Série 5 — vers le bagrut

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

סדרה 5 בנויה כמו שאלות הבגרות: כמה סעיפים שנשענים זה על זה, «הוכיחו כי», «הביעו באמצעות», «הוכיחו או הפריכו» ו«האם ייתכן», עם כל הנושאים של הפרק.

עבדו כמו בבחינה: כתבו כל נימוק, ועגלו רק בסוף. תשובה של סעיף אחד היא נתון לסעיף הבא — שמרו אותה מדויקת.

Exercices

Exercice 1

ABCM

במשולש ABCABC נתון AB=10AB = 10, AC=6AC = 6 ו-∠BAC=60∘\angle BAC = 60^\circ. MM אמצע BCBC. (א) מצאו את BCBC. (ב) מצאו את התיכון AMAM. (ג) מצאו את שטח המשולש ABMABM. (שתי ספרות אחרי הנקודה.)

BC≈BC \approx ____, AM=AM = ____, SABM≈S_{ABM} \approx ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : BC≈BC \approx 8.72, AM=AM = 7, SABM≈S_{ABM} \approx 12.99

Corrigé :

BC2=100+36−60=76\begin{aligned}BC^2 &= 100 + 36 - 60 \\ &= 76\end{aligned}

משפט הקוסינוסים

cos⁡B=100+76−362⋅1076=776\begin{aligned}\cos B &= \frac{100 + 76 - 36}{2\cdot 10\sqrt{76}} \\ &= \frac{7}{\sqrt{76}}\end{aligned}
AM2=100+19−2⋅10⋅762⋅776=49\begin{aligned}AM^2 &= 100 + 19 - 2\cdot 10\cdot\tfrac{\sqrt{76}}{2}\cdot\tfrac{7}{\sqrt{76}} \\ &= 49\end{aligned}

משולש ABMABM, BM=762BM = \tfrac{\sqrt{76}}{2}

SABM=12SABC=12⋅153≈12.99\begin{aligned}S_{ABM} &= \tfrac{1}{2}S_{ABC} \\ &= \tfrac{1}{2}\cdot 15\sqrt{3} \approx 12.99\end{aligned}

התיכון מחלק את השטח לשניים: אותו גובה, בסיסים שווים

BC≈8.72BC \approx 8.72, AM=7AM = 7, SABM≈12.99S_{ABM} \approx 12.99. המלכודת בסעיף ג: לחשב מחדש משולש שלם במקום לראות שהתיכון חוצה את השטח.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

ABC

במשולש ABCABC מתקיים a2=b2+c2+bca^2 = b^2 + c^2 + bc. הוכיחו כי ∠A=120∘\angle A = 120^\circ.

  • a2=b2+c2+bca^2 = b^2 + c^2 + bc

∠A=120∘\angle A = 120^\circ

Voir la réponse et le corrigé
  1. a2=b2+c2−2bccos⁡αa^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha — משפט הקוסינוסים
  2. −2bccos⁡α=bc-2bc\cos\alpha = bc — השוואת שני הביטויים ל-a2a^2
  3. cos⁡α=−12\cos\alpha = -\frac{1}{2} — חילוק ב-−2bc≠0-2bc \ne 0
  4. ∠A=120∘\angle A = 120^\circ — הזווית היחידה בין 0∘0^\circ ל-180∘180^\circ שהקוסינוס שלה −12-\frac{1}{2}

Corrigé :

b2+c2−2bccos⁡α=b2+c2+bcb^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha = b^2 + c^2 + bc
cos⁡α=−12\cos\alpha = -\tfrac{1}{2}
α=120∘\alpha = 120^\circ

המלכודת: לכתוב α=60∘\alpha = 60^\circ או «α=120∘\alpha = 120^\circ או 240∘240^\circ». בתוך משולש לקוסינוס יש זווית אחת בלבד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

ABCO

משולש שווה שוקיים ABCABC (AB=ACAB = AC) חסום במעגל שרדיוסו RR, וזוויות הבסיס שלו α\alpha. הביעו את שטח המשולש באמצעות RR ו-α\alpha.

  1. 2R2sin⁡2α sin⁡(180∘−2α)2R^2\sin^2\alpha\,\sin(180^\circ - 2\alpha)
  2. 2R2sin⁡3α2R^2\sin^3\alpha
  3. R2sin⁡2α sin⁡(180∘−2α)R^2\sin^2\alpha\,\sin(180^\circ - 2\alpha)
  4. 4R2sin⁡2α sin⁡(180∘−2α)4R^2\sin^2\alpha\,\sin(180^\circ - 2\alpha)
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A 2R2sin⁡2α sin⁡(180∘−2α)2R^2\sin^2\alpha\,\sin(180^\circ - 2\alpha)

Corrigé :

AB=AC=2Rsin⁡α\begin{aligned}AB &= AC \\ &= 2R\sin\alpha\end{aligned}

משפט הסינוסים: כל שוק מול זווית בסיס

∠A=180∘−2α\angle A = 180^\circ - 2\alpha
S=12(2Rsin⁡α)2sin⁡(180∘−2α)=2R2sin⁡2α sin⁡(180∘−2α)\begin{aligned}S &= \tfrac{1}{2}(2R\sin\alpha)^2\sin(180^\circ - 2\alpha) \\ &= 2R^2\sin^2\alpha\,\sin(180^\circ - 2\alpha)\end{aligned}

שתי השוקיים והזווית שביניהן

התשובה: 2R2sin⁡2α sin⁡(180∘−2α)2R^2\sin^2\alpha\,\sin(180^\circ - 2\alpha). המלכודת: 2R2sin⁡3α2R^2\sin^3\alpha — להציב את זווית הבסיס α\alpha כאילו היא בין שתי השוקיים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

BAHCC'

נתון AB=12AB = 12 ו-∠ABC=30∘\angle ABC = 30^\circ. לאילו אורכים של ACAC יש בדיוק שני משולשים ABCABC? כתבו את הקצוות של התחום.

____ <AC<< AC < ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6 <AC<< AC < 12

Corrigé :

h=12sin⁡30∘=6\begin{aligned}h &= 12\sin 30^\circ \\ &= 6\end{aligned}

המרחק מ-AA לקרן

AC>6AC > 6

אחרת הקשת לא מגיעה, או נוגעת פעם אחת

AC<12AC < 12

ב-AC≥12AC \ge 12 החיתוך השני נופל מאחורי BB

התחום 6<AC<126 < AC < 12. המלכודת: לכלול את הקצוות — ב-AC=6AC = 6 יש משולש אחד ישר זווית, וב-AC=12AC = 12 החיתוך השני הוא BB עצמו.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

OAB

שני כבישים יוצאים מצומת בזווית של 110∘110^\circ. רכב אחד נוסע בכביש הראשון במהירות 6060 קמ״ש, ורכב שני בכביש השני במהירות 8080 קמ״ש. שניהם יצאו מהצומת יחד. מה המרחק ביניהם אחרי חצי שעה, בק״מ (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה)?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 57.63

Corrigé :

OA=30 OB=40\begin{aligned}OA &= 30 \\ \ OB &= 40\end{aligned}

דרך = מהירות כפול זמן

AB2=900+1600−2400cos⁡110∘≈3320.9AB^2 = 900 + 1600 - 2400\cos 110^\circ \approx 3320.9

משפט הקוסינוסים

AB≈57.63AB \approx 57.63

כ-57.6357.63 ק״מ. המלכודת: להציב 6060 ו-8080 — אלה מהירויות, לא מרחקים. בדיקת יחידות: ק״מ.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

ABCODEF

במשולש ABCABC נתון ∠A=60∘\angle A = 60^\circ ו-∠B=80∘\angle B = 80^\circ, ורדיוס המעגל החסום 33. מצאו את ABAB (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 8.77

Corrigé :

AB=AF+FBAB = AF + FB

FF נקודת ההשקה על ABAB

AF=3tan⁡30∘=33\begin{aligned}AF &= \frac{3}{\tan 30^\circ} \\ &= 3\sqrt{3}\end{aligned}

במשולש AFOAFO

FB=3tan⁡40∘≈3.58FB = \frac{3}{\tan 40^\circ} \approx 3.58

במשולש BFOBFO

AB≈8.77AB \approx 8.77

AB≈8.77AB \approx 8.77. המלכודת: להשתמש ב-60∘60^\circ וב-80∘80^\circ השלמות — המרכז על חוצי הזוויות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

ABCC'

הוכיחו או הפריכו: אם בשני משולשים שתי צלעות שוות בהתאמה, והשטחים שווים, אז המשולשים חופפים.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

S1=12⋅4⋅6sin⁡30∘=6\begin{aligned}S_1 &= \tfrac{1}{2}\cdot 4\cdot 6\sin 30^\circ \\ &= 6\end{aligned}

דוגמה נגדית: צלעות 44 ו-66, זווית 30∘30^\circ

S2=12⋅4⋅6sin⁡150∘=6\begin{aligned}S_2 &= \tfrac{1}{2}\cdot 4\cdot 6\sin 150^\circ \\ &= 6\end{aligned}

אותן צלעות, זווית 150∘150^\circ

BC≠BC′BC \ne BC'

הצלע השלישית שונה, ולכן אין חפיפה

הפרכה: sin⁡30∘=sin⁡150∘\sin 30^\circ = \sin 150^\circ, ולכן אותו שטח עם זווית חדה ועם זווית קהה. המלכודת: להסיק מהשטח את הזווית.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

ABDC

בדלתון ABCDABCD נתון AB=AD=5AB = AD = 5, CB=CD=8CB = CD = 8 ו-∠BAD=100∘\angle BAD = 100^\circ. מצאו את האלכסון BDBD ואת ∠BCD\angle BCD (שתי ספרות אחרי הנקודה).

BD≈BD \approx ____, ∠BCD≈\angle BCD \approx ____ מעלות

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : BD≈BD \approx 7.66, ∠BCD≈\angle BCD \approx 57.21 מעלות

Corrigé :

BD2=25+25−50cos⁡100∘≈58.68BD^2 = 25 + 25 - 50\cos 100^\circ \approx 58.68

משולש ABDABD

BD≈7.66BD \approx 7.66
cos⁡C=64+64−BD2128≈0.542\cos C = \frac{64 + 64 - BD^2}{128} \approx 0.542

משולש CBDCBD

∠C≈57.21∘\angle C \approx 57.21^\circ

BD≈7.66BD \approx 7.66, ∠C≈57.21∘\angle C \approx 57.21^\circ. המלכודת: לעגל את BDBD ל-7.77.7 לפני השלב הבא — בחישוב cos⁡C\cos C עובדים עם BD2BD^2 המלא.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

ABC

במשולש שתי צלעות 66 ו-88, והזווית ביניהן θ\theta משתנה. תלמיד חיפש את השטח הגדול ביותר. מצאו את השורה השגויה.

S(θ)=12⋅6⋅8sin⁡θ=24sin⁡θ\begin{aligned}S(\theta) &= \tfrac{1}{2}\cdot 6\cdot 8\sin\theta \\ &= 24\sin\theta\end{aligned}
0∘<θ<180∘0^\circ < \theta < 180^\circ
S מקסימלי ב-θ=180∘S \text{ מקסימלי } \text{ב-} \theta = 180^\circ
Smax=24S_{max} = 24
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : S מקסימלי ב-θ=180∘S \text{ מקסימלי } \text{ב-} \theta = 180^\circ → S מקסימלי ב-θ=90∘S \text{ מקסימלי } \text{ב-} \theta = 90^\circ

Corrigé :

sin⁡180∘=0\sin 180^\circ = 0

ב-180∘180^\circ אין משולש בכלל

sin⁡θ≤1 sin⁡90∘=1\begin{aligned}\sin\theta \le 1 \\ \ \sin 90^\circ &= 1\end{aligned}

המקסימום של הסינוס

Smax=24S_{max} = 24

השורה האחרונה נכונה

הטעות: «זווית פתוחה יותר — שטח גדול יותר». השטח עולה עד 90∘90^\circ ויורד אחריו, כמו sin⁡θ\sin\theta.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

ABCODEF

במשולש ABCABC נתון AB=6AB = 6, CA=7CA = 7 ו-BC=8BC = 8. מצאו את רדיוס המעגל החוסם ואת רדיוס המעגל החסום (שתי ספרות אחרי הנקודה).

R≈R \approx ____, r≈r \approx ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : R≈R \approx 4.13, r≈r \approx 1.94

Corrigé :

cos⁡A=36+49−642⋅6⋅7=14\begin{aligned}\cos A &= \frac{36 + 49 - 64}{2\cdot 6\cdot 7} \\ &= \tfrac{1}{4}\end{aligned}

הזווית מול BC=8BC = 8

sin⁡A=154\sin A = \tfrac{\sqrt{15}}{4}
R=82sin⁡A=1615≈4.13\begin{aligned}R &= \frac{8}{2\sin A} \\ &= \frac{16}{\sqrt{15}} \approx 4.13\end{aligned}

Loi des sinus (משפט הסינוסים)

S=12⋅6⋅7⋅154≈20.33 p=10.5\begin{aligned}S &= \tfrac{1}{2}\cdot 6\cdot 7\cdot\tfrac{\sqrt{15}}{4} \approx 20.33 \\ \ p &= 10.5\end{aligned}
r=Sp≈1.94r = \tfrac{S}{p} \approx 1.94

R≈4.13R \approx 4.13, r≈1.94r \approx 1.94. המלכודת: לבלבל בין החוסם (2R=asin⁡α2R = \frac{a}{\sin\alpha}) לחסום (S=rpS = rp).

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe