Rappel : le triangle rectangle

Sur elev, cette leçon vient avec une vidéo, des exercices corrigés sur le moment et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev
Voir la vidéo de la leçon

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

בכל פרק הטריגונומטריה נשתמש ביחסים שהכרתם בכיתה ט. לפני שעוברים למשולש כללי, כדאי לראות שוב למה היחסים האלה בכלל קיימים: הם לא תלויים בגודל המשולש, רק בזווית.

ABCDE
שני משולשים ישרי זווית עם אותה זווית חדה ליד הקדקוד A. הקטן הוא הקטנה של הגדול פי 2.

בשרטוט AB=8AB = 8, BC=6BC = 6, AD=4AD = 4 ו-DE=3DE = 3. חשבו את ACAC ואת AEAE, ואחר כך את BCAC\frac{BC}{AC} ואת DEAE\frac{DE}{AE}. מה קיבלתם, ולמה?

Voir la réponse et le corrigé

לפי פיתגורס AC=10AC = 10 ו-AE=5AE = 5. שני היחסים שווים ל-35\frac{3}{5}. המשולשים ADEADE ו-ABCABC דומים (ז.ז: זווית משותפת וזווית ישרה), ולכן היחס בין הצלע שמול AA ליתר זהה בשניהם. היחס תלוי רק בזווית AA — וזה בדיוק sin⁡A\sin A.

שלושת היחסים

sin⁡α=ac\sin\alpha = \dfrac{a}{c}

סינוס: הניצב שמול הזווית, חלקי היתר.

cos⁡α=bc\cos\alpha = \dfrac{b}{c}

קוסינוס: הניצב שליד הזווית, חלקי היתר.

tan⁡α=ab\tan\alpha = \dfrac{a}{b}

טנגנס: הניצב שמול הזווית, חלקי הניצב שלידה.

כאן cc הוא היתר, aa הניצב שמול הזווית α\alpha ו-bb הניצב שלידה. השמות נגדי וליד תלויים בזווית שבוחרים: הניצב שנגדי לזווית אחת הוא הניצב שליד הזווית השנייה.

הזוויות המיוחדות: 30°, 45°, 60°

sin⁡30∘=cos⁡60∘=12\begin{aligned}\sin 30^\circ &= \cos 60^\circ \\ &= \tfrac{1}{2}\end{aligned}

מחצי משולש שווה צלעות: הניצב הקצר הוא חצי היתר.

sin⁡60∘=cos⁡30∘=32\begin{aligned}\sin 60^\circ &= \cos 30^\circ \\ &= \tfrac{\sqrt{3}}{2}\end{aligned}

הגובה של משולש שווה צלעות שצלעו 2.

sin⁡45∘=cos⁡45∘=22\begin{aligned}\sin 45^\circ &= \cos 45^\circ \\ &= \tfrac{\sqrt{2}}{2}\end{aligned}

מחצי ריבוע שצלעו 1: היתר הוא האלכסון 2\sqrt{2}.

tan⁡45∘=1\tan 45^\circ = 1

שני הניצבים שווים.

במשולש ישר זווית שני הניצבים שווים ל-11. מהו היתר, ומהו sin⁡45∘\sin 45^\circ?

Voir la réponse et le corrigé

היתר 12+12=2\sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}, ולכן sin⁡45∘=12=22\sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}.

בהוכחה כותבים 22\frac{\sqrt{2}}{2}, בחישוב מספרי מותר 0.7070.707. ערך מעוגל בתוך הוכחה הופך שוויון מדויק לשוויון בקירוב, וההוכחה כבר לא מוכיחה. ובמחשבון — לבדוק שהוא במצב מעלות (DEG): במצב רדיאנים sin⁡30\sin 30 נותן −0.988-0.988.

למצוא צלע, למצוא זווית

במשולש ישר זווית ידועים שני הניצבים, 33 ו-44. איך מוצאים את הזווית שמול הניצב 33 בלי לחשב את היתר?

Voir la réponse et le corrigé

בטנגנס: tan⁡α=34\tan\alpha = \frac{3}{4}, ולכן α=tan⁡−1(0.75)≈36.87∘\alpha = \tan^{-1}(0.75) \approx 36.87^\circ. היחס היחיד שלא צריך את היתר.

משולש שווה שוקיים: הגובה הופך אותו לשני משולשים ישרי זווית

ABCD
במשולש שווה שוקיים הגובה לבסיס הוא גם חוצה זווית הראש וגם תיכון — ויוצר שני משולשים ישרי זווית חופפים.

הביעו באמצעות kk ו-α\alpha

במשולש ABCABC נתון AB=AC=kAB = AC = k ו-∠BAC=2α\angle BAC = 2\alpha. ADAD הוא הגובה לבסיס. הביעו באמצעות kk ו-α\alpha את BCBC ואת ADAD.

∠BAD=α\angle BAD = \alpha

הגובה לבסיס במשולש שווה שוקיים חוצה את זווית הראש

BD=ksin⁡αBD = k\sin\alpha

במשולש ABDABD (ישר זווית ב-DD): BDBD מול α\alpha, והיתר AB=kAB = k

BC=2BD=2ksin⁡α\begin{aligned}BC &= 2BD \\ &= 2k\sin\alpha\end{aligned}

הגובה הוא גם תיכון

AD=kcos⁡αAD = k\cos\alpha

ADAD הוא הניצב שליד α\alpha

בדיקת ממד: BCBC ו-ADAD הם אורכים, ולכן בביטוי שלהם kk מופיע בחזקה ראשונה. ביטוי כמו k2sin⁡αk^2\sin\alpha לא יכול להיות אורך — הוא שטח.

שלוש טעויות שחוזרות בחזרה על המשולש ישר הזווית.

sin⁡α=bc\sin\alpha = \frac{b}{c}
sin⁡α=ac\sin\alpha = \frac{a}{c}

בלבול בין הניצב שמול הזווית לניצב שלידה. לפני כל חישוב — לסמן על השרטוט איזה ניצב נגדי ואיזה ליד.

c=bcos⁡αc = b\cos\alpha
c=bcos⁡αc = \frac{b}{\cos\alpha}

כשהיתר הוא הנעלם מחלקים. בדיקה: היתר חייב לצאת ארוך מכל ניצב, ו-bcos⁡αb\cos\alpha קצר מ-bb.

sin⁡30∘=−0.988\sin 30^\circ = -0.988
sin⁡30∘=0.5\sin 30^\circ = 0.5

המחשבון במצב רדיאנים. תוצאה שלילית בזווית חדה היא סימן אזהרה.

Exercices

Exercice 1

CAB

במשולש ABCABC הזווית CC ישרה, AB=12AB = 12 ו-∠A=40∘\angle A = 40^\circ. מצאו את BCBC (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 7.71

Corrigé :

sin⁡40∘=BC12\sin 40^\circ = \frac{BC}{12}

BCBC מול הזווית AA, ABAB יתר

BC=12sin⁡40∘≈7.71BC = 12\sin 40^\circ \approx 7.71

BC≈7.71BC \approx 7.71. המלכודת: 12cos⁡40∘≈9.1912\cos 40^\circ \approx 9.19 — זה ACAC, הניצב שליד AA.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

CAB

במשולש ABCABC הזווית CC ישרה, AC=9AC = 9 ו-BC=5BC = 5. מצאו את ∠A\angle A במעלות (עגלו לספרה אחת אחרי הנקודה).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 29.1

Corrigé :

tan⁡A=BCAC=59\begin{aligned}\tan A &= \frac{BC}{AC} \\ &= \frac{5}{9}\end{aligned}

שני הניצבים ידועים — טנגנס

A=tan⁡−1(59)≈29.1∘A = \tan^{-1}\left(\tfrac{5}{9}\right) \approx 29.1^\circ

∠A≈29.1∘\angle A \approx 29.1^\circ. המלכודת: tan⁡A=95\tan A = \frac{9}{5} נותן 60.9∘60.9^\circ, שהיא הזווית BB.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

CAB

במשולש ABCABC הזווית CC ישרה. איזה יחס שווה ל-cos⁡B\cos B?

  1. BCAB\frac{BC}{AB}
  2. ABBC\frac{AB}{BC}
  3. ACAB\frac{AC}{AB}
  4. ACBC\frac{AC}{BC}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A BCAB\frac{BC}{AB}

Corrigé :

cos⁡B=BCAB\cos B = \frac{BC}{AB}

קוסינוס: הניצב שליד BB חלקי היתר. הניצב שיוצא מהקדקוד BB הוא BCBC

sin⁡B=ACAB\sin B = \frac{AC}{AB}

והניצב ACAC, שמול BB, שייך לסינוס

התשובה: BCAB\frac{BC}{AB}. המלכודת: ACAB\frac{AC}{AB} הוא sin⁡B\sin B — וגם cos⁡A\cos A.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

השלימו את הערכים המדויקים (כתבו מספר עשרוני כשצריך).

sin⁡30∘=\sin 30^\circ = ____, cos⁡60∘=\cos 60^\circ = ____, tan⁡45∘=\tan 45^\circ = ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : sin⁡30∘=\sin 30^\circ = 0.5, cos⁡60∘=\cos 60^\circ = 0.5, tan⁡45∘=\tan 45^\circ = 1

Corrigé :

sin⁡30∘=12\sin 30^\circ = \tfrac{1}{2}

חצי משולש שווה צלעות: הניצב שמול 30∘30^\circ הוא חצי היתר

cos⁡60∘=12\cos 60^\circ = \tfrac{1}{2}

אותו ניצב, הפעם ליד הזווית 60∘60^\circ

tan⁡45∘=1\tan 45^\circ = 1

במשולש ישר זווית ושווה שוקיים הניצבים שווים

sin⁡30∘=cos⁡60∘\sin 30^\circ = \cos 60^\circ — הזוויות משלימות ל-90∘90^\circ. המלכודת: לחשוב ש-sin⁡30∘=32\sin 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

ABCD

במשולש ABCABC נתון AB=AC=10AB = AC = 10 ו-∠BAC=50∘\angle BAC = 50^\circ. מצאו את אורך הבסיס BCBC (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 8.45

Corrigé :

∠BAD=25∘\angle BAD = 25^\circ

הגובה ADAD חוצה את זווית הראש

BD=10sin⁡25∘≈4.226BD = 10\sin 25^\circ \approx 4.226

במשולש ABDABD, ישר זווית ב-DD

BC=2BD≈8.45BC = 2BD \approx 8.45

הגובה הוא גם תיכון

BC≈8.45BC \approx 8.45. המלכודת: 10sin⁡50∘10\sin 50^\circ — הזווית 50∘50^\circ היא זווית הראש כולה, ואינה נמצאת במשולש ישר זווית.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

ABCD

במשולש ABCABC נתון AB=AC=kAB = AC = k ו-∠ABC=β\angle ABC = \beta. ADAD הוא הגובה לבסיס. הביעו את ADAD באמצעות kk ו-β\beta.

  1. ktan⁡βk\tan\beta
  2. ksin⁡β\frac{k}{\sin\beta}
  3. ksin⁡βk\sin\beta
  4. kcos⁡βk\cos\beta
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C ksin⁡βk\sin\beta

Corrigé :

△ABD: ∠D=90∘\triangle ABD:\ \angle D = 90^\circ

משולש ישר זווית עם יתר AB=kAB = k

sin⁡β=ADk\sin\beta = \frac{AD}{k}

ADAD מול הזווית BB

AD=ksin⁡βAD = k\sin\beta

התשובה: ksin⁡βk\sin\beta. המלכודת: kcos⁡βk\cos\beta הוא BDBD, חצי הבסיס — הניצב שליד β\beta.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

CAB

נכון או לא נכון: במשולש ישר זווית ייתכן ש-sin⁡α=1.2\sin\alpha = 1.2 עבור אחת הזוויות החדות.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

sin⁡α=ac\sin\alpha = \frac{a}{c}

ניצב חלקי יתר

a<c⇒sin⁡α<1a < c \Rightarrow \sin\alpha < 1

היתר ארוך מכל ניצב

לא נכון. בזווית חדה 0<sin⁡α<10 < \sin\alpha < 1. אם יצא לכם סינוס גדול מ-11, יש טעות בחישוב — או שהמשולש לא קיים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

ABC

סולם שאורכו 55 מטרים נשען על קיר אנכי, ויוצר עם הקרקע זווית של 70∘70^\circ. לאיזה גובה על הקיר מגיע הסולם? (במטרים, שתי ספרות אחרי הנקודה)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4.7

Corrigé :

sin⁡70∘=h5\sin 70^\circ = \frac{h}{5}

הגובה מול הזווית שליד הקרקע, הסולם הוא היתר

h=5sin⁡70∘≈4.70h = 5\sin 70^\circ \approx 4.70

h≈4.70h \approx 4.70 מטרים. בדיקת סבירות: זווית גדולה עם הקרקע — הסולם כמעט זקוף, והגובה קרוב ל-55. המלכודת: 5cos⁡70∘≈1.715\cos 70^\circ \approx 1.71 הוא המרחק מהקיר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

CAB

במשולש ABCABC הזווית CC ישרה, AC=8AC = 8 ו-∠A=30∘\angle A = 30^\circ. תלמיד חישב את היתר ABAB. שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

cos⁡30∘=ACAB\cos 30^\circ = \frac{AC}{AB}
32=8AB\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{8}{AB}
AB=8⋅32=43\begin{aligned}AB &= 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \\ &= 4\sqrt{3}\end{aligned}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : AB=8⋅32=43AB = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} → AB=163=1633AB = \frac{16}{\sqrt{3}} = \frac{16\sqrt{3}}{3}

Corrigé :

3⋅AB=16\sqrt{3}\cdot AB = 16

כפל בהצלבה

AB=163=1633≈9.24\begin{aligned}AB &= \frac{16}{\sqrt{3}} \\ &= \frac{16\sqrt{3}}{3} \approx 9.24\end{aligned}

הטעות: לכפול במקום לחלק. בדיקה שתופסת אותה: 43≈6.934\sqrt{3} \approx 6.93 קטן מהניצב 88, ויתר לא יכול להיות קצר מניצב.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

CAB

במשולש ABCABC הזווית CC ישרה. הוכיחו כי sin⁡A=cos⁡B\sin A = \cos B.

  • ∠C=90∘\angle C = 90^\circ

sin⁡A=cos⁡B\sin A = \cos B

Voir la réponse et le corrigé
  1. sin⁡A=BCAB\sin A = \dfrac{BC}{AB} — הגדרת הסינוס: הניצב שמול AA חלקי היתר
  2. cos⁡B=BCAB\cos B = \dfrac{BC}{AB} — הגדרת הקוסינוס: הניצב שליד BB חלקי היתר
  3. sin⁡A=cos⁡B\sin A = \cos B — שני הגדלים שווים לאותו יחס

Corrigé :

sin⁡A=BCAB=cos⁡B\begin{aligned}\sin A &= \frac{BC}{AB} \\ &= \cos B\end{aligned}

הניצב BCBC נגדי ל-AA וסמוך ל-BB

A+B=90∘⇒sin⁡A=cos⁡(90∘−A)\begin{aligned}A + B &= 90^\circ \Rightarrow \sin A \\ &= \cos(90^\circ - A)\end{aligned}

זו הזהות cos⁡(90∘−x)=sin⁡x\cos(90^\circ - x) = \sin x

ההוכחה נשענת רק על ההגדרות. המלכודת: להציב זוויות מספריות — דוגמה אחת אינה הוכחה.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe