Série 4 — Avancé

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

הסדרה המתקדמת בודקת את מה שקל לפספס: סדר הטרנספורמציות, מה כפל במספר שלילי עושה לקבוצת ערכים, ומה קורה לערכים שבין −1-1 ל-1 כשעוברים ל-1f\frac{1}{f} או ל-f2f^2. יש כאן גם שאלת «האם ייתכן» והוכחה של סימטריה.

כשהסדר חשוב — הציבו. כתבו מה קורה ל-x\sqrt{x} אחרי הצעד הראשון, ואז החליפו xx לפי הצעד השני. שורה אחת של הצבה חוסכת ניחוש.

Exercices

Exercice 1

עבור איזה ערך של kk עובר הגרף של y=2x−1+ky=\frac{2}{x-1}+k דרך ראשית הצירים?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

0=20−1+k0=\frac{2}{0-1}+k

מציבים (0,0)(0,0)

0=−2+k⇒k=2\begin{aligned}0 &= -2+k \Rightarrow k \\ &= 2\end{aligned}

פתרון

המלכודת: לחשוב שהיפרבולה לא יכולה לעבור בראשית. רק האסימפטוטות «אסורות» — והן כאן x=1x=1, y=2y=2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

גרף מהמשפחה y=ax−p+ky=a\sqrt{x-p}+k יוצא מהנקודה (−3, 2)(-3,\,2) ועובר דרך (1, −4)(1,\,-4). מהו aa?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -3

Corrigé :

y=ax+3+2y=a\sqrt{x+3}+2

מנקודת ההתחלה

−4=a4+2-4=a\sqrt{4}+2

הצבה

2a=−6⇒a=−3\begin{aligned}2a &= -6 \Rightarrow a \\ &= -3\end{aligned}

פתרון

המלכודת: לחשוב ש-aa חייב להיות חיובי כי השורש חיובי. הגרף יורד מנקודת ההתחלה — ולכן a<0a<0.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

איזו סדרת טרנספורמציות מעבירה את הגרף של y=xy=\sqrt{x} לגרף של y=4−x+1y=\sqrt{4-x}+1?

  1. שיקוף בציר ה-y, אחר כך הזזה שמאלה ב-4, ולבסוף הזזה למעלה ב-1
  2. שיקוף בציר ה-x, אחר כך הזזה ימינה ב-4, ולבסוף הזזה למעלה ב-1
  3. שיקוף בציר ה-y, אחר כך הזזה ימינה ב-4, ולבסוף הזזה למעלה ב-1
  4. הזזה ימינה ב-4, אחר כך שיקוף בציר ה-y, ולבסוף הזזה למעלה ב-1
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C שיקוף בציר ה-y, אחר כך הזזה ימינה ב-4, ולבסוף הזזה למעלה ב-1

Corrigé :

4−x=−(x−4)\sqrt{4-x}=\sqrt{-(x-4)}

מוציאים מינוס מהסוגריים

x → −x → −(x−4)\sqrt{x}\ \rightarrow\ \sqrt{-x}\ \rightarrow\ \sqrt{-(x-4)}

שיקוף, ואחריו החלפת xx ב-x−4x-4: ימינה ב-4

x−4 → −x−4\sqrt{x-4}\ \rightarrow\ \sqrt{-x-4}

בסדר ההפוך (קודם ימינה ואז שיקוף) מתקבלת פונקציה אחרת

המלכודת: הסדר. «ימינה ב-4 ואז שיקוף בציר ה-yy» נותן −x−4\sqrt{-x-4}, שמוגדרת רק עבור x≤−4x\le -4. התשובה: שיקוף בציר ה-y, הזזה ימינה ב-4, ולמעלה ב-1 — הגרף יוצא מ-(4, 1)(4,\,1) שמאלה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

קבוצת הערכים של ff היא −2≤y≤6-2\le y\le 6. מהו הערך הגדול ביותר של g(x)=−12f(x+5)+1g(x)=-\frac{1}{2}f(x+5)+1?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

f(x+5): −2≤y≤6f(x+5):\ -2\le y\le 6

הזזה אופקית לא משנה את קבוצת הערכים

−12f: −3≤y≤1-\frac{1}{2}f:\ -3\le y\le 1

כפל במספר שלילי הופך את כיוון אי-השוויון

+1: −2≤y≤2+1:\ -2\le y\le 2

הזזה למעלה

המלכודת: להציב את הערך הגדול ביותר של ff, 6, ולקבל −12⋅6+1=−2-\frac{1}{2}\cdot 6+1=-2 — אבל זה הערך הקטן ביותר של gg. כפל במספר שלילי הופך את הסדר: המקסימום של gg מגיע מהמינימום של ff, −12⋅(−2)+1=2-\frac{1}{2}\cdot(-2)+1=2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

נתונות f(x)=x2−1f(x)=x^2-1 ו-g(x)=x+1g(x)=x+1. הגרף של h=fgh=\frac{f}{g} הוא ישר שחסרה בו נקודה אחת. השלימו את הנקודה החסרה.

x=x= ____ , y=y= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : x=x= -1 , y=y= -2

Corrigé :

g(x)≠0⇒x≠−1g(x)\neq 0 \Rightarrow x\neq -1

תחום ההגדרה

h(x)=(x−1)(x+1)x+1=x−1\begin{aligned}h(x) &= \frac{(x-1)(x+1)}{x+1} \\ &= x-1\end{aligned}

צמצום

x=−1: y=−1−1=−2\begin{aligned}x &= -1:\ y \\ &= -1-1 \\ &= -2\end{aligned}

הנקודה שהישר y=x−1y=x-1 היה עובר בה

המלכודת: להציב x=−1x=-1 בפונקציה המקורית — שם 00\frac{0}{0}. את גובה החור קוראים מהישר המצומצם.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

האם ייתכן? קיימת פונקציה ff המוגדרת לכל xx, כך ש-1f\frac{1}{f} מוגדרת לכל xx, ולכל xx מתקיים (f(x))2<f(x)\left(f(x)\right)^2<f(x).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

f(x)=1x2+2f(x)=\frac{1}{x^2+2}

דוגמה

0<f(x)≤120<f(x)\le\frac{1}{2}

הערכים בין 0 ל-1, ואף פעם לא 0

1f(x)=x2+2\frac{1}{f(x)}=x^2+2

מוגדרת לכל xx

0<t<1⇒t2<t0<t<1 \Rightarrow t^2<t

ולכן הריבוע קטן מהערך

כן, ייתכן. מספיק ש-0<f(x)<10<f(x)<1 לכל xx. המלכודת: לחשוב שריבוע תמיד «מגדיל» — ולענות «לא» בלי לחפש דוגמה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

הגרף של f
(2, −1)(1, 0)(3, 0)-1012345-2-112345xy

בשרטוט: הגרף של הפרבולה f(x)=x2−4x+3f(x)=x^2-4x+3. מהי קבוצת הערכים של g(x)=1f(x)g(x)=\frac{1}{f(x)}?

  1. y≠0y\neq 0
  2. y≥−1y\ge -1
  3. y≤−1y\le -1 או y>0y>0
  4. −1≤y<0-1\le y<0
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C y≤−1y\le -1 או y>0y>0

Corrigé :

f(x)≥−1f(x)\ge -1

הקדקוד (2,−1)(2,-1) הוא מינימום

−1≤f(x)<0⇒1f(x)≤−1-1\le f(x)<0 \Rightarrow \frac{1}{f(x)}\le -1

ההופכי של מספר בין −1-1 ל-0

f(x)>0⇒1f(x)>0f(x)>0 \Rightarrow \frac{1}{f(x)}>0

וכל ערך חיובי מתקבל — קרוב לאסימפטוטות גדול, רחוק מהן קרוב ל-0

המלכודת: לענות y≠0y\neq 0 כמו בהיפרבולה רגילה. הערכים בין −1-1 ל-0 לא מתקבלים, כי ff לא יורדת מתחת ל-−1-1. התשובה: y≤−1y\le -1 או y>0y>0.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

לגרף של y=a(x−p)3+ky=a(x-p)^3+k מרכז סימטריה (1, −2)(1,\,-2), והוא עובר דרך הנקודה (3, 14)(3,\,14). מהו aa?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

y=a(x−1)3−2y=a(x-1)^3-2

ממרכז הסימטריה

14=a⋅23−214=a\cdot 2^3-2

הצבה

8a=16⇒a=2\begin{aligned}8a &= 16 \Rightarrow a \\ &= 2\end{aligned}

פתרון

המלכודת: לחשב 23=62^3=6. וגם: מרכז סימטריה של חזקה אי-זוגית משחק את התפקיד של הקדקוד — ממנו קוראים pp ו-kk.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

נתונה f(x)=x2−2xf(x)=x^2-2x, ונגדיר g(x)=(f(x))2g(x)=\left(f(x)\right)^2. מיינו את הטענות.

  • נכונה
  • לא נכונה
  • g(−1)=3g(-1)=3
  • g(1)=1g(1)=1
  • g(3)=9g(3)=9
  • gg שלילית עבור 0<x<20<x<2
  • ל-gg נקודת מינימום ב-x=0x=0
  • ל-gg נקודת מינימום ב-x=1x=1
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : g(1)=1g(1)=1 — נכונה · ל-gg נקודת מינימום ב-x=0x=0 — נכונה · g(3)=9g(3)=9 — נכונה · ל-gg נקודת מינימום ב-x=1x=1 — לא נכונה · g(−1)=3g(-1)=3 — לא נכונה · gg שלילית עבור 0<x<20<x<2 — לא נכונה

Corrigé :

f(1)=−1⇒g(1)=1\begin{aligned}f(1) &= -1 \Rightarrow g(1) \\ &= 1\end{aligned}

נכונה

f(0)=0⇒g(0)=0 מינימום\begin{aligned}f(0) &= 0 \Rightarrow g(0) \\ &= 0\ \text{מינימום}\end{aligned}

נכונה: g≥0g\ge 0

f(3)=3⇒g(3)=9\begin{aligned}f(3) &= 3 \Rightarrow g(3) \\ &= 9\end{aligned}

נכונה

x=1: ∣f(1)∣=1\begin{aligned}x &= 1:\ |f(1)| \\ &= 1\end{aligned}

שם ∣f∣|f| מקסימלי בקטע, ולכן לא נכונה: שם gg מקבלת מקסימום מקומי

f(−1)=3⇒g(−1)=9\begin{aligned}f(-1) &= 3 \Rightarrow g(-1) \\ &= 9\end{aligned}

לא נכונה

g≥0g\ge 0

לא נכונה: ריבוע אינו שלילי

המלכודת: להעתיק את המינימום של ff ב-x=1x=1 כמינימום של gg. שם f=−1f=-1, רחוק מאפס — ולכן זה מקסימום מקומי של f2f^2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

נתונה g(x)=ax−p+kg(x)=\frac{a}{x-p}+k. הוכיחו שלכל t≠0t\neq 0 מתקיים g(p+t)+g(p−t)=2kg(p+t)+g(p-t)=2k, כלומר שהנקודה (p, k)(p,\,k) היא מרכז סימטריה של הגרף.

  • g(x)=ax−p+kg(x)=\frac{a}{x-p}+k
  • t≠0t\neq 0

g(p+t)+g(p−t)=2kg(p+t)+g(p-t)=2k

Voir la réponse et le corrigé
  1. g(p+t)=at+kg(p+t)=\frac{a}{t}+k — הצבת x=p+tx=p+t
  2. g(p−t)=−at+kg(p-t)=-\frac{a}{t}+k — הצבת x=p−tx=p-t
  3. g(p+t)+g(p−t)=2kg(p+t)+g(p-t)=2k — חיבור שתי השורות

Corrigé :

at+k−at+k=2k\frac{a}{t}+k-\frac{a}{t}+k=2k

השברים מבטלים זה את זה

המלכודת: לחשוב שצריך לדעת את aa. הביטול קורה לכל aa — ולכן כל היפרבולה מהמשפחה סימטרית סביב מפגש האסימפטוטות.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe