Proportion et similitude · Proportion et similitude · Kita י

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

בצהריים, בחצר בית ספר בבאר שבע, מקל שגובהו $1.5$ מטר מטיל צל של $2$ מטר. באותו רגע עמוד תאורה מטיל צל של $12$ מטר. איך יודעים את גובה העמוד בלי לטפס עליו?

AB העמוד ו-BC הצל שלו. DE המקל ו-EF הצל שלו. קרני השמש AC ו-DF מקבילות.

למה המשולש $ABC$ והמשולש $DEF$ «נראים אותו דבר»? אילו זוויות בהם שוות?

Voir la réponse et le corrigé

בשניהם יש זווית ישרה (עמוד ומקל מאונכים לקרקע), וזווית השמש שווה: $\angle ACB = \angle DFE$ , כי הקרניים מקבילות. שתי זוויות שוות — המשולשים דומים, ולכן $\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{12}{2}$ והעמוד בגובה $9$ מטר.

משולשים דומים

שני משולשים דומים אם הזוויות המתאימות בהם שוות, והצלעות המתאימות פרופורציוניות. היחס הקבוע בין צלעות מתאימות הוא יחס הדמיון $k$ .

חופפות הן מקרה פרטי של דומות, כשיחס הדמיון הוא 1. כל מה שנכון לדמיון נכון גם לחפיפה, אבל לא להפך.

שלושת משפטי הדמיון

\text{ז.ז}

שתי זוויות של משולש אחד שוות לשתי זוויות של המשולש השני. השלישית שווה ממילא, כי סכום הזוויות $180^\circ$ .

\text{צ.ז.צ}

שתי צלעות פרופורציוניות, והזווית הכלואה ביניהן שווה.

\text{צ.צ.צ}

שלוש הצלעות פרופורציוניות: שלושה יחסים שווים.

במשולש אחד $AB = 4$ , $AC = 6$ ו- $\angle B = 40^\circ$ . במשולש שני $DE = 6$ , $DF = 9$ ו- $\angle E = 40^\circ$ . האם אפשר להסיק דמיון לפי צ.ז.צ?

Voir la réponse et le corrigé

לא. היחסים שווים ( $\frac{4}{6} = \frac{6}{9}$ ), אבל הזווית $B$ אינה כלואה בין $AB$ ל- $AC$ — היא מול $AC$ . צ.ז.צ דורש את הזווית שבין שתי הצלעות.

בפועל כמעט תמיד משתמשים ב-ז.ז — ולכן מחפשים קודם כול זוויות שוות: קודקודיות, מתחלפות בין מקבילים, או זווית משותפת לשני המשולשים.

ההוכחה הראשונה: ישר מקביל לצלע

Activité interactive

ישר המקביל לצלע יוצר משולש דומה

DE \parallel BC \;\Rightarrow\; \triangle ADE \sim \triangle ABC

לחצו «להתחיל». טענה אחת בכל לחיצה, עם הנימוק שלה.

נתון

DE \parallel BC

$D$ על $AB$ ו- $E$ על $AC$ .

זווית

\angle ADE = \angle ABC

זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים.

זווית

\angle A = \angle A

זווית משותפת לשני המשולשים.

מסקנה

\triangle ADE \sim \triangle ABC

משפט דמיון ז.ז. הסדר: $A \leftrightarrow A$ , $D \leftrightarrow B$ , $E \leftrightarrow C$ .

מכאן יחס הדמיון: $k = \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC}$ — בדיוק משפט תאלס המורחב.

Faire l'activité sur elev

ישר המקביל לצלע במשולש יוצר משולש הדומה למשולש המקורי.

$DE \parallel BC$

Voir la réponse et le corrigé

נתון

$\angle ADE = \angle ABC$

Voir la réponse et le corrigé

זוויות מתאימות בין מקבילים

$\angle A$ משותפת לשני המשולשים

Voir la réponse et le corrigé

אותה זווית עצמה

$\triangle ADE \sim \triangle ABC$

Voir la réponse et le corrigé

Théorème de similitude A-A

ומאיפה באים צ.ז.צ ו-צ.צ.צ? מוכיחים אותם בעזרת משפט תאלס המורחב: מקצים על צלע של המשולש הגדול קטע באורך הצלע המתאימה בקטן, מעבירים ישר מקביל ומראים חפיפה. לכן הסדר הוא תאלס ואחריו דמיון — ולא להפך.

סדר האותיות

כשכותבים $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ , הכתיבה מצהירה ש- $A$ מתאימה ל- $D$ , $B$ ל- $E$ ו- $C$ ל- $F$ . סדר לא נכון הופך כל יחס שנרשום אחריו ללא נכון.

נתון $\triangle ABC \sim \triangle EFD$ . איזו צלע מתאימה ל- $BC$ , ואיזו זווית שווה ל- $\angle C$ ?

Voir la réponse et le corrigé

$B \leftrightarrow F$ ו- $C \leftrightarrow D$ , ולכן $BC$ מתאימה ל- $FD$ , ו- $\angle C = \angle D$ .

יחס הדמיון — אורכים, היקפים ושטחים

כאן נמצאת ההפתעה של הפרק. אם יחס הדמיון הוא $k$ , אז כל אורך גדל פי $k$ — ולכן גם ההיקף. אבל השטח גדל פי $k^2$ .

\begin{aligned}\frac{P_2}{P_1} &= k \qquad \frac{S_2}{S_1} \\ &= k^2\end{aligned}

הסיבה פשוטה: שטח הוא אורך כפול אורך. אם שניהם גדלו פי $k$ , המכפלה גדלה פי $k \times k$ . ובגופים — הנפח הוא שלושה אורכים, ולכן פי $k^3$ .

k

כל קטע מתאים: צלעות, גבהים, תיכונים וחוצי זוויות מתאימים, היקפים, ורדיוסי המעגל החוסם והחסום.

k^2

שטחים של המשולשים, ושל כל חלק מתאים בהם.

יחס הדמיון בין משולש קטן למשולש גדול הוא $\frac{2}{3}$ . הגובה לצלע הגדולה במשולש הגדול הוא $12$ . מהו הגובה המתאים במשולש הקטן?

Voir la réponse et le corrigé

גובה הוא אורך, ולכן פי $k$ : $12 \cdot \frac{2}{3} = 8$ .

משטח אל צלע

$\triangle ABC \sim \triangle DEF$ , $AB = 6$ ו- $DE = 9$ . שטח המשולש $ABC$ הוא $20$ . מצאו את שטח המשולש $DEF$ .

\begin{aligned}k &= \frac{DE}{AB} \\ &= \frac{9}{6} \\ &= 1.5\end{aligned}

יחס הדמיון, מצלעות מתאימות

\begin{aligned}\frac{S_{DEF}}{S_{ABC}} &= k^2 \\ &= 2.25\end{aligned}

השטחים ביחס בריבוע

\begin{aligned}S_{DEF} &= 20 \cdot 2.25 \\ &= 45\end{aligned}

ולא $30$

דמיון מצולעים

במשולשים די בזוויות. במצולעים אחרים לא — צריך גם זוויות שוות וגם יחס צלעות קבוע, שני התנאים יחד.

שתי הטעויות של הדמיון.

\frac{S_2}{S_1} = k

= k^2

האורכים פי $k$ , השטחים פי $k$ בריבוע. זו הטעות ששווה סעיף שלם.

\begin{aligned}\angle A &= \angle A' \\ \ \dots \\ \ \angle D &= \angle D' \Rightarrow ABCD \sim A'B'C'D'\end{aligned}

כל הזוויות שוות מבטיחות דמיון רק במשולשים, לא במרובעים: לריבוע ולמלבן אותן זוויות בדיוק, והם אינם דומים.

יחס הדמיון בין שני משולשים הוא $k$ . מהו יחס השטחים ומהו יחס ההיקפים?

Voir la réponse et le corrigé

היקפים — $k$ ; שטחים — $k^2$ . וביחס לנפחים בגופים דומים: $k^3$ .

Exercices

Exercice 1

איזה מהנתונים הבאים מספיק כדי לקבוע ששני משולשים דומים?

זווית אחת שווה, ויחס של שתי צלעות כלשהן שווה
שני יחסי צלעות שווים
שני המשולשים שווי שוקיים
שתי זוויות של משולש אחד שוות לשתי זוויות של המשולש השני

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D שתי זוויות של משולש אחד שוות לשתי זוויות של המשולש השני

Corrigé :

180^\circ - \alpha - \beta

שתי זוויות קובעות את השלישית — משפט ז.ז

\text{צ.ז.צ}

עם זווית אחת צריך שהיא תהיה בין שתי הצלעות, לא «כלשהן»

התשובה: «שתי זוויות של משולש אחד שוות לשתי זוויות של המשולש השני». המלכודת: «זווית ויחס של שתי צלעות כלשהן» — בלי שהזווית כלואה, זה לא צ.ז.צ.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

ל- $ABCD$ , שצלעותיו $4$ ו- $4$ , ול- $EFGH$ , שצלעותיו $6$ ו- $3$ , יש אותן זוויות: ארבע זוויות ישרות. האם המרובעים דומים?

לא — יחסי הצלעות אינם שווים
רק אם ההיקפים שווים
כן, כי כל הזוויות שוות
רק אם השטחים שווים

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A לא — יחסי הצלעות אינם שווים

Corrigé :

\frac{6}{4} = 1.5 \ne \frac{3}{4}

שני יחסי צלעות שונים

\Rightarrow

זוויות בלבד — לא מספיק: ז.ז הוא משפט של משולשים בלבד

התשובה: «לא — יחסי הצלעות אינם שווים». המלכודת: להעביר את ז.ז למרובעים. במצולע שאינו משולש צריך זוויות שוות וגם צלעות פרופורציוניות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

יחס הדמיון בין שני משולשים הוא $3:5$ . היקף הקטן 24. מהו היקף הגדול?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 40

Corrigé :

\begin{aligned}\frac{P_1}{P_2} &= k \\ &= \frac{3}{5}\end{aligned}

ההיקפים ביחס הדמיון עצמו

\begin{aligned}\frac{24}{P_2} &= \frac{3}{5} \Rightarrow P_2 \\ &= 40\end{aligned}

כפל בהצלבה

$P_2 = 40$ . המלכודת: להעלות בריבוע ולקבל $66\frac{2}{3}$ — ההיקף גדל כמו הצלע, פי $k$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

יחס הדמיון בין שני משולשים הוא $3:5$ . שטח הקטן 18. מהו שטח הגדול?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 50

Corrigé :

\begin{aligned}\frac{S_1}{S_2} &= k^2 \\ &= \frac{9}{25}\end{aligned}

השטחים ביחס בריבוע

\begin{aligned}\frac{18}{S_2} &= \frac{9}{25} \Rightarrow S_2 \\ &= 50\end{aligned}

כפל בהצלבה

$S_2 = 50$ . המלכודת: $\frac{18}{S_2} = \frac{3}{5}$ נותן $30$ — השטח גדל פי $k^2$ , לא פי $k$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

שטחי שני משולשים דומים הם $9$ ו- $25$ . מהו יחס ההיקפים?

$1:3$
$3:5$
$9:25$
$81:625$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $3:5$

Corrigé :

k^2 = \frac{9}{25}

יחס השטחים

k = \frac{3}{5}

מוציאים שורש

\begin{aligned}\frac{P_1}{P_2} &= k \\ &= \frac{3}{5}\end{aligned}

וההיקפים ביחס $k$

התשובה: « $3:5$ ». המלכודת: « $9:25$ » — להעתיק את יחס השטחים. מהשטח אל הצלע מוציאים שורש.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

היקפי שני משולשים דומים הם 12 ו-30. פי כמה גדול שטח הגדול משטח הקטן?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6.25

Corrigé :

\begin{aligned}k &= \frac{30}{12} \\ &= 2.5\end{aligned}

יחס הדמיון מההיקפים

k^2 = 6.25

השטחים ביחס בריבוע

פי $6.25$ . המלכודת: לענות $2.5$ — היקף גדול פי $2.5$ נותן שטח גדול פי $6.25$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

במשולש $ABC$ , הישר $DE$ מקביל לצלע $BC$ ( $D$ על $AB$ , $E$ על $AC$ ). הוכיחו: $\triangle ADE \sim \triangle ABC$ .

$DE \parallel BC$
$D$ על $AB$ ו- $E$ על $AC$

$\triangle ADE \sim \triangle ABC$

Voir la réponse et le corrigé

$\angle A = \angle A$ — angle (זווית) commun aux deux triangles
$\angle ADE = \angle ABC$ — זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים $DE \parallel BC$
$\triangle ADE \sim \triangle ABC$ — ז.ז — שתי זוויות שוות בהתאמה

Corrigé :

\begin{aligned}\angle ADE &= \angle ABC \\ \quad \angle A &= \angle A\end{aligned}

זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים, וזווית משותפת

\triangle ADE \sim \triangle ABC

משפט דמיון ז.ז

המלכודת: לנמק ב«צ.צ.צ» או לצטט את משפט תאלס. שתי זוויות שוות מספיקות, ואין צורך באף אורך.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

במשולש $ABC$ נתון $AB = 12$ , $AC = 16$ ו- $BC = 14$ . הנקודה $D$ על $AB$ כך ש- $AD = 8$ , והנקודה $E$ על $AC$ כך ש- $AE = 6$ . מצאו את $DE$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 7

Corrigé :

\begin{aligned}\frac{AD}{AC} &= \frac{8}{16} \\ &= \frac{1}{2} \\ \quad \frac{AE}{AB} &= \frac{6}{12} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

שני יחסים שווים

\angle A = \angle A

הזווית הכלואה משותפת

\triangle ADE \sim \triangle ACB

צ.ז.צ — $D \leftrightarrow C$ , $E \leftrightarrow B$

\begin{aligned}\frac{DE}{CB} &= \frac{1}{2} \Rightarrow DE \\ &= 7\end{aligned}

$DE = 7$ . המלכודת: להניח $DE \parallel BC$ ולהשוות $\frac{AD}{AB}$ ל- $\frac{AE}{AC}$ — היחסים $\frac{8}{12}$ ו- $\frac{6}{16}$ שונים. $D$ מתאימה ל- $C$ , לא ל- $B$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

AB העמוד ו-BC הצל שלו. DE המקל ו-EF הצל שלו. קרני השמש AC ו-DF מקבילות.

מקל שגובהו $1.5$ מטר מטיל צל שאורכו $2$ מטר. באותו רגע עמוד מטיל צל שאורכו $12$ מטר. מה גובה העמוד, במטרים?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 9

Corrigé :

\begin{aligned}\angle ABC &= \angle DEF \\ &= 90^\circ \\ \quad \angle ACB &= \angle DFE\end{aligned}

זווית ישרה וזווית השמש

\triangle ABC \sim \triangle DEF

A-A

\begin{aligned}\frac{AB}{DE} &= \frac{BC}{EF} \Rightarrow \frac{AB}{1.5} \\ &= \frac{12}{2}\end{aligned}

צלעות מתאימות

AB = 9

$9$ מטר. המלכודת: $\frac{AB}{12} = \frac{2}{1.5}$ — גובה מול צל באגף אחד, וצל מול גובה באגף השני. נותן $16$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

מיינו: אילו נתונים על $\triangle ABC$ ו- $\triangle DEF$ מבטיחים שהם דומים?

מבטיח דמיון
לא מבטיח

זווית אחת שווה
שלושה יחסי צלעות שווים
שני יחסי צלעות שווים והזווית שביניהן שווה
שני יחסי צלעות שווים וזווית שאינה ביניהן שווה
שני משולשים ישרי זווית
שני משולשים שווי צלעות
שני משולשים שווי שוקיים שזוויות הראש שלהם שוות
שתי זוויות שוות בהתאמה

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : שתי זוויות שוות בהתאמה — מבטיח דמיון · שלושה יחסי צלעות שווים — מבטיח דמיון · שני יחסי צלעות שווים והזווית שביניהן שווה — מבטיח דמיון · שני יחסי צלעות שווים וזווית שאינה ביניהן שווה — לא מבטיח · זווית אחת שווה — לא מבטיח · שני משולשים שווי צלעות — מבטיח דמיון · שני משולשים ישרי זווית — לא מבטיח · שני משולשים שווי שוקיים שזוויות הראש שלהם שוות — מבטיח דמיון

Corrigé :

\Rightarrow

שלושת משפטי הדמיון: ז.ז, צ.ז.צ, צ.צ.צ

60^\circ, 60^\circ

שווי צלעות: ז.ז

\alpha, \; \frac{180^\circ - \alpha}{2}

שווי שוקיים עם זווית ראש שווה: כל הזוויות שוות

המלכודת: «שני משולשים ישרי זווית» — זווית ישרה היא זווית אחת בלבד. צריך עוד זווית חדה שווה.

Vérifier la réponse sur elev

משולשים דומים

שלושת משפטי הדמיון

ההוכחה הראשונה: ישר מקביל לצלע

סדר האותיות

יחס הדמיון — אורכים, היקפים ושטחים

דמיון מצולעים

Exercices

La suite se pratique sur elev