Entraînement

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

עשרה תרגילים על כל הפרק: יחסים במשולש שבו זווית ישרה, נוסחת השטח, משפט הסינוסים ו-2R2R, משפט הקוסינוסים, המקרה הדו-משמעי, ומשולשים שמסתתרים בתוך צורות. מתחילים בקל ומסיימים באתגר.

Exercices

Série A — Facile

Exercice 1

במשולש ABCABC הזווית CC ישרה, AC=12AC = 12 ו-AB=13AB = 13. מצאו את ∠A\angle A במעלות (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 22.62

Corrigé :

cos⁡A=ACAB=1213\begin{aligned}\cos A &= \frac{AC}{AB} \\ &= \frac{12}{13}\end{aligned}

הניצב שליד הזווית, חלקי היתר

∠A≈22.62∘\angle A \approx 22.62^\circ

∠A≈22.62∘\angle A \approx 22.62^\circ. היתר הוא ABAB — מול הזווית הישרה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

במשולש ABCABC נתון CA=10CA = 10, CB=7CB = 7 ו-∠ACB=30∘\angle ACB = 30^\circ. מצאו את שטח המשולש.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 17.5

Corrigé :

S=12⋅CA⋅CB⋅sin⁡CS = \tfrac{1}{2} \cdot CA \cdot CB \cdot \sin C

חצי מכפלת שתי צלעות בסינוס הזווית שביניהן

S=12⋅10⋅7⋅12=17.5\begin{aligned}S &= \tfrac{1}{2} \cdot 10 \cdot 7 \cdot \tfrac{1}{2} \\ &= 17.5\end{aligned}

שטח המשולש 17.517.5.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

במשולש ABCABC הצלע BC=10BC = 10 והזווית שמולה ∠A=150∘\angle A = 150^\circ. מצאו את רדיוס המעגל החוסם את המשולש.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 10

Corrigé :

asin⁡α=2R\frac{a}{\sin\alpha} = 2R

Loi des sinus (משפט הסינוסים)

sin⁡150∘=sin⁡30∘=12\begin{aligned}\sin 150^\circ &= \sin 30^\circ \\ &= \tfrac12\end{aligned}

זוויות משלימות — אותו סינוס

2R=100.5=20⇒R=10\begin{aligned}2R &= \frac{10}{0.5} \\ &= 20 \Rightarrow R \\ &= 10\end{aligned}

R=10R = 10. הזווית הקהה לא מפריעה: הסינוס שלה חיובי.

Vérifier la réponse sur elev

סדרה ב — בינוני

Exercice 4

במשולש ABCABC נתון b=CA=7b = CA = 7, c=AB=5c = AB = 5 ו-∠A=60∘\angle A = 60^\circ. מצאו את a=BCa = BC (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6.24

Corrigé :

a2=b2+c2−2bccos⁡αa^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha

שתי צלעות והזווית שביניהן — משפט הקוסינוסים

a2=49+25−2⋅7⋅5⋅12=39\begin{aligned}a^2 &= 49 + 25 - 2 \cdot 7 \cdot 5 \cdot \tfrac12 \\ &= 39\end{aligned}
a=39≈6.24a = \sqrt{39} \approx 6.24

BC≈6.24BC \approx 6.24.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

במשולש ABCABC נתון BC=12BC = 12, ∠A=50∘\angle A = 50^\circ ו-∠B=70∘\angle B = 70^\circ. מצאו את ACAC (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 14.72

Corrigé :

BCsin⁡A=ACsin⁡B\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B}

משפט הסינוסים: BCBC מול AA, ו-ACAC מול BB

AC=12sin⁡70∘sin⁡50∘≈14.72AC = \frac{12 \sin 70^\circ}{\sin 50^\circ} \approx 14.72

AC≈14.72AC \approx 14.72. בדיקה: ACAC מול הזווית הגדולה מבין השתיים, ולכן ארוכה מ-BCBC.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

אורכי הצלעות של משולש הם 55, 77 ו-88. מצאו את הזווית שמול הצלע 77, במעלות.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 60

Corrigé :

72=52+82−2⋅5⋅8cos⁡θ7^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cos\theta

משפט הקוסינוסים, θ\theta מול הצלע 77

49=89−80cos⁡θ⇒cos⁡θ=12\begin{aligned}49 &= 89 - 80\cos\theta \Rightarrow \cos\theta \\ &= \tfrac12\end{aligned}
θ=60∘\theta = 60^\circ

הזווית 60∘60^\circ.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

קיימים שני משולשים ABCABC שונים שבהם AB=9AB = 9, ∠B=40∘\angle B = 40^\circ ו-AC=7AC = 7.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

AH=9sin⁡40∘≈5.79AH = 9\sin 40^\circ \approx 5.79

המרחק של AA מהקרן שעליה נמצא CC

5.79<7<95.79 < 7 < 9

קשת ברדיוס 77 סביב AA חותכת את הקרן פעמיים

הטענה נכונה: הזווית נמצאת מול הצלע הקצרה (7<97 < 9), והצלע ארוכה מהגובה — שני משולשים.

Vérifier la réponse sur elev

סדרה ג — מאתגר

Exercice 8

מנקודה AA על הקרקע רואים את ראש המגדל TT בזווית הגבהה של 30∘30^\circ. מתקרבים אל המגדל 4040 מ׳ בקו ישר עד הנקודה BB, ומשם רואים את ראשו בזווית הגבהה של 45∘45^\circ. מהו גובה המגדל, במטרים? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 54.64

Corrigé :

∠ABT=135∘∠ATB=45∘−30∘=15∘\begin{aligned}\angle ABT &= 135^\circ \\ \quad \angle ATB &= 45^\circ - 30^\circ \\ &= 15^\circ\end{aligned}

במשולש ABTABT: זווית משלימה, וזווית חיצונית

BT=40sin⁡30∘sin⁡15∘≈77.27BT = \frac{40 \sin 30^\circ}{\sin 15^\circ} \approx 77.27

Loi des sinus (משפט הסינוסים)

h=BTsin⁡45∘≈54.64h = BT \sin 45^\circ \approx 54.64

במשולש שבו הזווית ליד בסיס המגדל ישרה

גובה המגדל בקירוב 54.6454.64 מ׳. בדיקה: h3−h=40h\sqrt3 - h = 40.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

במקבילית ABCDABCD נתון AB=7AB = 7, AD=4AD = 4 ו-∠BAD=120∘\angle BAD = 120^\circ. מצאו את אורך האלכסון הקצר (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6.08

Corrigé :

∠ABC=180∘−120∘=60∘\begin{aligned}\angle ABC &= 180^\circ - 120^\circ \\ &= 60^\circ\end{aligned}

זוויות סמוכות במקבילית משלימות

AC2=72+42−2⋅7⋅4cos⁡60∘=37\begin{aligned}AC^2 &= 7^2 + 4^2 - 2 \cdot 7 \cdot 4 \cos 60^\circ \\ &= 37\end{aligned}

במשולש ABCABC, מול הזווית החדה

BD2=72+42−2⋅7⋅4cos⁡120∘=93\begin{aligned}BD^2 &= 7^2 + 4^2 - 2 \cdot 7 \cdot 4 \cos 120^\circ \\ &= 93\end{aligned}

במשולש ABDABD, מול הזווית הקהה

AC=37≈6.08AC = \sqrt{37} \approx 6.08

האלכסון הקצר AC≈6.08AC \approx 6.08 — הוא מול הזווית החדה. הקוסינוס של זוויות משלימות מחליף סימן, ולכן האלכסונים שונים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

לחלקה בעמק החולה יש צורה של משולש שצלעותיו 7070 מ׳, 8080 מ׳ ו-9090 מ׳. מהו שטח החלקה, במ״ר? (עגלו למספר שלם.)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2683

Corrigé :

902=702+802−2⋅70⋅80cos⁡θ⇒cos⁡θ=120011200=328\begin{aligned}90^2 &= 70^2 + 80^2 - 2 \cdot 70 \cdot 80 \cos\theta \Rightarrow \cos\theta \\ &= \frac{1200}{11200} \\ &= \frac{3}{28}\end{aligned}

משפט הקוסינוסים: הזווית שבין הצלעות 7070 ו-8080

sin⁡θ=1−9784≈0.9942\sin\theta = \sqrt{1 - \frac{9}{784}} \approx 0.9942

זווית במשולש — סינוס חיובי

S=12⋅70⋅80⋅sin⁡θ≈2683S = \tfrac{1}{2} \cdot 70 \cdot 80 \cdot \sin\theta \approx 2683

נוסחת השטח

שטח החלקה בקירוב 26832683 מ״ר. שני משפטים ברצף: קודם זווית, אחר כך שטח.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe