On résout ensemble · Fonctions racine · Kita י

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

חמש שאלות בסגנון הבגרות, אחת לכל רעיון של הפרק: חקירה מלאה, משוואה אי-רציונלית, פרמטרים ומשיק אנכי, «האם ייתכן», וערכי קיצון בקטע סגור. כל שאלה נפתרת יחד, שלב אחרי שלב. שאלה תאומה מחכה לכם למטה, לפתור לבד.

לפני כל לחיצה, אמרו לעצמכם מה אתם הייתם עושים. הפער בין התוכנית שלכם לבין השלב שמופיע הוא מה שמלמד.

1 — חקירה מלאה, עם משוואה בתוכה

Activité interactive

נתונה $f(x)=\sqrt{8-2x}+x$ . א. מצאו את תחום ההגדרה. ב. מצאו את נקודות החיתוך עם הצירים. ג. מצאו את נקודות הקיצון וקבעו את סוגן. ד. מצאו את תחומי העלייה והירידה.

f(x)=\sqrt{8-2x}+x

לחצו «להתחיל». התחום הוא הצעד הראשון: הוא יפסול פתרון בסעיף ב.

א. תחום

8-2x \geq 0 \ \Rightarrow \ x \leq 4

הגרף מסתיים בקצה $x=4$ .

ב. ציר y

\begin{aligned}f(0) &= \sqrt{8} \\ &= 2\sqrt{2}\end{aligned}

הנקודה $(0,\,2\sqrt{2})$ .

ב. ציר x

\begin{aligned}\sqrt{8-2x} &= -x \ \Rightarrow \ 8-2x \\ &= x^2 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2 \\ \ x &= -4\end{aligned}

מבודדים ומעלים בחזקת 2. שני מועמדים.

ב. בדיקה

\begin{aligned}x &= -4: \sqrt{16}-4 \\ &= 0 \ \checkmark \qquad x \\ &= 2: \sqrt{4}+2 \\ &= 4 \neq 0 \ \text{נפסל}\end{aligned}

רק $(-4,\,0)$ . שימו לב: $\sqrt{8-2x}=-x$ מחייב $-x \geq 0$ .

ג. נגזרת

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{-2}{2\sqrt{8-2x}}+1 \\ &= 1-\frac{1}{\sqrt{8-2x}} \ \\ \quad x<4\end{aligned}

הנגזרת אינה מוגדרת בקצה $x=4$ .

ג. חשודה

\begin{aligned}\sqrt{8-2x} &= 1 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3.5 \ \\ \quad f(3.5) &= 1+3.5 \\ &= 4.5\end{aligned}

נקודה חשודה פנימית, ועוד הקצה $(4,\,4)$ .

ד. סימנים

\begin{aligned}f'(0) &= 1-\tfrac{1}{\sqrt{8}}>0 \qquad f'(3.9) \\ &= 1-\tfrac{1}{\sqrt{0.2}}<0\end{aligned}

עולה ב- $x<3.5$ , יורדת ב- $3.5<x<4$ .

ג. ו-ד. מסקנה

\max (3.5,\,4.5) \qquad \min (4,\,4) \ \text{קצה}

הפונקציה יורדת עד הקצה, ולכן הקצה הוא מינימום.

שני מקומות שבהם הפרק «תופס»: הבדיקה בסעיף ב, והקצה $x=4$ בסעיף ג.

Faire l'activité sur elev

האם $(4,\,4)$ היא נקודת המינימום של כל הפונקציה?

Voir la réponse et le corrigé

לא. כש- $x$ שלילי וגדול בערכו המוחלט, $f(x)$ קטנה מכל מספר, למשל $f(-4)=0<4$ . הנקודה $(4,4)$ היא מינימום מקומי בקצה התחום.

השאלה התאומה: שאלה 1 ברשימה למטה.

2 — משוואה אי-רציונלית

Activité interactive

פתרו: $\sqrt{3x+1}=x-3$

פתרו את המשוואה $\sqrt{3x+1}=x-3$ .

$x=8$

$x=1$ או $x=8$

$x=1$

אין פתרון

השורש כבר מבודד. מה הצעד הבא?

מעלים את שני האגפים בחזקת 2

Voir la réponse et le corrigé

השורש לבד באגף אחד, ולכן הוא ייעלם.

מעלים בחזקת 2 רק את אגף שמאל

Voir la réponse et le corrigé

פעולה על אגף אחד בלבד משנה את המשוואה.

3x+1=x^2-6x+9

$(x-3)^2$ לפי נוסחת הכפל המקוצר

איזו משוואה ריבועית מתקבלת?

$x^2-9x+8=0$

Voir la réponse et le corrigé

מעבירים $3x+1$ לאגף ימין.

$x^2-3x+8=0$

Voir la réponse et le corrigé

$-6x-3x=-9x$ , לא $-3x$ .

\begin{aligned}x^2-9x+8 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1 \\ \ x &= 8\end{aligned}

$(x-1)(x-8)=0$

מה עכשיו?

בודקים את שני הפתרונות במשוואה המקורית

Voir la réponse et le corrigé

זה השלב שחובה בכל משוואה אי-רציונלית.

עונים $x=1$ או $x=8$

Voir la réponse et le corrigé

ההעלאה בחזקה עלולה להוסיף פתרון זר.

\begin{aligned}x &= 8: \sqrt{25} \\ &= 5 \\ &= 8-3 \ \checkmark \qquad x \\ &= 1: \sqrt{4} \\ &= 2 \neq -2 \ \text{נפסל}\end{aligned}

$x=1$ נפסל

Voir la réponse et le corrigé

הפתרון: $x=8$ . בדיקה מהירה שחוסכת חישוב: אגף ימין $x-3$ חייב להיות אי-שלילי, ולכן $x \geq 3$ , ו- $x=1$ לא יכול להתאים.

Faire l'activité sur elev

השאלה התאומה: שאלה 2 ברשימה למטה.

3 — פרמטרים, משיק אנכי ומשיק מקביל

Activité interactive

נתונה $f(x)=\sqrt{ax+b}$ , כאשר $a>0$ . הישר $x=-2$ משיק לגרף, והמשיק לגרף בנקודה שבה $x=6$ מקביל לישר $y=\frac{1}{2}x$ . א. מצאו את $a$ ואת $b$ . ב. מצאו את משוואת המשיק בנקודה שבה $x=6$ .

\begin{aligned}f(x) &= \sqrt{ax+b} \\ \quad x &= -2 \\ \quad f'(6) &= \tfrac{1}{2}\end{aligned}

לחצו «להתחיל». משיק אנכי לגרף שורש נמצא בנקודת ההתחלה של הגרף.

משיק אנכי

\begin{aligned}a(-2)+b &= 0 \ \Rightarrow \ b \\ &= 2a\end{aligned}

הגרף מתחיל ב- $x=-2$ : שם מה שמתחת לשורש מתאפס.

הנגזרת

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{a}{2\sqrt{ax+b}} \ \Rightarrow \ f'(6) \\ &= \frac{a}{2\sqrt{8a}}\end{aligned}

מציבים $b=2a$ : $6a+2a=8a$ .

משוואה

\begin{aligned}\frac{a}{2\sqrt{8a}} &= \frac{1}{2} \ \Rightarrow \ a \\ &= \sqrt{8a} \ \Rightarrow \ a^2 \\ &= 8a\end{aligned}

משיקים מקבילים: אותו שיפוע.

א.

\begin{aligned}a &= 8 \\ \quad b &= 16\end{aligned}

$a \neq 0$ , ולכן מחלקים ב- $a$ . בדיקה: $f'(6)=\frac{8}{2\sqrt{64}}=\frac{1}{2}$ ✓

ב.

\begin{aligned}f(6) &= \sqrt{64} \\ &= 8 \ \Rightarrow \ y-8 \\ &= \tfrac{1}{2}(x-6) \ \Rightarrow \ y \\ &= \tfrac{1}{2}x+5\end{aligned}

הנקודה מ- $f$ , השיפוע נתון.

המשוואה $a=\sqrt{8a}$ היא משוואה אי-רציונלית בפני עצמה. גם כאן בודקים את הפתרון.

Faire l'activité sur elev

מהו תחום ההגדרה של הפונקציה שמצאתם, והאם הנקודה שבה $x=6$ נמצאת בו?

Voir la réponse et le corrigé

$8x+16 \geq 0$ , כלומר $x \geq -2$ . $6 \geq -2$ , ולכן כן. אם $x=6$ היה מחוץ לתחום, לשאלה לא היה פתרון.

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה.

4 — «האם ייתכן?»: משיק בנקודת ההתחלה

Activité interactive

משיק בנקודה $x=2$

נתונות $f(x)=\sqrt{x-2}$ ו- $g(x)=(x-2)\sqrt{x-2}$ . לשתיהן התחום $x \geq 2$ . האם ייתכן שלשתי הפונקציות אותו משיק בנקודה שבה $x=2$ ? מצאו את המשיק של כל אחת.

ל- $f$ המשיק $x=2$ , ל- $g$ המשיק $y=0$

לשתיהן המשיק $x=2$

לשתיהן המשיק $y=0$

לאף אחת אין משיק ב- $x=2$

מה הנגזרת של $f$ , והאם היא מוגדרת ב- $x=2$ ?

$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x-2}}$ , לא מוגדרת

Voir la réponse et le corrigé

המכנה מתאפס ב- $x=2$ .

$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x-2}}$ , ו- $f'(2)=0$

Voir la réponse et le corrigé

המכנה מתאפס, לא המונה. אי אפשר לחלק באפס.

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{1}{2\sqrt{x-2}} \ \\ \quad x>2\end{aligned}

כש- $x$ מתקרב ל- $2$ הנגזרת גדלה ללא גבול

אז מה המשיק של $f$ ב- $x=2$ ?

הישר האנכי $x=2$

Voir la réponse et le corrigé

המשיקים נעשים תלולים יותר ויותר.

אין משיק

Voir la réponse et le corrigé

יש משיק, אבל אין לו שיפוע: הוא אנכי.

x=2

משיק אנכי ל- $f$

ומה הנגזרת של $g$ ?

$g'(x)=\frac{3}{2}\sqrt{x-2}$

Voir la réponse et le corrigé

$g(x)=(x-2)^{\frac{3}{2}}$ , וכלל החזקה.

$g'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x-2}}$

Voir la réponse et le corrigé

זו הנגזרת של $f$ . ב- $g$ השורש מוכפל ב- $x-2$ .

\begin{aligned}g'(x) &= \frac{3}{2}\sqrt{x-2} \ \Rightarrow \ g'(2) \\ &= 0\end{aligned}

כאן מותר להציב $x=2$ : אין מכנה

מה המשיק של $g$ ב- $x=2$ ?

$y=0$

Voir la réponse et le corrigé

שיפוע $0$ דרך הנקודה $(2,0)$ .

$x=2$

Voir la réponse et le corrigé

ל- $g$ יש שיפוע $0$ ב- $x=2$ , ולכן המשיק אופקי.

y=0

משיק אופקי ל- $g$

Voir la réponse et le corrigé

ל- $f$ המשיק $x=2$ , ל- $g$ המשיק $y=0$ . «לשתיהן $x=2$ » מניח שכל גרף שורש מתחיל במשיק אנכי. אבל $g$ מוכפלת בגורם שמתאפס שם, והוא «משטיח» את הגרף.

Faire l'activité sur elev

השאלה התאומה: שאלה 4 ברשימה למטה.

5 — ערך מקסימלי וערך מינימלי בתחום סגור

Activité interactive

נתונה $f(x)=\sqrt{x}+\sqrt{8-x}$ . א. מצאו את תחום ההגדרה. ב. מצאו את הערך הגדול ביותר ואת הערך הקטן ביותר של $f$ .

f(x)=\sqrt{x}+\sqrt{8-x}

לחצו «להתחיל». בתחום סגור משווים את הנקודות החשודות ואת הקצוות.

א. תחום

x \geq 0 \ \text{וגם} \ x \leq 8 \ \Rightarrow \ 0 \leq x \leq 8

שני השורשים חייבים להיות מוגדרים.

נגזרת

f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{2\sqrt{8-x}}

המינוס בא מנגזרת הפנימית של $8-x$ .

חשודה

\begin{aligned}\sqrt{x} &= \sqrt{8-x} \ \Rightarrow \ x \\ &= 8-x \ \Rightarrow \ x \\ &= 4\end{aligned}

משווים את שני השברים.

ערכים

\begin{aligned}f(4) &= 2+2 \\ &= 4 \qquad f(0) \\ &= f(8) \\ &= \sqrt{8} \\ &= 2\sqrt{2}\end{aligned}

בנקודה החשודה ובשני הקצוות.

ב.

\begin{aligned}\max &= 4 \ (x=4) \qquad \min \\ &= 2\sqrt{2} \ (x=0 ,\ x=8)\end{aligned}

$2\sqrt{2} \approx 2.83 < 4$ .

הפונקציה סימטרית סביב $x=4$ : $f(8-x)=f(x)$ . לכן לא מפתיע ששני הקצוות נותנים אותו ערך.

Faire l'activité sur elev

האם אפשר היה למצוא את הערך הקטן ביותר בלי הקצוות?

Voir la réponse et le corrigé

לא. הנגזרת מתאפסת רק ב- $x=4$ , ושם יש מקסימום. הערך הקטן ביותר נמצא רק בקצוות, והנגזרת לא «רואה» אותם.

השאלה התאומה: שאלה 5 ברשימה למטה.

Exercices

Exercice 1

נתונה $f(x)=\sqrt{15-2x}+x$ . מצאו את נקודת המקסימום של הפונקציה ואת נקודת החיתוך שלה עם ציר ה- $x$ .

מקסימום: $x=$ ____ , $y=$ ____ ; חיתוך עם ציר $x$ : $x=$ ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : מקסימום: $x=$ 7 , $y=$ 8 ; חיתוך עם ציר $x$ : $x=$ -5

Corrigé :

\begin{aligned}f'(x) &= 1-\frac{1}{\sqrt{15-2x}} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ 15-2x \\ &= 1 \ \Rightarrow \ x \\ &= 7\end{aligned}

נקודה חשודה

\begin{aligned}f(7) &= 1+7 \\ &= 8\end{aligned}

הגובה

\begin{aligned}\sqrt{15-2x} &= -x \ \Rightarrow \ x^2+2x-15 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3 \\ \ x &= -5\end{aligned}

חיתוך עם ציר $x$

\begin{aligned}x &= -5: \sqrt{25}-5 \\ &= 0 \ \checkmark \qquad x \\ &= 3: \sqrt{9}+3 \neq 0 \ \text{נפסל}\end{aligned}

בדיקה

$x=3$ נפסל בבדיקה. כדי ש- $\sqrt{15-2x}=-x$ יתקיים צריך $x \leq 0$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

פתרו: $\sqrt{2x+10}=x+1$

אין פתרון
$x=3$
$x=3$ או $x=-3$
$x=-3$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $x=3$

Corrigé :

\begin{aligned}2x+10 &= x^2+2x+1 \ \Rightarrow \ x^2 \\ &= 9\end{aligned}

מעלים בחזקת 2

\begin{aligned}x &= 3 \\ \ x &= -3\end{aligned}

מועמדים

\begin{aligned}x &= 3: \sqrt{16} \\ &= 4 \ \checkmark \qquad x \\ &= -3: \sqrt{4} \\ &= 2 \neq -2 \ \text{נפסל}\end{aligned}

בדיקה

הנכונה: $x=3$ . « $x=3$ או $x=-3$ » היא תשובה בלי בדיקה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתונה $f(x)=\sqrt{ax+b}$ , כאשר $a>0$ . הישר $x=1$ משיק לגרף, ושיפוע המשיק בנקודה שבה $x=5$ הוא $\frac{1}{2}$ . מצאו את $a$ ואת $b$ .

$a=$ ____ , $b=$ ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $a=$ 4 , $b=$ -4

Corrigé :

\begin{aligned}a+b &= 0 \ \Rightarrow \ b \\ &= -a\end{aligned}

משיק אנכי ב- $x=1$

\begin{aligned}f'(5) &= \frac{a}{2\sqrt{4a}} \\ &= \frac{\sqrt{a}}{4}\end{aligned}

מציבים $b=-a$

\begin{aligned}\frac{\sqrt{a}}{4} &= \frac{1}{2} \ \Rightarrow \ a \\ &= 4 \\ \ b &= -4\end{aligned}

On résout

המשיק האנכי אומר איפה הגרף מתחיל: שם $ax+b=0$ . מי שכותב $b=a$ שכח את הסימן.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

הוכיחו או הפריכו: לגרף $h(x)=x\sqrt{x}$ יש משיק אנכי בנקודה שבה $x=0$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

\begin{aligned}h(x) &= x^{\frac{3}{2}} \ \Rightarrow \ h'(x) \\ &= \frac{3}{2}\sqrt{x}\end{aligned}

כלל החזקה

h'(0)=0

הנגזרת מוגדרת ב- $0$

y=0

המשיק ב- $(0,0)$ אופקי

הטענה לא נכונה. לא כל גרף עם שורש מתחיל במשיק אנכי: הגורם $x$ «משטיח» אותו.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

נתונה $f(x)=\sqrt{x}+\sqrt{18-x}$ . מהו הערך הגדול ביותר של הפונקציה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6

Corrigé :

0 \leq x \leq 18

Domaine de définition

\begin{aligned}\frac{1}{2\sqrt{x}} &= \frac{1}{2\sqrt{18-x}} \ \Rightarrow \ x \\ &= 9\end{aligned}

נקודה חשודה

\begin{aligned}f(9) &= 3+3 \\ &= 6 \qquad f(0) \\ &= f(18) \\ &= 3\sqrt{2} \approx 4.24\end{aligned}

משווים לקצוות

הערך $6$ גדול מהערך בקצוות. את הקצוות בודקים גם כשמחפשים מקסימום.

Vérifier la réponse sur elev

1 — חקירה מלאה, עם משוואה בתוכה

2 — משוואה אי-רציונלית

3 — פרמטרים, משיק אנכי ומשיק מקביל

4 — «האם ייתכן?»: משיק בנקודת ההתחלה

5 — ערך מקסימלי וערך מינימלי בתחום סגור

Exercices

La suite se pratique sur elev