Série 2 — moyen

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

סדרה 2 — בינוני. הסדרה מערבבת את כל נושאי הפרק: זהות יסודית עם סימן לפי רביע, פתרון כללי של משוואה עם axax, מחזור וטווח, ומודל פשוט.

בפתרון כללי מחלקים ב-aa גם את 360∘k360^\circ k. מחזור המשוואה קטן, ובתחום נכנסים יותר פתרונות.

Exercices

Exercice 1

נתון cos⁡α=−1213\cos\alpha = -\frac{12}{13} ו-90∘<α<180∘90^\circ < \alpha < 180^\circ. מהו tan⁡α\tan\alpha? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -0.4166666666666667

Corrigé :

sin⁡2α=1−144169=25169\begin{aligned}\sin^2\alpha &= 1 - \frac{144}{169} \\ &= \frac{25}{169}\end{aligned}

הזהות היסודית

sin⁡α=513\sin\alpha = \frac{5}{13}

ברביע השני הסינוס חיובי

tan⁡α=5/13−12/13=−512≈−0.417\begin{aligned}\tan\alpha &= \frac{5/13}{-12/13} \\ &= -\frac{5}{12} \approx -0.417\end{aligned}

tan⁡α=sin⁡αcos⁡α\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}

המלכודת: לקחת sin⁡α=−513\sin\alpha = -\frac{5}{13} בגלל שהקוסינוס שלילי. לכל אחד מהם סימן משלו לפי הרביע — וברביע השני הסינוס חיובי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

פתרו את המשוואה 2sin⁡x+1=02\sin x + 1 = 0 בתחום 0∘≤x≤360∘0^\circ \le x \le 360^\circ. מהו הפתרון הגדול?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 330

Corrigé :

sin⁡x=−12\sin x = -\tfrac12

בידוד

x=180∘+30∘=210∘\begin{aligned}x &= 180^\circ + 30^\circ \\ &= 210^\circ\end{aligned}

רביע שלישי

x=360∘−30∘=330∘\begin{aligned}x &= 360^\circ - 30^\circ \\ &= 330^\circ\end{aligned}

רביע רביעי

המלכודת: 150∘150^\circ. זו זווית שהסינוס שלה +12+\frac12. ערך שלילי של סינוס נמצא רק בחצי התחתון של המעגל.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

מהו הפתרון הכללי של המשוואה cos⁡(2x)=12\cos(2x) = \frac12?

  1. x=±60∘+180∘kx = \pm 60^\circ + 180^\circ k
  2. x=±30∘+360∘kx = \pm 30^\circ + 360^\circ k
  3. x=±30∘+180∘kx = \pm 30^\circ + 180^\circ k
  4. x=30∘+180∘kx = 30^\circ + 180^\circ k או x=60∘+180∘kx = 60^\circ + 180^\circ k
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C x=±30∘+180∘kx = \pm 30^\circ + 180^\circ k

Corrigé :

2x=±60∘+360∘k2x = \pm 60^\circ + 360^\circ k

כלל הקוסינוס על הזווית 2x2x

x=±30∘+180∘kx = \pm 30^\circ + 180^\circ k

מחלקים את שני האיברים ב-22

התשובה: x=±30∘+180∘kx = \pm 30^\circ + 180^\circ k. מי שבחר 360∘k360^\circ k חילק רק את הזווית; מי שבחר ±60∘\pm 60^\circ לא חילק כלל; ומי שבחר 30∘30^\circ ו-60∘60^\circ השתמש בכלל של הסינוס, 2x=180∘−60∘2x = 180^\circ - 60^\circ — ואכן cos⁡120∘=−12\cos 120^\circ = -\frac12.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

כמה פתרונות יש למשוואה sin⁡(2x)=−12\sin(2x) = -\frac12 בתחום 0∘≤x≤360∘0^\circ \le x \le 360^\circ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

0∘≤2x≤720∘0^\circ \le 2x \le 720^\circ

תחום הזווית שבסוגריים: שני סיבובים

2x=210∘ 330∘ 570∘ 690∘\begin{aligned}2x &= 210^\circ \\ \ 330^\circ \\ \ 570^\circ \\ \ 690^\circ\end{aligned}

שני פתרונות בכל סיבוב

x=105∘ 165∘ 285∘ 345∘\begin{aligned}x &= 105^\circ \\ \ 165^\circ \\ \ 285^\circ \\ \ 345^\circ\end{aligned}

המלכודת: לענות 22. הזווית 2x2x עוברת שני סיבובים שלמים כאשר xx עובר סיבוב אחד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

בחישוב של sin⁡210∘\sin 210^\circ שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

210∘=180∘+30∘210^\circ = 180^\circ + 30^\circ
∣sin⁡210∘∣=sin⁡30∘=12\begin{aligned}|\sin 210^\circ| &= \sin 30^\circ \\ &= \tfrac12\end{aligned}
sin⁡210∘=12\sin 210^\circ = \tfrac12
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : sin⁡210∘=12\sin 210^\circ = \tfrac12 → sin⁡210∘=−12\sin 210^\circ = -\tfrac12

Corrigé :

210∘=180∘+30∘210^\circ = 180^\circ + 30^\circ

נכון: רביע שלישי, נשען על 30∘30^\circ

∣sin⁡210∘∣=12|\sin 210^\circ| = \tfrac12

נכון: הגודל נלקח מ-30∘30^\circ

sin⁡210∘=−12\sin 210^\circ = -\tfrac12

ברביע השלישי הנקודה מתחת לציר xx, והסינוס שלילי

השורה השגויה היא האחרונה: היא לקחה את הגודל ושכחה את הסימן. הגודל נלקח מ-30∘30^\circ, הסימן מהרביע.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

מהו הערך הקטן ביותר של הפונקציה f(x)=3−4cos⁡xf(x) = 3 - 4\cos x?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -1

Corrigé :

−1≤cos⁡x≤1-1 \le \cos x \le 1
−4≤−4cos⁡x≤4-4 \le -4\cos x \le 4

הכפלה במספר שלילי הופכת את הסדר, אבל הטווח נשאר סימטרי

−1≤f(x)≤7-1 \le f(x) \le 7

מוסיפים 33

המלכודת: לענות −4-4, או לחפש את המינימום ב-cos⁡x=−1\cos x = -1 ולקבל 77. בגלל המינוס שלפני 44, המינימום מתקבל דווקא כאשר cos⁡x=1\cos x = 1.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

נתונה הפונקציה f(x)=2sin⁡(3x)+1f(x) = 2\sin(3x) + 1. השלימו.

המחזור של ff הוא ____ מעלות, הערך הגדול ביותר שלה הוא ____, והערך הקטן ביותר שלה הוא ____.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : המחזור של ff הוא 120 מעלות, הערך הגדול ביותר שלה הוא 3, והערך הקטן ביותר שלה הוא -1.

Corrigé :

T=360∘3=120∘\begin{aligned}T &= \frac{360^\circ}{3} \\ &= 120^\circ\end{aligned}

המקדם של xx

−2≤2sin⁡(3x)≤2-2 \le 2\sin(3x) \le 2

האמפליטודה

−1≤f(x)≤3-1 \le f(x) \le 3

הזזה ב-11

המלכודת: לחשוב שה-33 שבתוך הסוגריים משנה את הגובה. הוא משנה רק את המחזור.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

הטמפרטורה בעיר מדבר מתוארת על ידי T(t)=23−5cos⁡(15t)T(t) = 23 - 5\cos(15t) (במעלות צלזיוס), כאשר tt הוא מספר השעות מחצות (0≤t≤240 \le t \le 24). באיזו שעה הטמפרטורה הגבוהה ביותר?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 12

Corrigé :

T מרבית  ⟺  cos⁡(15t)=−1T \text{ מרבית} \iff \cos(15t) = -1

מחסירים את הערך השלילי ביותר

15t=180∘15t = 180^\circ

בתחום 0∘≤15t≤360∘0^\circ \le 15t \le 360^\circ

t=12t = 12

בצהריים; T=28T = 28

המלכודת: לענות t=0t = 0, שם cos⁡(15t)=1\cos(15t) = 1. בגלל המינוס שלפני 55, זה דווקא הרגע הקר ביותר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

האם ייתכן ש-tan⁡α=−1\tan\alpha = -1 עבור זווית α\alpha ברביע הראשון?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

0∘<α<90∘⇒sin⁡α>0, cos⁡α>00^\circ < \alpha < 90^\circ \Rightarrow \sin\alpha > 0,\ \cos\alpha > 0

ברביע הראשון שניהם חיוביים

tan⁡α=sin⁡αcos⁡α>0\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} > 0

מנה של חיוביים

לא ייתכן. tan⁡α=−1\tan\alpha = -1 מתקבל ב-135∘135^\circ וב-315∘315^\circ, שם לסינוס ולקוסינוס סימנים הפוכים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

פתרו את המשוואה tan⁡x=3\tan x = \sqrt3 בתחום 0∘≤x≤360∘0^\circ \le x \le 360^\circ. מהו הפתרון הגדול?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 240

Corrigé :

x=60∘+180∘kx = 60^\circ + 180^\circ k

המחזור של הטנגנס הוא 180∘180^\circ

x=60∘ 240∘\begin{aligned}x &= 60^\circ \\ \ 240^\circ\end{aligned}

k=0k = 0 ו-k=1k = 1

המלכודת: 120∘120^\circ, מתוך הרגל של הסינוס. בטנגנס הפתרון השני נמצא חצי סיבוב אחרי הראשון — ברביע השלישי, שם גם הסינוס וגם הקוסינוס שליליים.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe