Série 3 — difficile

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

סדרה 3 דורשת לבנות את הדרך: שני משולשים בבעיית גובה, משוואה ריבועית משטח או ממשפט הקוסינוסים, אלכסונים במקבילית, מעגל חסום, והוכחה של נוסחה.

כאן לא תמיד ברור איזה משפט פותח. שרטטו, סמנו מה ידוע, וחפשו משולש עם שלושה נתונים. שבע נכונות ומעלה — לסדרה 4.

Exercices

Exercice 1

FTBA

מנקודה AA על הקרקע רואים את ראש מגדל המים TT בזווית הגבהה של 32∘32^\circ. מתקרבים 4040 מטרים ישר אל המגדל, לנקודה BB, ומשם זווית ההגבהה 50∘50^\circ. מצאו את גובה המגדל במטרים (עגלו למספר שלם).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 53

Corrigé :

∠ATB=50∘−32∘=18∘\begin{aligned}\angle ATB &= 50^\circ - 32^\circ \\ &= 18^\circ\end{aligned}

זווית חיצונית במשולש ABTABT

BT=40sin⁡32∘sin⁡18∘≈68.6BT = \frac{40\sin 32^\circ}{\sin 18^\circ} \approx 68.6

משפט הסינוסים במשולש ABTABT

h=BTsin⁡50∘≈52.5h = BT\sin 50^\circ \approx 52.5

במשולש BFTBFT, ישר זווית ב-FF

הגובה כ-5353 מטרים (52.552.5). המלכודת: 40tan⁡50∘40\tan 50^\circ — המרחק 4040 הוא לא המרחק מהמגדל.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

CBA

במשולש ABCABC נתון ∠C=60∘\angle C = 60^\circ ו-CB=CA+3CB = CA + 3. שטח המשולש 10310\sqrt{3}. מצאו את CACA.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5

Corrigé :

12x(x+3)⋅32=103\tfrac{1}{2}x(x + 3)\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}

x=CAx = CA

x2+3x−40=0x^2 + 3x - 40 = 0
(x+8)(x−5)=0⇒x=5\begin{aligned}(x + 8)(x - 5) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 5\end{aligned}

אורך חיובי

CA=5CA = 5. המלכודת: להשאיר את הפתרון x=−8x = -8.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

ABCO

המשולש ABCABC חסום במעגל שרדיוסו 77, ו-AB=7AB = 7. הוכיחו או הפריכו: בהכרח ∠ACB=30∘\angle ACB = 30^\circ.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

sin⁡C=72⋅7=12\begin{aligned}\sin C &= \frac{7}{2\cdot 7} \\ &= \tfrac{1}{2}\end{aligned}

Loi des sinus (משפט הסינוסים)

C=30∘ או C=150∘\begin{aligned}C &= 30^\circ\ \text{או}\ C \\ &= 150^\circ\end{aligned}
C=150∘C = 150^\circ

כש-CC על הקשת הקטנה של המיתר ABAB

הפרכה: CC יכול להיות גם על הקשת הקטנה, ואז ∠C=150∘\angle C = 150^\circ. המלכודת: לשכוח שלזווית היקפית על מיתר יש שני ערכים, מכל צד של המיתר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

BACC'

במשולש ABCABC נתון AB=6AB = 6, ∠ABC=60∘\angle ABC = 60^\circ ו-AC=31AC = \sqrt{31}. מצאו את כל האפשרויות ל-BCBC.

הקצר: ____, הארוך: ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : הקצר: 1, הארוך: 5

Corrigé :

31=36+x2−2⋅6xcos⁡60∘31 = 36 + x^2 - 2\cdot 6x\cos 60^\circ

משפט הקוסינוסים סביב BB, x=BCx = BC

x2−6x+5=0x^2 - 6x + 5 = 0
x=1 או x=5\begin{aligned}x &= 1\ \text{או}\ x \\ &= 5\end{aligned}

שני פתרונות חיוביים — שני משולשים

6sin⁡60∘≈5.20<31≈5.57<66\sin 60^\circ \approx 5.20 < \sqrt{31} \approx 5.57 < 6

בדיקה מול הגובה

BC=1BC = 1 או BC=5BC = 5. משפט הקוסינוסים עם הזווית שליד הצלע הלא ידועה נותן משוואה ריבועית, ושני שורשים חיוביים הם שני המשולשים. המלכודת: לפסול את 11 כי «קטן מדי».

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

ABCD

במקבילית ABCDABCD נתון AB=8AB = 8, AD=5AD = 5 והאלכסון BD=7BD = 7. השלימו.

∠BAD=\angle BAD = ____ מעלות, AC≈AC \approx ____ (שתי ספרות אחרי הנקודה)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : ∠BAD=\angle BAD = 60 מעלות, AC≈AC \approx 11.36 (שתי ספרות אחרי הנקודה)

Corrigé :

cos⁡A=64+25−4980=12⇒A=60∘\begin{aligned}\cos A &= \frac{64 + 25 - 49}{80} \\ &= \tfrac{1}{2} \Rightarrow A \\ &= 60^\circ\end{aligned}

משפט הקוסינוסים במשולש ABDABD

∠ABC=120∘\angle ABC = 120^\circ

זוויות סמוכות במקבילית

AC2=64+25+40=129 AC≈11.36\begin{aligned}AC^2 &= 64 + 25 + 40 \\ &= 129 \\ \ AC \approx 11.36\end{aligned}

∠A=60∘\angle A = 60^\circ, AC≈11.36AC \approx 11.36. בדיקה: 49+129=178=2(64+25)49 + 129 = 178 = 2(64 + 25). המלכודת: לחשב את ACAC עם 60∘60^\circ ולקבל שוב 77.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

ABCODEF

במשולש ABCABC נתון AB=8AB = 8, AC=5AC = 5 ו-∠BAC=60∘\angle BAC = 60^\circ. מצאו את רדיוס המעגל החסום במשולש (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1.73

Corrigé :

BC2=64+25−40=49 BC=7\begin{aligned}BC^2 &= 64 + 25 - 40 \\ &= 49 \\ \ BC &= 7\end{aligned}

משפט הקוסינוסים

S=12⋅8⋅5sin⁡60∘=103\begin{aligned}S &= \tfrac{1}{2}\cdot 8\cdot 5\sin 60^\circ \\ &= 10\sqrt{3}\end{aligned}
p=8+5+72=10\begin{aligned}p &= \tfrac{8 + 5 + 7}{2} \\ &= 10\end{aligned}
r=Sp=3≈1.73\begin{aligned}r &= \tfrac{S}{p} \\ &= \sqrt{3} \approx 1.73\end{aligned}

r=3≈1.73r = \sqrt{3} \approx 1.73. המלכודת: לחלק בהיקף המלא 2020.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

ABC

במשולש ABCABC נתון ∠A=45∘\angle A = 45^\circ, ∠B=60∘\angle B = 60^\circ ו-BC=10BC = 10. מצאו את שטח המשולש (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 59.15

Corrigé :

AC=10sin⁡60∘sin⁡45∘=56≈12.25\begin{aligned}AC &= \frac{10\sin 60^\circ}{\sin 45^\circ} \\ &= 5\sqrt{6} \approx 12.25\end{aligned}

Loi des sinus (משפט הסינוסים)

∠C=75∘\angle C = 75^\circ

הזווית שבין BCBC ל-ACAC

S=12⋅10⋅56sin⁡75∘≈59.15S = \tfrac{1}{2}\cdot 10\cdot 5\sqrt{6}\sin 75^\circ \approx 59.15

S≈59.15S \approx 59.15. המלכודת: להציב sin⁡45∘\sin 45^\circ עם BCBC ו-ACAC — הזווית AA אינה בין שתי הצלעות האלה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

ABC

במשולש ABCABC נתון ∠A=40∘\angle A = 40^\circ, ∠B=75∘\angle B = 75^\circ ו-BC=10BC = 10. תלמיד חישב את ACAC. מצאו את השורה השגויה.

BC מול A,AC מול BBC \text{ מול } A,\quad AC \text{ מול } B
ACsin⁡40∘=10sin⁡75∘\frac{AC}{\sin 40^\circ} = \frac{10}{\sin 75^\circ}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : ACsin⁡40∘=10sin⁡75∘\frac{AC}{\sin 40^\circ} = \frac{10}{\sin 75^\circ} → ACsin⁡75∘=10sin⁡40∘\frac{AC}{\sin 75^\circ} = \frac{10}{\sin 40^\circ}

Corrigé :

AC=10sin⁡75∘sin⁡40∘≈15.03AC = \frac{10\sin 75^\circ}{\sin 40^\circ} \approx 15.03

כל צלע עם הזווית שמולה

75∘>40∘⇒AC>BC75^\circ > 40^\circ \Rightarrow AC > BC

בדיקה: מול הזווית הגדולה — הצלע הגדולה

הטעות: השורה הראשונה נכונה, והשנייה סותרת אותה. בדיקה מהירה: מהשורה השגויה יוצא AC≈6.65<10AC \approx 6.65 < 10, אבל ACAC מול הזווית הגדולה יותר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

ABCD

במשולש ABCABC נתון AB=AC=kAB = AC = k ו-∠ABC=β\angle ABC = \beta. הביעו את BCBC באמצעות kk ו-β\beta.

  1. 2kcos⁡β22k\cos\frac{\beta}{2}
  2. kcos⁡βk\cos\beta
  3. 2kcos⁡β2k\cos\beta
  4. 2ksin⁡β2k\sin\beta
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C 2kcos⁡β2k\cos\beta

Corrigé :

BD=kcos⁡βBD = k\cos\beta

במשולש ABDABD: BDBD ליד β\beta, ABAB יתר

BC=2BD=2kcos⁡β\begin{aligned}BC &= 2BD \\ &= 2k\cos\beta\end{aligned}

הגובה לבסיס הוא גם תיכון

התשובה: 2kcos⁡β2k\cos\beta. המלכודת: 2ksin⁡β2k\sin\beta — מי שמתבלבל בין זווית הבסיס לחצי זווית הראש.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

ABCO

במשולש ABCABC הצלעות aa, bb, cc, ו-RR רדיוס המעגל החוסם. הוכיחו כי שטח המשולש הוא S=abc4RS = \frac{abc}{4R}.

  • BC=a, CA=b, AB=cBC = a,\ CA = b,\ AB = c
  • RR רדיוס המעגל החוסם

S=abc4RS = \frac{abc}{4R}

Voir la réponse et le corrigé
  1. S=12absin⁡γS = \frac{1}{2}ab\sin\gamma — שטח משולש: שתי צלעות והזווית שביניהן
  2. csin⁡γ=2R\frac{c}{\sin\gamma} = 2R — משפט הסינוסים
  3. sin⁡γ=c2R\sin\gamma = \frac{c}{2R} — בידוד sin⁡γ\sin\gamma
  4. S=abc4RS = \frac{abc}{4R} — הצבה בנוסחת השטח

Corrigé :

S=12absin⁡γS = \tfrac{1}{2}ab\sin\gamma
sin⁡γ=c2R\sin\gamma = \tfrac{c}{2R}
S=12ab⋅c2R=abc4R\begin{aligned}S &= \tfrac{1}{2}ab\cdot\tfrac{c}{2R} \\ &= \tfrac{abc}{4R}\end{aligned}

המלכודת: להציב sin⁡γ=cR\sin\gamma = \frac{c}{R} — משפט הסינוסים נותן את הקוטר.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe