Série 3 — Difficile

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

בסדרה הזאת כבר לא קוראים תשובה מהנוסחה — מוצאים אותה: פרמטר לפי נקודה, פונקציה לפי שרטוט, קיצון של 1f\frac{1}{f} לפי הקדקוד של ff. ובסוף הוכחה אחת קצרה.

כשמחפשים פרמטר, קודם העיגון, אחר כך נקודה אחת. וכשמחפשים את הגרף של 1f\frac{1}{f} — קודם האפסים של ff, כי הם האסימפטוטות.

Exercices

Exercice 1

לפרבולה y=a(x−p)2+ky=a(x-p)^2+k קדקוד (2, −3)(2,\,-3), והיא עוברת דרך הנקודה (4, 5)(4,\,5). מהו aa?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

y=a(x−2)2−3y=a(x-2)^2-3

מהקדקוד

5=a⋅22−35=a\cdot 2^2-3

הצבת הנקודה

4a=8⇒a=2\begin{aligned}4a &= 8 \Rightarrow a \\ &= 2\end{aligned}

פתרון

המלכודת: לשכוח להעלות בריבוע ולקבל 2a=82a=8. (4−2)2=4(4-2)^2=4.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

הנקודה (6, 4)(6,\,4) נמצאת על הגרף של y=f(x)y=f(x). נגדיר g(x)=f(2x)−1g(x)=f(2x)-1. איזו נקודה נמצאת על הגרף של gg?

  1. (6, 3)(6,\,3)
  2. (12, 3)(12,\,3)
  3. (3, 3)(3,\,3)
  4. (3, 5)(3,\,5)
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C (3, 3)(3,\,3)

Corrigé :

2x=6⇒x=3\begin{aligned}2x &= 6 \Rightarrow x \\ &= 3\end{aligned}

כדי ש-ff תקבל את הקלט 6

g(3)=f(6)−1=3\begin{aligned}g(3) &= f(6)-1 \\ &= 3\end{aligned}

הגובה יורד ב-1

המלכודת: לכפול את xx ב-2 ולקבל 12. בפנים הכפל מכווץ — מחלקים. התשובה: (3, 3)(3,\,3).

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

לגרף של y=ax−p+ky=\frac{a}{x-p}+k אסימפטוטות x=1x=1 ו-y=−2y=-2, והוא חותך את ציר ה-xx בנקודה (−1, 0)(-1,\,0). מהו aa?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -4

Corrigé :

y=ax−1−2y=\frac{a}{x-1}-2

מהאסימפטוטות

0=a−2−20=\frac{a}{-2}-2

הצבת (−1,0)(-1,0)

a=−4a=-4

פתרון

המלכודת: לטעות בסימן של המכנה: −1−1=−2-1-1=-2, לא 00 ולא 22.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

גרף מהמשפחה a/(x−p)+k
x = −1y = 2(0, 5)-5-4-3-2-101234-3-2-112345678xy

בשרטוט: גרף מהמשפחה y=ax−p+ky=\frac{a}{x-p}+k ושתי האסימפטוטות שלו. הגרף עובר דרך הנקודה (0, 5)(0,\,5). מהי הפונקציה?

  1. y=3x+1−2y=\frac{3}{x+1}-2
  2. y=−3x+1+2y=\frac{-3}{x+1}+2
  3. y=3x−1+2y=\frac{3}{x-1}+2
  4. y=3x+1+2y=\frac{3}{x+1}+2
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D y=3x+1+2y=\frac{3}{x+1}+2

Corrigé :

x=−1⇒p=−1\begin{aligned}x &= -1 \Rightarrow p \\ &= -1\end{aligned}

אסימפטוטה אנכית

y=2⇒k=2\begin{aligned}y &= 2 \Rightarrow k \\ &= 2\end{aligned}

אסימפטוטה אופקית

5=a0+1+2⇒a=3\begin{aligned}5 &= \frac{a}{0+1}+2 \Rightarrow a \\ &= 3\end{aligned}

הצבת הנקודה

המלכודת: לכתוב x−1x-1 עבור אסימפטוטה ב-−1-1, או לקבל aa שלילי. הענפים מימין-למעלה ומשמאל-למטה — a>0a>0. התשובה: y=3x+1+2y=\frac{3}{x+1}+2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

נתונה f(x)=x2−4xf(x)=x^2-4x, ונגדיר g(x)=f(x+3)−2g(x)=f(x+3)-2. מהו שיעור ה-xx של קדקוד הפרבולה gg?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -1

Corrigé :

f(x)=(x−2)2−4f(x)=(x-2)^2-4

קדקוד ff: (2, −4)(2,\,-4)

x+3x+3

השינוי הפנימי: שמאלה ב-33

2−3=−12-3=-1

ה-xx של הקדקוד

(2,−4)→(−1, −6)(2,-4)\rightarrow(-1,\,-6)

והגובה ירד ב-2

המלכודת: להזיז ימינה ל-5. אפשר גם לפתוח סוגריים — אבל מעקב אחרי הקדקוד מהיר ובטוח יותר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

אם ff אי-זוגית, אז הגרף של g(x)=(f(x))2g(x)=\left(f(x)\right)^2 סימטרי ביחס לציר ה-yy.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

g(−x)=(f(−x))2g(-x)=\left(f(-x)\right)^2

הגדרת gg

f(−x)=−f(x)f(-x)=-f(x)

ff אי-זוגית

(−f(x))2=(f(x))2=g(x)\begin{aligned}\left(-f(x)\right)^2 &= \left(f(x)\right)^2 \\ &= g(x)\end{aligned}

ריבוע מוחק את המינוס

הטענה נכונה: gg זוגית. המלכודת: לחשוב שהריבוע של פונקציה אי-זוגית נשאר אי-זוגי. דוגמה: (x3)2=x6(x^3)^2=x^6.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

נתונה f(x)=x2−2x−8f(x)=x^2-2x-8, ונגדיר g(x)=1f(x)g(x)=\frac{1}{f(x)}. השלימו.

האסימפטוטות האנכיות של gg הן x=x= ____ (הקטנה) ו-x=x= ____ (הגדולה), ונקודת הקיצון של gg ביניהן היא ב-x=x= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : האסימפטוטות האנכיות של gg הן x=x= -2 (הקטנה) ו-x=x= 4 (הגדולה), ונקודת הקיצון של gg ביניהן היא ב-x=x= 1

Corrigé :

f(x)=(x−4)(x+2)f(x)=(x-4)(x+2)

האפסים של ff

x=−2+42=1\begin{aligned}x &= \frac{-2+4}{2} \\ &= 1\end{aligned}

הקדקוד של ff באמצע בין האפסים

f(1)=−9⇒g(1)=−19\begin{aligned}f(1) &= -9 \Rightarrow g(1) \\ &= -\frac{1}{9}\end{aligned}

מינימום של ff, ולכן מקסימום של gg

המלכודת: לחפש את הקיצון של gg במקום אחר. הקיצון של 1f\frac{1}{f} נמצא באותו xx כמו הקיצון של ff.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

נתונות f(x)=x+2f(x)=\sqrt{x+2} ו-g(x)=2−xg(x)=\sqrt{2-x}. מהו תחום ההגדרה של f⋅gf\cdot g?

  1. −2≤x≤2-2\le x\le 2
  2. כל xx
  3. −2<x<2-2<x<2
  4. x≥−2x\ge -2
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A −2≤x≤2-2\le x\le 2

Corrigé :

x≥−2x\ge -2

התחום של ff

x≤2x\le 2

התחום של gg

−2≤x≤2-2\le x\le 2

החיתוך

המלכודת: להשמיט את הקצוות ולענות −2<x<2-2<x<2, או לקחת את התחום של אחת הפונקציות בלבד. ב-x=±2x=\pm 2 שני השורשים מוגדרים, והמכפלה שווה ל-0. התשובה: −2≤x≤2-2\le x\le 2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

באיזה xx חותך הגרף של y=−(x+1)3+8y=-(x+1)^3+8 את ציר ה-xx?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1

Corrigé :

(x+1)3=8(x+1)^3=8

מבודדים את החזקה

x+1=2x+1=2

שורש שלישי יחיד

x=1x=1

בדיקה: −(2)3+8=0-(2)^3+8=0 ✓

המלכודת: לחפש שני פתרונות ±\pm. לחזקה שלישית פתרון אחד בלבד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

נתונה פונקציה זוגית ff המוגדרת לכל xx, ונגדיר g(x)=f(x−3)g(x)=f(x-3). הוכיחו שלכל tt מתקיים g(3+t)=g(3−t)g(3+t)=g(3-t), כלומר שהגרף של gg סימטרי ביחס לישר x=3x=3.

  • f(−x)=f(x)f(-x)=f(x) לכל xx
  • g(x)=f(x−3)g(x)=f(x-3)

g(3+t)=g(3−t)g(3+t)=g(3-t)

Voir la réponse et le corrigé
  1. g(3+t)=f(t)g(3+t)=f(t) — הצבת x=3+tx=3+t בהגדרת gg
  2. g(3−t)=f(−t)g(3-t)=f(-t) — הצבת x=3−tx=3-t בהגדרת gg
  3. f(−t)=f(t)f(-t)=f(t) — ff זוגית
  4. g(3−t)=f(t)g(3-t)=f(t) — הצבה
  5. g(3+t)=g(3−t)g(3+t)=g(3-t) — שני הביטויים שווים ל-f(t)f(t)

Corrigé :

g(3±t)=f(±t)=f(t)\begin{aligned}g(3\pm t) &= f(\pm t) \\ &= f(t)\end{aligned}

שרשרת אחת

המלכודת: להציב x=tx=t. ציר הסימטריה זז יחד עם הגרף — ל-x=3x=3 — ולכן מציבים סביב 3.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe