Série 4 — avancé

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

סדרה 4 משלבת כמה כלים בשאלה אחת: מרובע חסום, הפרש שטחים במקרה הדו-משמעי, מרחק בעזרת שתי תצפיות, ביטויים עם פרמטרים, מקסימום בלי נגזרת ותיכון.

בכל שאלה יש צעד מקשר: זווית משלימה, מעגל משותף, או גובה משותף. חפשו אותו לפני שמחשבים. שבע נכונות ומעלה — לסדרה 5.

Exercices

Exercice 1

ABCD

המרובע ABCDABCD חסום במעגל. AB=5AB = 5, BC=21BC = 21, CD=5CD = 5 ו-DA=16DA = 16. מצאו את ∠BAD\angle BAD ואת האלכסון BDBD.

∠BAD=\angle BAD = ____ מעלות, BD=BD = ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : ∠BAD=\angle BAD = 120 מעלות, BD=BD = 19

Corrigé :

BD2=25+256−160cos⁡ABD^2 = 25 + 256 - 160\cos A

משולש ABDABD

BD2=441+25+210cos⁡ABD^2 = 441 + 25 + 210\cos A

משולש CBDCBD, cos⁡C=−cos⁡A\cos C = -\cos A

281−160cos⁡A=466+210cos⁡A⇒cos⁡A=−12\begin{aligned}281 - 160\cos A &= 466 + 210\cos A \Rightarrow \cos A \\ &= -\tfrac{1}{2}\end{aligned}
A=120∘ BD2=281+80=361 BD=19\begin{aligned}A &= 120^\circ \\ \ BD^2 &= 281 + 80 \\ &= 361 \\ \ BD &= 19\end{aligned}

∠A=120∘\angle A = 120^\circ, BD=19BD = 19. המלכודת: לכתוב cos⁡C=cos⁡A\cos C = \cos A — במרובע חסום הזוויות הנגדיות משלימות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

BAHCC'

נתון AB=10AB = 10, ∠ABC=45∘\angle ABC = 45^\circ ו-AC=8AC = 8. יש שני משולשים אפשריים. מצאו את ההפרש בין השטחים שלהם (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 26.46

Corrigé :

AH=BH=52\begin{aligned}AH &= BH \\ &= 5\sqrt{2}\end{aligned}

הגובה מ-AA

HC=64−50=14\begin{aligned}HC &= \sqrt{64 - 50} \\ &= \sqrt{14}\end{aligned}
BC1−BC2=214BC_1 - BC_2 = 2\sqrt{14}

שני החיתוכים סימטריים סביב HH

ΔS=12⋅214⋅52=107≈26.46\begin{aligned}\Delta S &= \tfrac{1}{2}\cdot 2\sqrt{14}\cdot 5\sqrt{2} \\ &= 10\sqrt{7} \approx 26.46\end{aligned}

אותו גובה, בסיסים שונים

ΔS=107≈26.46\Delta S = 10\sqrt{7} \approx 26.46 — זה השטח של המשולש ACC′ACC'. המלכודת: לחשב רק משולש אחד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

ABSH

שתי נקודות תצפית AA ו-BB על קו החוף בנתניה נמצאות במרחק 33 ק״מ זו מזו. סירה SS נראית מ-AA בזווית ∠SAB=52∘\angle SAB = 52^\circ ומ-BB בזווית ∠SBA=71∘\angle SBA = 71^\circ. מה המרחק של הסירה מקו החוף, בק״מ (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה)?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2.67

Corrigé :

∠ASB=57∘\angle ASB = 57^\circ
AS=3sin⁡71∘sin⁡57∘≈3.38AS = \frac{3\sin 71^\circ}{\sin 57^\circ} \approx 3.38

משפט הסינוסים: ASAS מול BB

SH=ASsin⁡52∘≈2.67SH = AS\sin 52^\circ \approx 2.67

במשולש ASHASH, ישר זווית ב-HH

כ-2.672.67 ק״מ. המלכודת: לענות AS≈3.38AS \approx 3.38 — זה המרחק מ-AA, לא מהחוף.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

ABC

במשולש ABCABC נתון AB=cAB = c, ∠A=α\angle A = \alpha ו-∠B=β\angle B = \beta. הביעו את שטח המשולש באמצעות cc, α\alpha ו-β\beta.

  1. c2sin⁡αsin⁡β2sin⁡(α+β)\dfrac{c^2\sin\alpha\sin\beta}{2\sin(\alpha+\beta)}
  2. c2sin⁡αsin⁡β2\dfrac{c^2\sin\alpha\sin\beta}{2}
  3. c2sin⁡αsin⁡βsin⁡(α+β)\dfrac{c^2\sin\alpha\sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)}
  4. c2sin⁡(α+β)2sin⁡αsin⁡β\dfrac{c^2\sin(\alpha+\beta)}{2\sin\alpha\sin\beta}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A c2sin⁡αsin⁡β2sin⁡(α+β)\dfrac{c^2\sin\alpha\sin\beta}{2\sin(\alpha+\beta)}

Corrigé :

sin⁡C=sin⁡(180∘−α−β)=sin⁡(α+β)\begin{aligned}\sin C &= \sin(180^\circ - \alpha - \beta) \\ &= \sin(\alpha + \beta)\end{aligned}
AC=csin⁡βsin⁡(α+β)AC = \frac{c\sin\beta}{\sin(\alpha + \beta)}

משפט הסינוסים: ACAC מול BB

S=12⋅c⋅ACsin⁡α=c2sin⁡αsin⁡β2sin⁡(α+β)\begin{aligned}S &= \tfrac{1}{2}\cdot c\cdot AC\sin\alpha \\ &= \frac{c^2\sin\alpha\sin\beta}{2\sin(\alpha + \beta)}\end{aligned}

הזווית α\alpha בין ABAB ל-ACAC

התשובה: c2sin⁡αsin⁡β2sin⁡(α+β)\frac{c^2\sin\alpha\sin\beta}{2\sin(\alpha+\beta)}. המלכודת: לשכוח את המכנה — כאילו AC=csin⁡βAC = c\sin\beta.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

ABCD

במקבילית צלעות באורך 66 ו-99, והזווית ביניהן θ\theta יכולה להשתנות. השלימו.

השטח הגדול ביותר: ____. השטח הוא 2727 כשהזווית החדה θ=\theta = ____ מעלות.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : השטח הגדול ביותר: 54. השטח הוא 2727 כשהזווית החדה θ=\theta = 30 מעלות.

Corrigé :

S=6⋅9sin⁡θ=54sin⁡θ\begin{aligned}S &= 6\cdot 9\sin\theta \\ &= 54\sin\theta\end{aligned}
sin⁡θ≤1⇒S≤54\sin\theta \le 1 \Rightarrow S \le 54

שוויון ב-θ=90∘\theta = 90^\circ, מלבן

54sin⁡θ=27⇒sin⁡θ=12\begin{aligned}54\sin\theta &= 27 \Rightarrow \sin\theta \\ &= \tfrac{1}{2}\end{aligned}
θ=30∘ (או 150∘)\theta = 30^\circ\ (\text{או}\ 150^\circ)

הזווית החדה

המקסימום 5454 בלי נגזרת, כי הסינוס לא עולה על 11. המלכודת: 12⋅6⋅9=27\tfrac{1}{2}\cdot 6\cdot 9 = 27 — שטח משולש, לא מקבילית.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

ABCM

במשולש ABCABC נתון AB=7AB = 7, BC=8BC = 8 ו-CA=9CA = 9. MM אמצע BCBC. מצאו את אורך התיכון AMAM.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 7

Corrigé :

cos⁡B=49+64−812⋅7⋅8=27\begin{aligned}\cos B &= \frac{49 + 64 - 81}{2\cdot 7\cdot 8} \\ &= \tfrac{2}{7}\end{aligned}

משפט הקוסינוסים במשולש ABCABC

AM2=49+16−2⋅7⋅4⋅27=49\begin{aligned}AM^2 &= 49 + 16 - 2\cdot 7\cdot 4\cdot\tfrac{2}{7} \\ &= 49\end{aligned}

משפט הקוסינוסים במשולש ABMABM, BM=4BM = 4

AM=7AM = 7

AM=7AM = 7. המלכודת: להשתמש ב-BC=8BC = 8 במשולש ABMABM במקום BM=4BM = 4.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

ABCO

האם ייתכן משולש ABCABC שבו BC=5BC = 5, ∠A=30∘\angle A = 30^\circ ורדיוס המעגל החוסם R=4R = 4? סמנו «נכון» אם ייתכן.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

2R=BCsin⁡A=50.5=10\begin{aligned}2R &= \frac{BC}{\sin A} \\ &= \frac{5}{0.5} \\ &= 10\end{aligned}

משפט הסינוסים קובע את RR

R=5≠4R = 5 \ne 4

לא ייתכן: צלע והזווית שמולה כבר קובעות את R=5R = 5. המלכודת: לחשוב ששלושה נתונים «חופשיים» תמיד נותנים משולש.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

ABCODEF

במשולש שווה שוקיים ABCABC (AB=ACAB = AC) זוויות הבסיס β\beta, ורדיוס המעגל החסום rr. הביעו את הבסיס BCBC.

  1. 2rtan⁡β22r\tan\frac{\beta}{2}
  2. rtan⁡β2\dfrac{r}{\tan\frac{\beta}{2}}
  3. 2rtan⁡β\dfrac{2r}{\tan\beta}
  4. 2rtan⁡β2\dfrac{2r}{\tan\frac{\beta}{2}}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D 2rtan⁡β2\dfrac{2r}{\tan\frac{\beta}{2}}

Corrigé :

∠OBD=β2\angle OBD = \tfrac{\beta}{2}

BOBO חוצה את זווית הבסיס, DD אמצע BCBC

BD=rtan⁡β2BD = \frac{r}{\tan\frac{\beta}{2}}

במשולש OBDOBD: rr מול, BDBD ליד

BC=2BDBC = 2BD

התשובה: 2rtan⁡β2\frac{2r}{\tan\frac{\beta}{2}}. המלכודת: 2rtan⁡β\frac{2r}{\tan\beta} — שוכחים שהמרכז על חוצה הזווית.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

BAHCC'

נתונות שתי צלעות והזווית שמול אחת מהן. סדרו את שלבי הפתרון.

  • בודקים אם גם 180∘−γ180^\circ - \gamma נכנסת למשולש
  • מוצאים sin⁡γ\sin\gamma במשפט הסינוסים
  • מוצאים את הצלע השלישית בכל משולש
  • מחשבים את הזווית השלישית בכל משולש
  • משווים את הצלע שמול הזווית לגובה csin⁡βc\sin\beta
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : משווים את הצלע שמול הזווית לגובה csin⁡βc\sin\beta · מוצאים sin⁡γ\sin\gamma במשפט הסינוסים · בודקים אם גם 180∘−γ180^\circ - \gamma נכנסת למשולש · מחשבים את הזווית השלישית בכל משולש · מוצאים את הצלע השלישית בכל משולש

Corrigé :

b מול csin⁡βb \text{ מול } c\sin\beta

כמה משולשים

sin⁡γ=csin⁡βb\sin\gamma = \tfrac{c\sin\beta}{b}
β+(180∘−γ)<180∘ ?\beta + (180^\circ - \gamma) < 180^\circ\ ?
α=180∘−β−γ\alpha = 180^\circ - \beta - \gamma
a=bsin⁡αsin⁡βa = \tfrac{b\sin\alpha}{\sin\beta}

המלכודת: לדלג על הבדיקה של הזווית הקהה, ולפתור רק משולש אחד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

ABCD

המרובע ABCDABCD חסום במעגל. האלכסון AC=12AC = 12, ∠ABC=70∘\angle ABC = 70^\circ ו-∠ACD=40∘\angle ACD = 40^\circ. מצאו את ADAD (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 8.21

Corrigé :

2R=ACsin⁡70∘≈12.772R = \frac{AC}{\sin 70^\circ} \approx 12.77

משפט הסינוסים במשולש ABCABC

AD=2Rsin⁡∠ACDAD = 2R\sin\angle ACD

אותו מעגל חוסם גם את ACDACD

AD=12sin⁡40∘sin⁡70∘≈8.21AD = \frac{12\sin 40^\circ}{\sin 70^\circ} \approx 8.21

AD≈8.21AD \approx 8.21. המלכודת: לחפש את כל הזוויות של המשולש ACDACD — מספיק המעגל המשותף: 2R2R אחד לכל המשולשים שחסומים בו.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe