L'aire d'un triangle par le sinus

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

קחו שני מקלות, באורך 66 ובאורך 44, וחברו אותם בציר בקצה אחד. הקצוות האחרים נקשרים בגומייה — וזה משולש. כשפותחים את הציר המשולש משנה צורה: בזווית קטנה הוא «שטוח», ובזווית גדולה מאוד הוא שוב שטוח. באיזו זווית השטח הכי גדול?

CBAH
הצלע CB=6CB = 6 היא הבסיס. הגובה AHAH יורד מהקדקוד AA — והוא תלוי בזווית CC.

בשרטוט CA=4CA = 4 והזווית ב-CC היא γ\gamma. הביעו את הגובה AHAH באמצעות γ\gamma. ובאיזו זווית הוא הכי ארוך?

Voir la réponse et le corrigé

במשולש AHCAHC (ישר זווית ב-HH): AH=4sin⁡γAH = 4\sin\gamma. הגובה הכי ארוך כש-sin⁡γ=1\sin\gamma = 1, כלומר ב-γ=90∘\gamma = 90^\circ — אז CACA עצמו עומד על הבסיס. השטח המקסימלי: 12⋅6⋅4=12\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 4 = 12.

הנוסחה: חצי מכפלת שתי צלעות בסינוס הזווית שביניהן

ומה קורה כשהזווית קהה?

CBAH
כש-γ\gamma קהה, הגובה נופל מחוץ למשולש, על המשך הצלע CBCB. הזווית שבמשולש AHCAHC היא 180∘−γ180^\circ - \gamma.

במשולש ישר הזווית AHCAHC הזווית ב-CC היא עכשיו 180∘−γ180^\circ - \gamma, ולכן h=bsin⁡(180∘−γ)h = b\sin(180^\circ - \gamma). אבל sin⁡(180∘−γ)=sin⁡γ\sin(180^\circ - \gamma) = \sin\gamma — ובזה הנוסחה נשארת אותה נוסחה גם למשולש קהה זווית.

משולש אחד: צלעות 66 ו-44 והזווית ביניהן 30∘30^\circ. משולש שני: אותן צלעות והזווית ביניהן 150∘150^\circ. חשבו את שני השטחים.

Voir la réponse et le corrigé

שניהם 12⋅6⋅4⋅12=6\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 4\cdot\frac{1}{2} = 6, כי sin⁡150∘=sin⁡30∘=12\sin 150^\circ = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}. המשולשים שונים לגמרי בצורתם — ושווי שטח.

שימושים

S=12absin⁡γS = \tfrac{1}{2}ab\sin\gamma

משולש: שתי צלעות והזווית שביניהן.

S=absin⁡αS = ab\sin\alpha

מקבילית: אלכסון מחלק אותה לשני משולשים חופפים, כל אחד בשטח 12absin⁡α\frac{1}{2}ab\sin\alpha.

sin⁡γ=2Sab\sin\gamma = \frac{2S}{ab}

כיוון הפוך: מהשטח אל הזווית — ויש שתי זוויות אפשריות.

מתי השטח מקסימלי — בלי נגזרת

במשולש שווה שוקיים AB=AC=kAB = AC = k, וזוויות הבסיס שוות ל-α\alpha. הביעו את השטח באמצעות kk ו-α\alpha, ומצאו לאיזו α\alpha השטח הגדול ביותר.

∠A=180∘−2α\angle A = 180^\circ - 2\alpha

Somme (סכום) des angles (זוויות) dans un triangle (משולש)

S=12k2sin⁡(180∘−2α)S = \tfrac{1}{2}k^2\sin(180^\circ - 2\alpha)

שתי השוקיים והזווית שביניהן

S=12k2sin⁡2αS = \tfrac{1}{2}k^2\sin 2\alpha

כי sin⁡(180∘−x)=sin⁡x\sin(180^\circ - x) = \sin x

sin⁡2α≤1\sin 2\alpha \le 1

הסינוס לא עולה על 11

2α=90∘⇒α=45∘\begin{aligned}2\alpha &= 90^\circ \Rightarrow \alpha \\ &= 45^\circ\end{aligned}

שם S=12k2S = \frac{1}{2}k^2, הערך המקסימלי — וזווית הראש ישרה

משולש שצלעותיו 66 ו-88 ושטחו 1212. מהי הזווית בין שתי הצלעות?

Voir la réponse et le corrigé

12=12⋅6⋅8sin⁡γ12 = \frac{1}{2}\cdot 6\cdot 8\sin\gamma, ולכן sin⁡γ=12\sin\gamma = \frac{1}{2}. שתי תשובות: γ=30∘\gamma = 30^\circ או γ=150∘\gamma = 150^\circ. בלי נתון נוסף — שני המשולשים אפשריים.

שלוש טעויות בנוסחת השטח.

S=12abcos⁡γS = \tfrac{1}{2}ab\cos\gamma
S=12absin⁡γS = \tfrac{1}{2}ab\sin\gamma

הגובה הוא bsin⁡γb\sin\gamma. קוסינוס שייך למשפט הקוסינוסים, לא לשטח.

S=12bcsin⁡βS = \tfrac{1}{2}bc\sin\beta
S=12bcsin⁡αS = \tfrac{1}{2}bc\sin\alpha

הזווית חייבת להיות בין שתי הצלעות שבנוסחה. α\alpha נמצאת בין bb ל-cc.

sin⁡γ=12⇒γ=30∘\begin{aligned}\sin\gamma &= \tfrac{1}{2} \Rightarrow \gamma \\ &= 30^\circ\end{aligned}
γ1=30∘ γ2=150∘\begin{aligned}\gamma_1 &= 30^\circ \\ \ \gamma_2 &= 150^\circ\end{aligned}

המחשבון מחזיר רק את הזווית החדה. במשולש גם הקהה אפשרית — צריך נתון שיכריע.

Exercices

Exercice 1

CBA

במשולש ABCABC נתון CA=7CA = 7, CB=10CB = 10 ו-∠C=40∘\angle C = 40^\circ. מצאו את שטח המשולש (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 22.5

Corrigé :

S=12⋅7⋅10⋅sin⁡40∘S = \tfrac{1}{2}\cdot 7\cdot 10\cdot\sin 40^\circ

שתי צלעות והזווית שביניהן

S=35sin⁡40∘≈22.50S = 35\sin 40^\circ \approx 22.50

S≈22.50S \approx 22.50. המלכודת: 35cos⁡40∘≈26.8135\cos 40^\circ \approx 26.81 — קוסינוס במקום סינוס.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

CBA

במשולש ABCABC נתון CA=5CA = 5, CB=8CB = 8 ו-∠C=120∘\angle C = 120^\circ. מצאו את שטח המשולש (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 17.32

Corrigé :

S=12⋅5⋅8⋅sin⁡120∘S = \tfrac{1}{2}\cdot 5\cdot 8\cdot\sin 120^\circ
sin⁡120∘=sin⁡60∘=32\begin{aligned}\sin 120^\circ &= \sin 60^\circ \\ &= \tfrac{\sqrt{3}}{2}\end{aligned}

sin⁡(180∘−x)=sin⁡x\sin(180^\circ - x) = \sin x

S=20⋅32=103≈17.32\begin{aligned}S &= 20\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2} \\ &= 10\sqrt{3} \approx 17.32\end{aligned}

S=103≈17.32S = 10\sqrt{3} \approx 17.32. המלכודת: לחשוב שבזווית קהה הנוסחה לא עובדת, או לקחת cos⁡120∘=−12\cos 120^\circ = -\frac{1}{2} ולקבל שטח שלילי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

CBA

במשולש ABCABC נתון CA=CB=6CA = CB = 6 ו-∠C=150∘\angle C = 150^\circ. מהו שטח המשולש?

  1. 939\sqrt{3}
  2. 99
  3. 1818
  4. −93-9\sqrt{3}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B 99

Corrigé :

S=12⋅6⋅6⋅sin⁡150∘S = \tfrac{1}{2}\cdot 6\cdot 6\cdot\sin 150^\circ
sin⁡150∘=12\sin 150^\circ = \tfrac{1}{2}

כמו sin⁡30∘\sin 30^\circ

S=18⋅12=9\begin{aligned}S &= 18\cdot\tfrac{1}{2} \\ &= 9\end{aligned}

התשובה: 99. המסיחים: 939\sqrt{3} ו-−93-9\sqrt{3} באים מקוסינוס במקום סינוס, ו-1818 משכחת ה-12\frac{1}{2}.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

CBA

שטח המשולש ABCABC הוא 3030. נתון CA=10CA = 10, CB=12CB = 12, והזווית CC חדה. מצאו את ∠C\angle C במעלות.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 30

Corrigé :

30=12⋅10⋅12⋅sin⁡C30 = \tfrac{1}{2}\cdot 10\cdot 12\cdot\sin C

נוסחת השטח, בכיוון ההפוך

sin⁡C=3060=12\begin{aligned}\sin C &= \frac{30}{60} \\ &= \tfrac{1}{2}\end{aligned}
C=30∘ או C=150∘\begin{aligned}C &= 30^\circ \ \text{או}\ C \\ &= 150^\circ\end{aligned}

שתי זוויות עם אותו סינוס

C=30∘C = 30^\circ

הזווית נתונה חדה

∠C=30∘\angle C = 30^\circ. בלי המילה «חדה» גם 150∘150^\circ הייתה תשובה נכונה — וזה מה ששואלים לפעמים בבגרות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

CBA

נכון או לא נכון: משולש שבו שתי צלעות 55 ו-88 והזווית ביניהן 50∘50^\circ, ומשולש שבו אותן צלעות והזווית ביניהן 130∘130^\circ — שווים בשטחם.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

sin⁡130∘=sin⁡(180∘−50∘)=sin⁡50∘\begin{aligned}\sin 130^\circ &= \sin(180^\circ - 50^\circ) \\ &= \sin 50^\circ\end{aligned}
S1=S2=20sin⁡50∘≈15.32\begin{aligned}S_1 &= S_2 \\ &= 20\sin 50^\circ \approx 15.32\end{aligned}

נכון. המשולשים אינם חופפים — הצלע השלישית שונה — אבל השטחים שווים. המלכודת: להניח שזווית גדולה יותר נותנת תמיד שטח גדול יותר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

ABCD

במקבילית ABCDABCD נתון AB=10AB = 10, AD=6AD = 6 ו-∠DAB=60∘\angle DAB = 60^\circ. מצאו את שטח המקבילית (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 51.96

Corrigé :

SABD=12⋅10⋅6⋅sin⁡60∘S_{ABD} = \tfrac{1}{2}\cdot 10\cdot 6\cdot\sin 60^\circ

האלכסון BDBD מחלק את המקבילית לשני משולשים חופפים

S=2SABD=60sin⁡60∘=303≈51.96\begin{aligned}S &= 2S_{ABD} \\ &= 60\sin 60^\circ \\ &= 30\sqrt{3} \approx 51.96\end{aligned}

S=303≈51.96S = 30\sqrt{3} \approx 51.96. המלכודת: להשאיר את ה-12\frac{1}{2} — הוא שייך למשולש, לא למקבילית.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

ABC

במשולש ABCABC נתון AB=AC=kAB = AC = k, וזוויות הבסיס ∠B=∠C=α\angle B = \angle C = \alpha. הביעו את שטח המשולש באמצעות kk ו-α\alpha.

  1. 12k2sin⁡α\frac{1}{2}k^2\sin\alpha
  2. 12k2sin⁡2α\frac{1}{2}k^2\sin 2\alpha
  3. k2sin⁡2αk^2\sin 2\alpha
  4. 12k2cos⁡2α\frac{1}{2}k^2\cos 2\alpha
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B 12k2sin⁡2α\frac{1}{2}k^2\sin 2\alpha

Corrigé :

∠A=180∘−2α\angle A = 180^\circ - 2\alpha

הזווית שבין שתי השוקיים

S=12k2sin⁡(180∘−2α)S = \tfrac{1}{2}k^2\sin(180^\circ - 2\alpha)
S=12k2sin⁡2αS = \tfrac{1}{2}k^2\sin 2\alpha

sin⁡(180∘−x)=sin⁡x\sin(180^\circ - x) = \sin x

התשובה: 12k2sin⁡2α\frac{1}{2}k^2\sin 2\alpha. המלכודת: 12k2sin⁡α\frac{1}{2}k^2\sin\alpha — α\alpha היא זווית בסיס, והיא לא נמצאת בין שתי השוקיים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

CBA

בכל המשולשים שבהם שתי צלעות שוות ל-99, מהו השטח הגדול ביותר האפשרי?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 40.5

Corrigé :

S=12⋅9⋅9⋅sin⁡γS = \tfrac{1}{2}\cdot 9\cdot 9\cdot\sin\gamma

γ\gamma הזווית בין שתי הצלעות

sin⁡γ≤1\sin\gamma \le 1
Smax=812=40.5\begin{aligned}S_{max} &= \tfrac{81}{2} \\ &= 40.5\end{aligned}

מתקבל ב-γ=90∘\gamma = 90^\circ

Smax=40.5S_{max} = 40.5, במשולש ישר זווית. אין צורך בנגזרת: הסינוס חסום על ידי 1. המלכודת: לחפש את המקסימום בזווית 60∘60^\circ, של משולש שווה צלעות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

CBA

שטח המשולש ABCABC הוא 2020. נתון CA=5CA = 5, CB=16CB = 16, והזווית CC קהה. מצאו את ∠C\angle C במעלות.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 150

Corrigé :

20=12⋅5⋅16⋅sin⁡C=40sin⁡C\begin{aligned}20 &= \tfrac{1}{2}\cdot 5\cdot 16\cdot\sin C \\ &= 40\sin C\end{aligned}
sin⁡C=12\sin C = \tfrac{1}{2}
C=180∘−30∘=150∘\begin{aligned}C &= 180^\circ - 30^\circ \\ &= 150^\circ\end{aligned}

הזווית נתונה קהה

∠C=150∘\angle C = 150^\circ. המלכודת: לכתוב את 30∘30^\circ שהמחשבון נותן — היא חדה, והנתון דורש קהה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

ב-△ABC\triangle ABC נתון a=4a = 4 ו-b=5b = 5, והזווית γ\gamma שביניהן משתנה. סדרו את ארבעת המקרים מהשטח הקטן לגדול.

  • γ=140∘\gamma = 140^\circ
  • γ=20∘\gamma = 20^\circ
  • γ=50∘\gamma = 50^\circ
  • γ=90∘\gamma = 90^\circ
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : γ=20∘\gamma = 20^\circ · γ=140∘\gamma = 140^\circ · γ=50∘\gamma = 50^\circ · γ=90∘\gamma = 90^\circ

Corrigé :

S=10sin⁡γS = 10\sin\gamma

אותן צלעות — השטח תלוי רק ב-sin⁡γ\sin\gamma

sin⁡20∘≈0.34 sin⁡140∘=sin⁡40∘≈0.64\begin{aligned}\sin 20^\circ \approx 0.34 \\ \ \sin 140^\circ &= \sin 40^\circ \approx 0.64\end{aligned}
sin⁡50∘≈0.77 sin⁡90∘=1\begin{aligned}\sin 50^\circ \approx 0.77 \\ \ \sin 90^\circ &= 1\end{aligned}

הסדר: 20∘20^\circ, 140∘140^\circ, 50∘50^\circ, 90∘90^\circ. המלכודת: לשים את 140∘140^\circ אחרון — הזווית הגדולה ביותר איננה השטח הגדול ביותר.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe