Série 3 — difficile

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

סדרה 3 — מאתגר. הסדרה מערבבת את כל נושאי הפרק: משוואות עם הזזה בזווית, קריאת פרמטרים מגרף, תנאי קיום עם פרמטר, זהויות וסימטריות, וגלגל ענק.

לפני שעונים כמה פתרונות יש, כתבו את תחום הזווית שבסוגריים. שם רואים כמה סיבובים נכנסים.

Exercices

Exercice 1

פתרו את המשוואה 2cos⁡(x+40∘)=22\cos(x + 40^\circ) = \sqrt2 בתחום 0∘≤x≤360∘0^\circ \le x \le 360^\circ. מהו הפתרון הגדול?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 275

Corrigé :

cos⁡(x+40∘)=22\cos(x + 40^\circ) = \tfrac{\sqrt2}{2}

בידוד

x+40∘=±45∘+360∘kx + 40^\circ = \pm 45^\circ + 360^\circ k

כלל הקוסינוס

x=5∘+360∘k או x=−85∘+360∘k\begin{aligned}x &= 5^\circ + 360^\circ k \ \text{או}\ x \\ &= -85^\circ + 360^\circ k\end{aligned}

מחסירים 40∘40^\circ

x=5∘ 275∘\begin{aligned}x &= 5^\circ \\ \ 275^\circ\end{aligned}

במשפחה השנייה k=1k = 1

המלכודת: לפסול את −85∘-85^\circ ולשכוח לנסות k=1k = 1. פתרון שלילי אינו סוף המשפחה — מוסיפים לו 360∘360^\circ.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

כמה פתרונות יש למשוואה 4sin⁡2x=34\sin^2 x = 3 בתחום 0∘≤x<360∘0^\circ \le x < 360^\circ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

sin⁡2x=34\sin^2 x = \tfrac34
sin⁡x=32 או sin⁡x=−32\begin{aligned}\sin x &= \tfrac{\sqrt3}{2} \ \text{או}\ \sin x \\ &= -\tfrac{\sqrt3}{2}\end{aligned}

לשורש שני סימנים — שתי משוואות

x=60∘ 120∘ 240∘ 300∘\begin{aligned}x &= 60^\circ \\ \ 120^\circ \\ \ 240^\circ \\ \ 300^\circ\end{aligned}

שני פתרונות לכל משוואה

המלכודת: לענות 22 ולשכוח את sin⁡x=−32\sin x = -\frac{\sqrt3}{2}. הוצאת שורש מ-sin⁡2x\sin^2 x פותחת שני מקרים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

הביעו באמצעות sin⁡α\sin\alpha את הביטוי sin⁡(180∘+α)⋅cos⁡(90∘−α)\sin(180^\circ + \alpha) \cdot \cos(90^\circ - \alpha).

  1. sin⁡αcos⁡α\sin\alpha\cos\alpha
  2. sin⁡2α\sin^2\alpha
  3. −sin⁡2α-\sin^2\alpha
  4. −sin⁡αcos⁡α-\sin\alpha\cos\alpha
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C −sin⁡2α-\sin^2\alpha

Corrigé :

sin⁡(180∘+α)=−sin⁡α\sin(180^\circ + \alpha) = -\sin\alpha

חצי סיבוב הופך את הגובה

cos⁡(90∘−α)=sin⁡α\cos(90^\circ - \alpha) = \sin\alpha

הזווית המשלימה

(−sin⁡α)⋅sin⁡α=−sin⁡2α(-\sin\alpha)\cdot\sin\alpha = -\sin^2\alpha

התשובה: −sin⁡2α-\sin^2\alpha. מי שבחר −sin⁡αcos⁡α-\sin\alpha\cos\alpha השאיר את cos⁡(90∘−α)\cos(90^\circ - \alpha) כקוסינוס; מי שבחר sin⁡2α\sin^2\alpha איבד את המינוס של חצי הסיבוב.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

הגרף של f
0°30°60°90°120°150°180°210°240°270°300°330°360°-4-3-2-1012xy

בציור הגרף של f(x)=Asin⁡(bx)+cf(x) = A\sin(bx) + c, כאשר A>0A > 0 ו-b>0b > 0. מהו bb?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

max⁡=1min⁡=−3\begin{aligned}\max &= 1 \\ \quad \min &= -3\end{aligned}

קוראים מהגרף

A=1−(−3)2=2c=1+(−3)2=−1\begin{aligned}A &= \frac{1 - (-3)}{2} \\ &= 2 \\ \quad c &= \frac{1 + (-3)}{2} \\ &= -1\end{aligned}

אמפליטודה וקו אמצע

T=120∘T = 120^\circ

מפסגה לפסגה: 30∘30^\circ ו-150∘150^\circ

360∘b=120∘⇒b=3\begin{aligned}\frac{360^\circ}{b} &= 120^\circ \Rightarrow b \\ &= 3\end{aligned}

המלכודת: למדוד ממקסימום למינימום (60∘60^\circ) ולקבל b=6b = 6. זה חצי מחזור. ו-bb אינו האמפליטודה: A=2A = 2, ו-bb נקבע רק מהמחזור.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

עבור אילו ערכי kk יש פתרון למשוואה 4sin⁡(2x)=k−34\sin(2x) = k - 3?

  1. −1<k<7-1 < k < 7
  2. k≤7k \le 7
  3. 2≤k≤42 \le k \le 4
  4. −1≤k≤7-1 \le k \le 7
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D −1≤k≤7-1 \le k \le 7

Corrigé :

sin⁡(2x)=k−34\sin(2x) = \frac{k - 3}{4}

בידוד

−1≤k−34≤1-1 \le \frac{k - 3}{4} \le 1

תנאי הקיום — הקצוות כלולים

−4≤k−3≤4⇒−1≤k≤7-4 \le k - 3 \le 4 \Rightarrow -1 \le k \le 7

התשובה: −1≤k≤7-1 \le k \le 7. 2≤k≤42 \le k \le 4 שוכח לחלק ב-44; אי-שוויון חזק מפסיד את k=7k = 7, שבו sin⁡(2x)=1\sin(2x) = 1 ויש פתרון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

פתרו את המשוואה tan⁡(x−30∘)=−1\tan(x - 30^\circ) = -1 בתחום 0∘≤x≤360∘0^\circ \le x \le 360^\circ. מהו הפתרון הגדול?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 345

Corrigé :

x−30∘=−45∘+180∘kx - 30^\circ = -45^\circ + 180^\circ k

המחזור של הטנגנס 180∘180^\circ

x=−15∘+180∘kx = -15^\circ + 180^\circ k
x=165∘ 345∘\begin{aligned}x &= 165^\circ \\ \ 345^\circ\end{aligned}

k=1k = 1 ו-k=2k = 2

המלכודת: להוסיף 360∘360^\circ במקום 180∘180^\circ ולמצוא רק 345∘345^\circ — או להחסיר את 30∘30^\circ במקום להוסיף.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

הוכיחו או הפריכו: לכל זווית α\alpha מתקיים sin⁡α+cos⁡α≤1\sin\alpha + \cos\alpha \le 1.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

α=45∘\alpha = 45^\circ

דוגמה נגדית

sin⁡45∘+cos⁡45∘=22+22=2\begin{aligned}\sin 45^\circ + \cos 45^\circ &= \tfrac{\sqrt2}{2} + \tfrac{\sqrt2}{2} \\ &= \sqrt2\end{aligned}
2≈1.41>1\sqrt2 \approx 1.41 > 1

הטענה מופרכת

הטענה שגויה. כל אחד מהם לבד לכל היותר 11, אבל הסכום יכול לעבור את 11. דוגמה נגדית אחת מספיקה כדי להפריך.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

הגובה של תא בגלגל ענק הוא h(t)=20−18cos⁡(12t)h(t) = 20 - 18\cos(12t) מטר, כאשר tt בדקות. כמה דקות מכל סיבוב נמצא התא מעל 1111 מטר?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 20

Corrigé :

T=360∘12=30\begin{aligned}T &= \frac{360^\circ}{12} \\ &= 30\end{aligned}

סיבוב של 3030 דקות

20−18cos⁡(12t)=11⇒cos⁡(12t)=12\begin{aligned}20 - 18\cos(12t) &= 11 \Rightarrow \cos(12t) \\ &= \tfrac12\end{aligned}

הרגעים שבהם התא בדיוק בגובה 1111

12t=60∘ 300∘⇒t=5 25\begin{aligned}12t &= 60^\circ \\ \ 300^\circ \Rightarrow t &= 5 \\ \ 25\end{aligned}

בסיבוב הראשון: עולה ב-55, יורד ב-2525

25−5=2025 - 5 = 20

בין שני הרגעים התא גבוה מ-1111 מטר

המלכודת: לענות 55, הרגע שבו התא עובר את 1111 מטר בפעם הראשונה. השאלה שואלת על משך, וזה ההפרש בין שני הרגעים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

פתרו את המשוואה cos⁡x=sin⁡50∘\cos x = \sin 50^\circ בתחום 0∘≤x≤360∘0^\circ \le x \le 360^\circ. מהו הפתרון הגדול?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 320

Corrigé :

sin⁡50∘=cos⁡40∘\sin 50^\circ = \cos 40^\circ

cos⁡(90∘−x)=sin⁡x\cos(90^\circ - x) = \sin x

cos⁡x=cos⁡40∘⇒x=±40∘+360∘k\begin{aligned}\cos x &= \cos 40^\circ \Rightarrow x \\ &= \pm 40^\circ + 360^\circ k\end{aligned}

כלל הקוסינוס

x=40∘ 320∘\begin{aligned}x &= 40^\circ \\ \ 320^\circ\end{aligned}

המלכודת: לענות 50∘50^\circ או 310∘310^\circ. הזווית 50∘50^\circ שייכת לסינוס — לקוסינוס אותו ערך ב-40∘40^\circ.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

מיינו: אילו שוויונות נכונים לכל זווית α\alpha?

  • נכון לכל α\alpha
  • לא תמיד נכון
  • cos⁡(−α)=cos⁡α\cos(-\alpha) = \cos\alpha
  • cos⁡(180∘−α)=cos⁡α\cos(180^\circ - \alpha) = \cos\alpha
  • sin⁡(−α)=sin⁡α\sin(-\alpha) = \sin\alpha
  • sin⁡(180∘−α)=sin⁡α\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha
  • sin⁡(360∘+α)=sin⁡α\sin(360^\circ + \alpha) = \sin\alpha
  • sin⁡(90∘−α)=cos⁡α\sin(90^\circ - \alpha) = \cos\alpha
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : cos⁡(−α)=cos⁡α\cos(-\alpha) = \cos\alpha — נכון לכל α\alpha · sin⁡(180∘−α)=sin⁡α\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha — נכון לכל α\alpha · sin⁡(90∘−α)=cos⁡α\sin(90^\circ - \alpha) = \cos\alpha — נכון לכל α\alpha · cos⁡(180∘−α)=cos⁡α\cos(180^\circ - \alpha) = \cos\alpha — לא תמיד נכון · sin⁡(−α)=sin⁡α\sin(-\alpha) = \sin\alpha — לא תמיד נכון · sin⁡(360∘+α)=sin⁡α\sin(360^\circ + \alpha) = \sin\alpha — נכון לכל α\alpha

Corrigé :

cos⁡(180∘−α)=−cos⁡α\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha

שיקוף בציר yy הופך את שיעור ה-xx

sin⁡(−α)=−sin⁡α\sin(-\alpha) = -\sin\alpha

שיקוף בציר xx הופך את הגובה

α=30∘: cos⁡150∘=−32≠32\begin{aligned}\alpha &= 30^\circ:\ \cos 150^\circ \\ &= -\tfrac{\sqrt3}{2} \neq \tfrac{\sqrt3}{2}\end{aligned}

דוגמה נגדית אחת מספיקה

המלכודת: cos⁡(180∘−α)\cos(180^\circ - \alpha). בסינוס זה אותו ערך, ובקוסינוס הסימן מתהפך.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe