La loi des sinus

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

משולש ABCABC חסום במעגל. מזיזים את הקדקוד AA לאורך הקשת, ו-BB ו-CC נשארים במקומם. הצורה של המשולש משתנה כל הזמן — אבל הצלע BCBC לא זזה, וגם הזווית AA לא משתנה.

משולש חסום במעגל שרדיוסו RR, והזווית AA ישרה. מה אורך הצלע BCBC? ומה היחס BCsin⁡A\frac{BC}{\sin A}?

Voir la réponse et le corrigé

זווית היקפית של 90∘90^\circ נשענת על קוטר, ולכן BC=2RBC = 2R. ו-sin⁡90∘=1\sin 90^\circ = 1, כך ש-BCsin⁡A=2R\frac{BC}{\sin A} = 2R. המשפט אומר שהיחס הזה שווה 2R2R בכל משולש, לא רק בישר זווית.

משפט הסינוסים

asin⁡α=bsin⁡β=csin⁡γ=2R\begin{aligned}\frac{a}{\sin\alpha} &= \frac{b}{\sin\beta} \\ &= \frac{c}{\sin\gamma} \\ &= 2R\end{aligned}

בכל משולש: צלע חלקי הסינוס של הזווית שמולה הוא קבוע, והקבוע הוא קוטר המעגל החוסם.

ABCOD
BDBD קוטר של המעגל החוסם (המעגל עצמו לא מצויר). DD ו-AA נשענות על אותה קשת BCBC, ולכן ∠BDC=∠BAC\angle BDC = \angle BAC.

ואם α\alpha קהה? אז DD נמצאת על הקשת השנייה, ו-∠BDC=180∘−α\angle BDC = 180^\circ - \alpha (מרובע חסום). אבל sin⁡(180∘−α)=sin⁡α\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha — והמשפט נשאר כמו שהוא.

מתי משתמשים בו: צלע והזווית שמולה

משפט הסינוסים מחייב זוג ידוע: צלע והזווית שמולה. אם בנוסף ידוע עוד נתון אחד — זווית או צלע — מוצאים את כל השאר. וכשידועות שתי זוויות, השלישית מגיעה חינם: 180∘180^\circ פחות השתיים.

במשולש הזוויות 40∘40^\circ, 65∘65^\circ, 75∘75^\circ. בלי לחשב — מול איזו זווית הצלע הקצרה ביותר?

Voir la réponse et le corrigé

מול 40∘40^\circ. במשולש הצלע הקצרה ביותר מול הזווית הקטנה ביותר. ומשפט הסינוסים מראה זאת במספרים: a=2Rsin⁡αa = 2R\sin\alpha.

רדיוס בלי שרטוט של המעגל

במשולש צלע באורך 1010 נמצאת מול זווית של 30∘30^\circ. מהו רדיוס המעגל החוסם את המשולש?

10sin⁡30∘=2R\frac{10}{\sin 30^\circ} = 2R

משפט הסינוסים, עם הזוג הידוע

100.5=20=2R\begin{aligned}\frac{10}{0.5} &= 20 \\ &= 2R\end{aligned}
R=10R = 10

לא צריך לדעת דבר על שאר המשולש

שלוש טעויות במשפט הסינוסים.

asin⁡α=R\frac{a}{\sin\alpha} = R
asin⁡α=2R\frac{a}{\sin\alpha} = 2R

היחס הוא הקוטר. בדיקה: במשולש ישר זווית היתר הוא קוטר, כלומר 2R2R.

asin⁡β=bsin⁡α\frac{a}{\sin\beta} = \frac{b}{\sin\alpha}
asin⁡α=bsin⁡β\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta}

כל צלע עם הזווית שמולה. לסמן על השרטוט זוגות לפני שכותבים.

b=12sin⁡65sin⁡40≈13.32b = \frac{12\sin 65}{\sin 40} \approx 13.32
b=12sin⁡65∘sin⁡40∘≈16.92b = \frac{12\sin 65^\circ}{\sin 40^\circ} \approx 16.92

המחשבון במצב רדיאנים — והתוצאה אפילו נראית סבירה. לכן בודקים את מצב המחשבון לפני החישוב, ולא סומכים על «זה נראה בסדר».

Exercices

Exercice 1

ABC

במשולש ABCABC נתון a=BC=10a = BC = 10, ∠A=50∘\angle A = 50^\circ ו-∠B=70∘\angle B = 70^\circ. מצאו את b=ACb = AC (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 12.27

Corrigé :

10sin⁡50∘=bsin⁡70∘\frac{10}{\sin 50^\circ} = \frac{b}{\sin 70^\circ}

הזוג: aa ו-AA. bb מול BB

b=10sin⁡70∘sin⁡50∘≈12.27b = \frac{10\sin 70^\circ}{\sin 50^\circ} \approx 12.27

b≈12.27b \approx 12.27. המלכודת: 10sin⁡50∘sin⁡70∘≈8.15\frac{10\sin 50^\circ}{\sin 70^\circ} \approx 8.15 — היחס הפוך. בדיקה: B>AB > A, ולכן b>ab > a.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

ABCO

במשולש ABCABC הצלע BC=14BC = 14 והזווית שמולה ∠A=30∘\angle A = 30^\circ. מצאו את רדיוס המעגל החוסם את המשולש.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 14

Corrigé :

14sin⁡30∘=2R\frac{14}{\sin 30^\circ} = 2R
28=2R⇒R=14\begin{aligned}28 &= 2R \Rightarrow R \\ &= 14\end{aligned}

R=14R = 14. המלכודת: לעצור ב-2828, שהוא הקוטר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

ABC

במשולש ABCABC נתון ∠B=45∘\angle B = 45^\circ, ∠C=75∘\angle C = 75^\circ ו-a=BC=9a = BC = 9. מצאו את c=ABc = AB (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 10.04

Corrigé :

∠A=180∘−45∘−75∘=60∘\begin{aligned}\angle A &= 180^\circ - 45^\circ - 75^\circ \\ &= 60^\circ\end{aligned}

הזווית שמול הצלע הידועה

9sin⁡60∘=csin⁡75∘\frac{9}{\sin 60^\circ} = \frac{c}{\sin 75^\circ}
c=9sin⁡75∘sin⁡60∘≈10.04c = \frac{9\sin 75^\circ}{\sin 60^\circ} \approx 10.04

c≈10.04c \approx 10.04. המלכודת: לכתוב 9sin⁡45∘\frac{9}{\sin 45^\circ} — הזווית BB איננה מול aa. קודם מוצאים את AA.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

ABCO

במשולש ABCABC רדיוס המעגל החוסם הוא RR. איזה שוויון נכון תמיד?

  1. asin⁡α=2Ra\sin\alpha = 2R
  2. a=2Rsin⁡αa = 2R\sin\alpha
  3. a=2Rcos⁡αa = 2R\cos\alpha
  4. a=Rsin⁡αa = R\sin\alpha
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B a=2Rsin⁡αa = 2R\sin\alpha

Corrigé :

asin⁡α=2R\frac{a}{\sin\alpha} = 2R

Loi des sinus (משפט הסינוסים)

a=2Rsin⁡αa = 2R\sin\alpha

כופלים ב-sin⁡α\sin\alpha

התשובה: a=2Rsin⁡αa = 2R\sin\alpha. המלכודת: Rsin⁡αR\sin\alpha — שוכחים שהיחס הוא הקוטר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

ABCO

המשולש ABCABC חסום במעגל שמרכזו OO ורדיוסו 88. נתון ∠ACB=30∘\angle ACB = 30^\circ. מצאו את אורך המיתר ABAB.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 8

Corrigé :

ABsin⁡C=2R\frac{AB}{\sin C} = 2R

ABAB מול הזווית CC

AB=2⋅8⋅sin⁡30∘=8\begin{aligned}AB &= 2\cdot 8\cdot\sin 30^\circ \\ &= 8\end{aligned}

AB=8AB = 8 — שווה לרדיוס, ולכן המשולש AOBAOB שווה צלעות (הזווית המרכזית 60∘60^\circ). המלכודת: 16cos⁡30∘≈13.8616\cos 30^\circ \approx 13.86 — קוסינוס במקום סינוס, או לשכוח את ה-22 ולקבל 44.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

ABC

הוכיחו או הפריכו: במשולש שבו ∠A=2∠B\angle A = 2\angle B, הצלע aa ארוכה פי 22 מהצלע bb.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

∠B=30∘ ∠A=60∘\begin{aligned}\angle B &= 30^\circ \\ \ \angle A &= 60^\circ\end{aligned}

דוגמה נגדית אחת מספיקה

ab=sin⁡60∘sin⁡30∘=3/21/2=3\begin{aligned}\frac{a}{b} &= \frac{\sin 60^\circ}{\sin 30^\circ} \\ &= \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} \\ &= \sqrt{3}\end{aligned}

Loi des sinus (משפט הסינוסים)

3≠2\sqrt{3} \ne 2

לא נכון. הצלעות פרופורציוניות לסינוסים של הזוויות, לא לזוויות עצמן. המלכודת: לחשוב שהסינוס «כופל» כמו מספר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

ABC

שתי נקודות תצפית AA ו-BB על חוף הכנרת נמצאות במרחק 500500 מטרים זו מזו. סירה CC נראית מ-AA בזווית ∠CAB=62∘\angle CAB = 62^\circ ומ-BB בזווית ∠CBA=48∘\angle CBA = 48^\circ. מהו המרחק ACAC? (במטרים, עגלו למספר שלם)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 395

Corrigé :

∠C=180∘−62∘−48∘=70∘\begin{aligned}\angle C &= 180^\circ - 62^\circ - 48^\circ \\ &= 70^\circ\end{aligned}

הזווית שמול ABAB

ACsin⁡48∘=500sin⁡70∘\frac{AC}{\sin 48^\circ} = \frac{500}{\sin 70^\circ}

ACAC מול הזווית BB

AC=500sin⁡48∘sin⁡70∘≈395AC = \frac{500\sin 48^\circ}{\sin 70^\circ} \approx 395

AC≈395AC \approx 395 מטרים. המלכודת: להתאים את ACAC לזווית 62∘62^\circ שב-AA — זו זווית שיוצאת מ-AA, לא זו שמול ACAC.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

מיינו: באילו נתונים משפט הסינוסים הוא הכלי הראשון לפתרון △ABC\triangle ABC?

  • משפט הסינוסים
  • לא משפט הסינוסים
  • a, α, βa,\ \alpha,\ \beta
  • a, β, γa,\ \beta,\ \gamma
  • a, b, γa,\ b,\ \gamma
  • a, b, ca,\ b,\ c
  • b, β, cb,\ \beta,\ c
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : a, α, βa,\ \alpha,\ \beta — משפט הסינוסים · a, β, γa,\ \beta,\ \gamma — משפט הסינוסים · b, β, cb,\ \beta,\ c — משפט הסינוסים · a, b, γa,\ b,\ \gamma — לא משפט הסינוסים · a, b, ca,\ b,\ c — לא משפט הסינוסים

Corrigé :

a, αa,\ \alpha

זוג צלע-זווית ידוע מיד

β γ⇒α=180∘−β−γ\begin{aligned}\beta \\ \ \gamma \Rightarrow \alpha &= 180^\circ - \beta - \gamma\end{aligned}

שתי זוויות נותנות את השלישית, ואז הזוג a,αa,\alpha

b, βb,\ \beta

זוג ידוע, ו-cc מוביל ל-sin⁡γ\sin\gamma

a, b, γa,\ b,\ \gamma

הזווית בין הצלעות — אין אף זוג. משפט הקוסינוסים

a, b, ca,\ b,\ c

אין אף זווית — משפט הקוסינוסים

השאלה שמכריעה: האם יש צלע ידועה והזווית שמולה (או שתי זוויות)? אם לא — משפט הקוסינוסים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

ABCO

מצאו את רדיוס המעגל החוסם משולש שווה צלעות שצלעו 66 (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3.46

Corrigé :

6sin⁡60∘=2R\frac{6}{\sin 60^\circ} = 2R

כל הזוויות 60∘60^\circ

R=62⋅32=63=23≈3.46\begin{aligned}R &= \frac{6}{2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}} \\ &= \frac{6}{\sqrt{3}} \\ &= 2\sqrt{3} \approx 3.46\end{aligned}

R=23≈3.46R = 2\sqrt{3} \approx 3.46. המלכודת: R=3R = 3, חצי הצלע — כאילו הצלע היא קוטר. זה נכון רק מול זווית ישרה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

ABCO

במשולש ABCABC הזווית CC ישרה, ו-RR רדיוס המעגל החוסם. הוכיחו בעזרת משפט הסינוסים כי R=c2R = \frac{c}{2}.

  • ∠C=90∘\angle C = 90^\circ
  • RR רדיוס המעגל החוסם

R=c2R = \dfrac{c}{2}

Voir la réponse et le corrigé
  1. csin⁡γ=2R\dfrac{c}{\sin\gamma} = 2R — משפט הסינוסים: cc מול הזווית CC
  2. sin⁡γ=1\sin\gamma = 1 — γ=90∘\gamma = 90^\circ
  3. c=2Rc = 2R — הצבה במשפט הסינוסים
  4. R=c2R = \dfrac{c}{2} — חילוק ב-22

Corrigé :

csin⁡90∘=2R\frac{c}{\sin 90^\circ} = 2R
c=2Rc = 2R

היתר הוא קוטר

זו התוצאה הידועה «מרכז המעגל החוסם משולש ישר זווית הוא אמצע היתר» — ומשפט הסינוסים נותן אותה בשורה. המלכודת: לכתוב sin⁡90∘=0\sin 90^\circ = 0.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe