר xx מתקרב לאפס?

Voir la réponse et le corrigé

המכנה קטן והולך, ולכן הנגזרת גדלה ללא גבול. הגרף נעשה תלול יותר ויותר, עד למשיק אנכי בנקודה x=0x = 0 עצמה.

שורש בתוך מכפלה או מנה

כשהשורש מופיע לצד ביטוי אחר, לרוב כדאי לפשט לחזקה לפני הגזירה במקום לפתוח בכלל המכפלה.

לפשט לפני שגוזרים

גזרו: f(x)=xxf(x) = x\sqrt{x}

x⋅x12=x32x \cdot x^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{2}}

חוק החזקות — מחברים מעריכים

32x12\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}

כלל החזקה

32x\frac{3}{2}\sqrt{x}

וחוזרים לשורש

בכלל המכפלה זה היה יוצא נכון גם כן, אבל בשלושה שלבים נוספים. פישוט לפני גזירה חוסך שגיאות.

גזרו f(x)=xxf(x) = \dfrac{\sqrt{x}}{x} בלי כלל המנה.

Voir la réponse et le corrigé

x1/2x=x−12\frac{x^{1/2}}{x} = x^{-\frac{1}{2}}, ונגזרתו −12x−32=−12xx-\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}} = -\dfrac{1}{2x\sqrt{x}}. כלל המנה מיותר כשאפשר לצמצם חזקות.

שתי הטעויות של גזירת שורש.

(x)′=1x(\sqrt{x})' = \frac{1}{\sqrt{x}}
(x)′=12x(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}

ה-22 נשכח. הוא בא מהחזקה 12\frac{1}{2} שירדה למטה — לא משום מקום אחר.

(x)′=x′(\sqrt{x})' = \sqrt{x'}
(x)′=(x12)′=12x−12\begin{aligned}(\sqrt{x})' &= \left(x^{\frac{1}{2}}\right)' \\ &= \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}\end{aligned}

אי אפשר «להכניס» את הגזירה לתוך השורש. קודם כותבים כחזקה, ורק אז גוזרים.

Exercices

Exercice 1

גזרו: f(x)=xf(x) = \sqrt{x}

  1. 12x\dfrac{1}{2x}
  2. 12x\dfrac{1}{2\sqrt{x}}
  3. 1x\dfrac{1}{\sqrt{x}}
  4. 2x2\sqrt{x}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B 12x\dfrac{1}{2\sqrt{x}}

Corrigé :

x12x^{\frac{1}{2}}

כחזקה

12x−12=12x\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}

כלל החזקה

ה-22 הוא החזקה 12\frac{1}{2} שירדה למטה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתון f(x)=xf(x) = \sqrt{x}. חשבו את f′(9)f'(9). עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.167

Corrigé :

f′(x)=12xf'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}

הנגזרת

12⋅3=16≈0.167\frac{1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{6} \approx 0.167

On remplace (מציבים)

בלי ה-22 היה יוצא 13\frac{1}{3} — פי שניים מהאמת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתון f(x)=xf(x) = \sqrt{x}. חשבו את f′(0.25)f'(0.25).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1

Corrigé :

0.25=0.5\sqrt{0.25} = 0.5

השורש

12⋅0.5=1\frac{1}{2 \cdot 0.5} = 1

On remplace (מציבים)

ככל שמתקרבים לאפס השיפוע גדל — הגרף נעשה תלול.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

מהו תחום ההגדרה של הנגזרת של f(x)=xf(x) = \sqrt{x}?

  1. כל xx
  2. x>0x > 0
  3. x≠0x \neq 0
  4. x≥0x \geq 0
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B x>0x > 0

Corrigé :

f′(x)=12xf'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}

הנגזרת

x≠0⇒x>0\sqrt{x} \neq 0 \Rightarrow x > 0

המכנה

הפונקציה מוגדרת גם ב-00, הנגזרת לא. שם המשיק אנכי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

גזרו: f(x)=xxf(x) = x\sqrt{x}

  1. 12x\dfrac{1}{2\sqrt{x}}
  2. 32x\dfrac{3}{2}\sqrt{x}
  3. x\sqrt{x}
  4. 32x\dfrac{3}{2}x
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B 32x\dfrac{3}{2}\sqrt{x}

Corrigé :

x⋅x12=x32x \cdot x^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{2}}

חוק החזקות

32x12=32x\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} = \frac{3}{2}\sqrt{x}

כלל החזקה

אפשר גם בכלל המכפלה — אותה תשובה, בשלושה שלבים נוספים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

נתון f(x)=xxf(x) = x\sqrt{x}. חשבו את f′(4)f'(4).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

f′(x)=32xf'(x) = \frac{3}{2}\sqrt{x}

הנגזרת

32⋅2=3\frac{3}{2} \cdot 2 = 3

On remplace (מציבים)

4=2\sqrt{4}=2, ומשם ישר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

גזרו: f(x)=xxf(x) = \dfrac{\sqrt{x}}{x}

  1. −12xx-\dfrac{1}{2x\sqrt{x}}
  2. −12x-\dfrac{1}{2\sqrt{x}}
  3. 12x\dfrac{1}{2\sqrt{x}}
  4. 12x\dfrac{1}{2x}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A −12xx-\dfrac{1}{2x\sqrt{x}}

Corrigé :

x1/2x=x−12\frac{x^{1/2}}{x} = x^{-\frac{1}{2}}

מצמצמים חזקות

−12x−32-\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}

כלל החזקה

−12xx-\frac{1}{2x\sqrt{x}}

חוזרים לשורש

כלל המנה מיותר כאן. צמצום חזקות קודם — ושלושה שלבים במקום שישה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

נתון f(x)=xxf(x) = \dfrac{\sqrt{x}}{x}. חשבו את f′(4)f'(4).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -0.0625

Corrigé :

f′(x)=−12xxf'(x) = -\frac{1}{2x\sqrt{x}}

הנגזרת

−12⋅4⋅2=−116-\frac{1}{2 \cdot 4 \cdot 2} = -\frac{1}{16}

On remplace (מציבים)

−0.0625-0.0625. שלילי — הפונקציה יורדת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

מדוע ב-x=0x = 0 אין לגרף y=xy = \sqrt{x} שיפוע?

  1. יש שם נקודת קיצון
  2. השיפוע שווה לאפס
  3. המשיק שם אנכי
  4. הפונקציה לא מוגדרת שם
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C המשיק שם אנכי

Corrigé :

f′(x)=12xf'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}

כש-xx מתקרב ל-00 המכנה מתקרב ל-00, והנגזרת גדלה ללא גבול

הפונקציה כן מוגדרת ב-00 (ערכה 00) — רק הנגזרת אינה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

הוכיחו ש-(x)′=12x\left(\sqrt{x}\right)' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}, בעזרת כלל החזקה בלבד.

  • x=x12\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}
  • כלל החזקה: (xn)′=nxn−1(x^n)' = n x^{n-1}

(x)′=12x\left(\sqrt{x}\right)' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}

Voir la réponse et le corrigé
  1. x=x12\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} — הגדרת שורש כחזקה
  2. (x12)′=12x−12\left(x^{\frac{1}{2}}\right)' = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} — כלל החזקה עם n=12n = \frac{1}{2}
  3. x−12=1xx^{-\frac{1}{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{x}} — חזקה שלילית היא הופכי
  4. (x)′=12⋅1x\left(\sqrt{x}\right)' = \frac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{x}} — הצבת החזקה השלילית
  5. (x)′=12x\left(\sqrt{x}\right)' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} — כפל השברים
Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe